數(shù)學(xué)-浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中測(cè)試試卷和解析

第1頁(yè)/共22頁(yè)鎮(zhèn)海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷2.若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，則m的值為()A.1B.33.若點(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x4.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.47255.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f,(x)>0，g,(x)>0，則x<0時(shí)，以下說(shuō)法正確的是()6.若函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為()7.已知a=log20232024，b=log20242025，c=log20252026，則()第2頁(yè)/共22頁(yè)8.已知橢圓左焦點(diǎn)為F，在橢圓C上取三個(gè)不同點(diǎn)P、Q、R，且3FPFQFR3FPFQFRB.C.D.9.下列選項(xiàng)正確的是()10.已知拋物線C:y2=4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線l與拋物線交C于M(x1,y1)，N(x2,y2)兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.若點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,1)，則AF+AB的最小值為3B.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則以MN為直徑的圓與x=—1相切C.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，當(dāng)MN丄OF時(shí)，則OM.ON=5D.設(shè)直線MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0)，則該直線的斜率與x0無(wú)關(guān)，與y0有關(guān)n，則下列結(jié)論中一定正確的是()A.a10102013.已知雙曲線與直線y=x—1相交于A，B兩點(diǎn)，其中AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為—，則該雙曲線的離心率為.(a+5)x5，若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范第3頁(yè)/共22頁(yè)15已知函數(shù)f(x)=xex..（1）求f(x)的最小值；（2）求f(x)在點(diǎn)(1,e)處的切線方程.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.已知雙曲線C:x2（1）求雙曲線C的漸近線方程；18.已知函數(shù)=mx2+lnx=xexx2其中f(x)在x=1處取得極值（1）求m的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若nx≤g(x)—f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.19.在必修一中，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用二分法來(lái)求方程的近似解，而牛頓（IssacNewton，1643-1727）在《流數(shù)法》一書(shū)中給出了“牛頓切線法”求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=fx的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取x0作為r的初始近似值，曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0))處的切線為l1，設(shè)l1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，并稱x1為r的1次近似值；曲線y=fx在點(diǎn)x1,fx1))處的切線為l2，設(shè)l2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2為r的2次近似值.一般地，曲線y=fx在點(diǎn)(xn,f(xn))(n∈N)處的切線為ln+1，記ln+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn+1，并稱xn+1為r的n+1次近似值.不斷重復(fù)以上操作，在一定精確度下，就可取xn為方程f(x)=0的近似解.現(xiàn)在用這種方法求函數(shù)f(x)=x2—2的大于零的零點(diǎn)r的近似值，取x0=2.第4頁(yè)/共22頁(yè)（1）求x1和x2；（2）求xn和xn-1的關(guān)系并證明(n∈N*)；第5頁(yè)/共22頁(yè)鎮(zhèn)海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和表達(dá)式即可得到方程，解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S34故選：A.2.若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，則m的值為()A.1B.3【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出關(guān)于m的等式，即可得解.【詳解】對(duì)于拋物線y2=4x，2p=4，可得p=2，故該拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，故選：B.3.若點(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x【答案】D【解析】【分析】分析可知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，即可得解.第6頁(yè)/共22頁(yè)【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等，所以，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，故點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x.故選：D.4.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系，利用規(guī)律求解即可可知數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，故選：C5.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f,(x)>0，g,(x)>0，則x<0時(shí)，以下說(shuō)法正確的是()A.f,(x)+g,(x)>0B.f,(x)-g,(x)>0【答案】B【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷當(dāng)x<0時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷各項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，第7頁(yè)/共22頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反；g,(x)而當(dāng)g,(x)而當(dāng)由g,(x)<0，則-g,(x)>0，又f,(x)>0，所f,(x),g,(x)異號(hào)，所以f,<0，故CD錯(cuò)；故選：B6.若函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為()A.k≥-B.k≤-1【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可由f，得f,又f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，所以f′x)≥0在[2,+∞)上恒成立，即kx2+2x-k≤0在[2,+∞)上恒成立，)單調(diào)遞減，所以t≤-，則-≤<0，故選：D7.已知a=log20232024，b=log20242025，c=log20252026，則().第8頁(yè)/共22頁(yè)【答案】A·【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中x>1，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性，可得出a=f(2023)，b=f(2024)，c=f(2025)，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得出a、b、c的大小關(guān)系.所以，函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)，所以，f(2023)>f(2024)>f(2025)，即故選：A.8.已知橢圓C:+=1，左焦點(diǎn)為F，在橢圓C上取三個(gè)不同點(diǎn)P、Q、R，且3FPFQFR3FPFQFRB.-C.-D.-【答案】B【解析】【分析】以F為頂點(diǎn)，x軸的正方向?yàn)棣仁歼叺姆较?，F(xiàn)P為角θ的終邊，推導(dǎo)出同理可得出然后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出第9頁(yè)/共22頁(yè)的最小值.【詳解】在橢圓C中，a=6c=3，如下圖所示：橢圓的左準(zhǔn)線為=-12，以F為頂點(diǎn)，x軸的正方向?yàn)棣仁歼叺姆较?，F(xiàn)P為角θ的終邊，當(dāng)0<θ<時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN丄l，過(guò)點(diǎn)F作FM^PN，垂足分別為點(diǎn)N、M，易知四邊形EFMN為矩形，則-c=12-3=9，由橢圓第二定義可得，則iPNi=2iPFi，又因?yàn)镻N//x軸，則上FPN=θ,所以，cosθ=，所以，iPMi=iPFicosθ,因?yàn)镻Ni=iPMi+iMN，即2PFi=PFicosθ+9，所以，同理可知，當(dāng)θ為任意角時(shí)，等式仍然成立，同理可得第10頁(yè)/共22頁(yè) FPFQFR39故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.9.下列選項(xiàng)正確的是()C.y=lnx，D.y=cos2x，y,=-sin2x【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于ABC，由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷；對(duì)于D，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求出函數(shù)y=cos2x的導(dǎo)函數(shù)，從而得解.【詳解】對(duì)于A，則y,=-，故A正確；對(duì)于B，y=2x，則y,=2x對(duì)于D，y=cos2x，則y,=(-sin2x)×2=-2sin2x，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.第11頁(yè)/共22頁(yè)10.已知拋物線C:y2=4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線l與拋物線交C于M(x1,y1)，N(x2,y2)兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.若點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,1)，則AF+AB的最小值為3B.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則以MN為直徑的圓與x=-1相切C.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，當(dāng)MN丄OF時(shí)，則OM.ON=5D.設(shè)直線MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0)，則該直線的斜率與x0無(wú)關(guān)，與y0有關(guān)【答案】BCD【解析】【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng)；求出M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為l:x=-1，設(shè)點(diǎn)A在直線l上的射影點(diǎn)為D，由拋物線的定義可得AD=AF，則AB+AF=AB+AD，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)BD丄l時(shí)，AB+AF取最小值3+1=4，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則MN=x1+x2+2，第12頁(yè)/共22頁(yè)線段MN的中點(diǎn)E到直線l的距離為所以，MN=2d，因此，以MN為直徑的圓與x=-1相切，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)MN丄OF時(shí)，直線MN的方程為x=1，此時(shí)，OM.ON=5，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0)，若MN丄x軸，則線段MN的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，所以直線MN的斜率存在，由題意可得，所以，kMN=D對(duì).故選：BCD.n，則下列結(jié)論中一定正確的是()A.a101020【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可判斷各項(xiàng)的取值范圍.【詳解】由題意得，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.*n+2n22第13頁(yè)/共22頁(yè)故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于利用遞推公式逐項(xiàng)求解各項(xiàng)的范圍即可.【答案】##0.1【解析】【分析】把遞推公式變形并判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后求出通項(xiàng)即可求得所以數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以， 13.已知雙曲線與直線y=x-1相交于A，B兩點(diǎn)，其中AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-，則該雙曲線的離心率為. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法可求a,b的關(guān)系，從而可求離心率.第14頁(yè)/共22頁(yè)【詳解】設(shè)AX1,y1,BX2,y2，AB中點(diǎn)為M，則xM=-故yM=-，故答案為：14.已知函數(shù)f(x)=5ex+aln(x+1)-(a+5)x-5，若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范【解析】【分析】就a>0、a≤0分類討論，前者再就0≤a≤5,a>5分類后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論單調(diào)性后可得相應(yīng)范圍，后者結(jié)合常見(jiàn)的函數(shù)不等式可得恒成立，故可得參數(shù)的取值范圍.因?yàn)閍>0，故y=5ex,y=-均為上的增函數(shù)，故g,(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，(0,+∞)上恒成立，故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，故g(x)>g(0)=0恒成立，故f(x)為(0,+∞)上為增函數(shù)，故f(x)>f(0)=0恒成立，第15頁(yè)/共22頁(yè)存在x0存在x0(x)在(0,x0)上為減函數(shù)，故f(x)<f(0)=0，與題設(shè)矛盾，故sx-1>0，而a≤0，故5(ex-x-1)-ax-ln(x【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式的恒成立，注意驗(yàn)證區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值，如果函數(shù)值為零，則往往需要討論導(dǎo)數(shù)（或二階導(dǎo)數(shù)）在端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，從而得到分類討論的標(biāo)準(zhǔn).15.已知函數(shù)f(x)=xex.（1）求f(x)的最小值；（2）求f(x)在點(diǎn)(1,e)處的切線方程.min（2）y=2ex-e【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后討論其符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性可求最小值；（2）求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)后可求切線方程.【小問(wèn)1詳解】第16頁(yè)/共22頁(yè)故f(x)在(-∞,-1)上為減函數(shù)，在(-1,+∞)上為增函數(shù)，【小問(wèn)2詳解】即切線方程為：y=2ex-e.16.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=-1，2Sn=Sn+1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(-2)n-1n-1【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的遞歸關(guān)系可得an+2=-2an+1，故可得公比，從而可求通項(xiàng)；（2）利用錯(cuò)位相減法可求Tn.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?Sn=Sn+1+Sn+2，所以2Sn-2Sn+1=Sn+2-Sn+1，所以an+2=-2an+1，而{an}為等比數(shù)列，故公比q=-2，故an=-(-2)n-1.【小問(wèn)2詳解】ann-1，第17頁(yè)/共22頁(yè),n-1-n,)n17.已知雙曲線C:x2-=1（1）求雙曲線C的漸近線方程； （2）-【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的方程可得出其漸近線方程；（2）設(shè)點(diǎn)A(X1,y1、BX2,y2)，將直線PQ的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可求得λ1+λ2的值.【小問(wèn)1詳解】所以，該雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.【小問(wèn)2詳解】)，設(shè)點(diǎn)A(X1,y1)、B(X2,y2)，第18頁(yè)/共22頁(yè)=λ218.已知函數(shù)=mx2+lnx-=xex-x2-其中f(x)在x=1處取得極值（1）求m的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若nx≤g(x)-f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.【解析】【分析】（1）由題意可得f,(1)=0，可求出m的值，然后檢驗(yàn)即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)f(x)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）由參變量分離法可得出n≤ex-利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)=ex-在0,+∞上的最小第19頁(yè)/共22頁(yè)值，即可得出實(shí)數(shù)n的取值范圍.·【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值，則f,(1)=2m+2=0，解得m=-1，經(jīng)檢驗(yàn)，合乎題意.【小問(wèn)2詳解】由可知，f=-x2+lnx-，其中x>0，由f,(x)=0，可得x=1，列表如下：x1′f(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為0,1)，減區(qū)間為1,+∞.【小問(wèn)3詳解】(x)-f(x)=xex-lnx-1，可得n≤ex-，x-，其中x>0，所以，函數(shù)p(x)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，第20頁(yè)/共22頁(yè)由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的，使得t2et+lnt=0，所以，函數(shù)q(x)在1,+∞上為增函數(shù)，所以，函數(shù)?(x)的減區(qū)間為(0,t)，增區(qū)間為(t,+∞)，所以