專題04圓錐曲線的綜合應(yīng)用（知識梳理）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019選擇性）

專題04圓錐曲線的綜合應(yīng)用（知識梳理）知識網(wǎng)絡(luò)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)一定點(diǎn)問題例1、（2021·湖南省邵東市第一中學(xué)高二期中）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心的軌跡為．（1）求曲線的方程；（2）過動(dòng)點(diǎn)作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（3）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）證明見解析，點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義可得軌跡方程；（2）分情況討論直線斜率是否存在，聯(lián)立直線與曲線方程，由根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算；（3）分情況討論直線斜率是否存在，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系，證明關(guān)系式，可得直線過定點(diǎn).（1）解：設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則由題意可得，即因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，所以曲線的方程為．（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)；直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，代入曲線方程得；整理可得；，因?yàn)榍殡p曲線的漸近線，且其中一條漸近線的傾斜角為，所以，所以．綜上可得．（3）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，直線當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，直線，當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立得，，下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，把代入整理得，即，所以直線經(jīng)過點(diǎn)．【變式訓(xùn)練11】、（2020·黑龍江哈爾濱師大附中高三模擬）已知以動(dòng)點(diǎn)為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（Ⅱ）過曲線上位于軸兩側(cè)的點(diǎn)、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點(diǎn)，記、、的面積分別為、、，且，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)，半徑為，則，，所以點(diǎn)到直線的距離與到的距離相等，故點(diǎn)的軌跡方程為.（Ⅱ）設(shè)，，則、設(shè)直線：（）代入中得，∵、∴又∴∴直線恒過。

知識點(diǎn)二定值問題例2．（2021·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）點(diǎn)T在直線x=4上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義即可得到答案；（2）設(shè)直線AB的方程為，A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)同向，得到，進(jìn)而將直線方程代入橢圓方程并化簡為：，然后通過根與系數(shù)的關(guān)系求出，隨后得到，同理得到，最后根據(jù)題意求得答案.（1）因?yàn)椋蓹E圓的定義可知，M的軌跡C是以為焦點(diǎn)、長軸長為4的橢圓，設(shè)C的方程為(a>0，b>0)，焦距為2c，根據(jù)題意，解得，所以C的方程為.（2）設(shè)T(4，t)，直線AB的方程為，A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知，同向，則，，將直線AB方程代入C的方程化簡并整理可得，，，由根與系數(shù)的關(guān)系有，，∴，同理可得，又，則，化簡可得，又，則，即，即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為定值0.【點(diǎn)睛】本題的處理技巧在于，方程化簡為，和常規(guī)的處理方法不太一樣，這種處理方式一般在處理直線斜率的問題時(shí)用到，注意歸納總結(jié).【變式訓(xùn)練21】、設(shè)橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，的平行線，兩平行線的交點(diǎn)剛好在橢圓上，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，6.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，橢圓C的離心率為，.①又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，.②結(jié)合，③由①②③，解得.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，根據(jù)對稱性知兩平行線的交點(diǎn)在x軸上，又交點(diǎn)剛好在橢圓C上，交點(diǎn)為長軸端點(diǎn)，則滿足條件的直線的方程是.此時(shí)點(diǎn)，或，，，故；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立方程，消去得，則，，，，不妨設(shè)兩平行線的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)D剛好在橢圓C上，，即此時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)O到直線的距離為，則..故.綜上，為定值6.

知識點(diǎn)三最值問題例3．已知橢圓過點(diǎn)，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的面積的最大值.【解析】．(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.方法二：利用三角換元法，求出N到AM距離的最大值，繼而得出面積最大值18.【變式訓(xùn)練31】、（2021·山東滕州·高二期中）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）設(shè)、是圓的兩條切線，其中，為切點(diǎn)．若點(diǎn)在曲線（其中）上運(yùn)動(dòng)，記直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．【答案】（1）（2）32【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為．由得，解方程求出，進(jìn)而求得半徑即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)，則切線方程為：，由直線與圓相切的條件以及點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，然后表示出三角形的面積，運(yùn)用換元法計(jì)算即可求出結(jié)果.（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為．又因?yàn)閳A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，所以，即，解得：．所以圓心為．半徑為．所以圓的方程為：．（2）設(shè)點(diǎn)，其中，故過與圓相切的直線斜率一定存在且不為．設(shè)過的與圓相切的直線斜率為，則切線方程為：．故圓心到切線的距離．整理得：．故：，．不妨記直線的斜率為，直線的斜率為．所以有：，：，令得，．所以：．．令，則．．所以．．【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．

知識點(diǎn)四范圍問題例4、（2021·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，且弦的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，將點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而求得答案；（2）設(shè)出直線l，并代入拋物線方程化簡，通過根與系數(shù)的關(guān)系得到和線段的中點(diǎn)公式，進(jìn)而將中點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，然后將所得式子化簡，最后通過函數(shù)求值域的方法求得答案.（1）拋物線的漸近線為，由拋物線的定義可知，，則拋物線的方程為：．（2）設(shè)直線的方程為，，．將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，于是，，，且，化簡得①．設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得，且，由①代入消元，消去，得．令，則，于是，解得或．若當(dāng)時(shí)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以隨單調(diào)遞增（增+增），故．若當(dāng)時(shí)，令，則．因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞減，故.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】的下一步進(jìn)行換元，可以簡化式子，這一步的處理非常重要；然后解得或之后的處理一定要注意，如果通過不等式不好處理，那么一定要從函數(shù)的角度來處理范圍問題．【變式訓(xùn)練41】、如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)，其中，由