專題9立體幾何中的表面積與側面積問題-2021年高考數(shù)學立體幾何中必考知識專練

專題9：立體幾何中的表面積與側面積問題（解析版）⑴圓柱側面積；⑵圓錐側面積：⑶圓臺側面積：球的表面積和體積.正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐。正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐。1．在底面半徑為2，高為的圓錐中內接一個圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1：4，求圓柱的表面積.【答案】【分析】由圓柱、圓錐的底面面積比可得圓柱的底面半徑和高分別為1、，進而求其表面積即可.【詳解】由圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1:4，知：底面半徑比為1:2，即圓柱底面半徑，若設圓柱的高為，則有，即，∴由圓柱的表面積等于側面積加上兩底面的面積，即：.【點睛】本題考查了圓柱的表面積計算，由圓錐內接圓柱及底面面積比求圓柱表面積，屬于簡單題.2．已知圓錐的底面半徑為1，高為，求圓錐的表面積.【答案】.【分析】先求圓錐的側面積，再求底面積，即可得答案；【詳解】解：設圓錐的母線長為，則，所以圓錐的表面積為.【點睛】本題考查圓錐的表面積求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.3．已知圓臺的上、下底面半徑分別是2，6，且側面面積等于兩底面面積之和.（1）求圓臺的母線長.（2）求圓臺的表面積.【答案】（1）5（2）80π【分析】（1）由圓臺的側面積公式與兩底面圓的面積之和的關系構建方程，求得母線；（2）由（1）可得圓臺的母線，再由圓臺的表面積的公式求得答案.【詳解】（1）設圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl(wèi)＝40π，∴l(xiāng)＝5，∴該圓臺的母線長為5；（2）由（1）可得圓臺的表面積為S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.【點睛】本題考查由圓臺的性質求圓臺的母線與表面積，屬于基礎題.4．現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側面積.【答案】160【分析】由于該直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一個側面的面積乘以4即可，由菱形其對角線垂直于勾股定理求得底面邊長，再由矩形面積公式求得答案.【詳解】如圖，設底面對角線AC＝a，BD＝b，交點為O，對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側面積S＝4×8×5＝160.【點睛】本題考查求直四棱柱的側面積，屬于基礎題.5．若長方體的三個面的面積分別是，求：（1）長方體的體對角線的長；（2）長方體的表面積.【答案】（1）.（2）【分析】（1）設長方體的長，寬，高分別為，根據(jù)已知條件列出方程，求出，即可求出對角線；（2）根據(jù)已知條件，即可求解.【詳解】（1）設長方體的長，寬，高分別為，如圖.可令解得，，∴該長方體的體對角線長為.（2）.【點睛】本題考查長方體面的面積與邊長的關系，明確長方體的對角線與長、寬、高的關系，屬于基礎題.6．如圖，四面體的各棱長均為，求它的表面積.【答案】【解析】【分析】因為四面體的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍.【詳解】解：因為是正三角形，其邊長為，所以.因此，四面體的表面積.【點睛】本題考查錐體的表面積，是基礎題.7．已知一個正三棱錐的側面都是等邊三角形，側棱長為，求它的側面積和全面積.【答案】，【分析】由題意可知，該幾何體是邊長為的正四面體，然后利用等邊三角形的面積公式可計算出該幾何體的側面積和全面積.【詳解】由于正三棱錐的側面都是等邊三角形，則該幾何體為正四面體，所以，，.【點睛】本題考查正四面體側面積和表面積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.8．正四棱臺兩底面邊長分別為和.（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側面積；（2）若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，求出斜高即可求出側面積；（2）求出側面積，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【詳解】（1）如圖，設、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，由題意知，，又，∴斜高，∴；（2）由題意知，，∴，∴，又，.9．如圖，四棱錐的底面是正方形，為的中點，，，，.（1）證明：平面.（2）求三棱錐的側面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）只需計算，，的面積，相加即可.【詳解】（1）證明：因為為的中點，，所以，所以，從而.又，，所以底面，所以.因為四邊形是正方形，所以.又，所以平面.（2）由（1）知平面，因為∥，所以平面，因為平面，所以，所以的面積為.易證，所以的面積為.故三棱錐的側面積為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及三棱錐側面積的計算問題，考查學生邏輯推理能力、數(shù)學運算能力，是一道容易題.10．如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，面平面ABCD．（1）證明：平面BDE；（2）若為等邊三角形，，，三棱錐的體積為，求四棱錐的側面積.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）通過面面垂直，找出交線，通過證明垂直于交線即可證明線面垂直；（2）通過三棱錐的體積，求得四邊形的邊長，利用幾何關系解得所有棱長，再計算棱錐的側面積.【詳解】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以，因為面平面ABCD，面面，故平面BDE.（2）設，在菱形ABCD中，由，可得，.因為，所以在中，可得.由，知為直角三角形.可得.又由（1）知，易得面ABCD所以三棱錐的體積：.故.從而可得.又在中，，，求得邊上的高.的面積與的面積均為.的面積與的面積均為.故四棱錐的側面積為.【點睛】本題考查由面面垂直，推證線面垂直，以及棱錐側面積的求解，屬垂直關系綜合基礎題.11．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，點E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，點P是MN上的一點．（1）證明：EP∥平面SBD；（2）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．【答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件可證平面EMN∥平面SBD，即可證結論；（2）四棱錐的各側面為全等的等腰三角形，只需求出底邊的高，求出側面積，即可求出全面積.【詳解】（1）證明：連接BD，EM，EN，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，∵BD?平面SBD，EM?平面SBD，∴EM∥平面SBD，∵SD?平面SBD，MN?平面SBD，∴MN∥平面SBD，又EM?平面EMN，MN?平面EMN，MN∩EM＝M，∴平面EMN∥平面SBD，而EP?平面EMN，則EP∥平面SBD；（2）解：在四棱錐S﹣ABCD中，由底面ABCD是邊長為2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱錐S﹣ABCD是正四棱錐，又E為BC的中點，連接SE，則SE為四棱錐的斜高，可得，∴四棱錐S﹣ABCD的表面積S．【點睛】本題考查面面平行的判定以及性質，考查正四棱錐的表面積，屬于基礎題.12．如圖，在三棱柱中，平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求三棱錐的表面積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）要證明面面垂直，關鍵是證明線面垂直，根據(jù)條件轉化為證明平面，再轉化為證明和；（2）根據(jù)（1）的垂直關系，計算各個棱長，分別求四個面的面積.【詳解】（1）證明：因為平面ABC，所以因為.所以.即又.所以平面因為平面.所以平面平面（2）解：因為⊥平面ABC，所以則，又，所以是等邊三角形，故又所以三棱錐的表面積為【點睛】本題考查面面垂直的證明和計算幾何體表面積，意在考查空間想象能力和計算能力，屬于基礎題型，本題的關鍵是第一問，不管證明面面垂直還是證明線面垂直，關鍵都需轉化為證明線線垂直，一般證明線線垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底邊中線，高重合，3.菱形對角線互相垂直，4.線面垂直，線線垂直.13．A、B、C是球O表面上三點，AB=6㎝，∠ACB=30°，點O到△ABC所在截面的距離為5㎝，求球O的表面積．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積。【詳解】在中【點睛】根據(jù)正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積。14．已知是球的球面上兩點，，為球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36，求球的表面積.【答案】【分析】如圖所示，當面時，三棱錐的體積最大，根據(jù)體積計算半徑得到答案.【詳解】如圖所示：當面時，三棱錐的體積最大此時，設球的半徑為，則，.【點睛】本題考查了球的表面積，確定垂直時體積最大是解題的關鍵.走進高考1．2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標1卷）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）由，得，．從而得，進而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設，取中點，連結，則底面，且，由四棱錐的體積為，求出，由此能求出該四棱錐的側面積.試題解析：（1）由已知，得，．由于，故，從而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面內作，垂足為．由（1）知，面，故，可得平面．設，則由已知可得，．故四棱錐的體積．由題設得，故．從而，，．可得四棱錐的側面積為2．2015年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標Ⅰ）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，，（I）證明：平面平面；（II）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.【答案】（1）見解析（2）3+2【分析】（1）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由線面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（2）設AB=，通過解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐的體積為求出x，即可求出三棱錐的側面積.【詳解】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD，因為BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）設AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因為AEEC，所以在AEC中，可得EG=.連接EG，由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=.

由已知得，三棱錐EACD的體積.故=2從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐EACD的側面積為.【點睛】本題考查線面垂直的判定與性質；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計算；邏輯推理能力；運算求解能力.3．2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ）圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結，如圖2.（1）證明圖2中的四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.【答案】(1)見詳解；(2)4.【分析】(1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2)欲求四邊形的面