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第1頁(yè)/共22頁(yè)鎮(zhèn)海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷2.若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則m的值為()A.1B.33.若點(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x4.任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.47255.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f,(x)>0,g,(x)>0,則x<0時(shí),以下說(shuō)法正確的是()6.若函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍為()7.已知a=log20232024,b=log20242025,c=log20252026,則()第2頁(yè)/共22頁(yè)8.已知橢圓左焦點(diǎn)為F,在橢圓C上取三個(gè)不同點(diǎn)P、Q、R,且3FPFQFR3FPFQFRB.C.D.9.下列選項(xiàng)正確的是()10.已知拋物線C:y2=4x,F(xiàn)為其焦點(diǎn),直線l與拋物線交C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.若點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,1),則AF+AB的最小值為3B.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,則以MN為直徑的圓與x=—1相切C.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,當(dāng)MN丄OF時(shí),則OM.ON=5D.設(shè)直線MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0),則該直線的斜率與x0無(wú)關(guān),與y0有關(guān)n,則下列結(jié)論中一定正確的是()A.a10102013.已知雙曲線與直線y=x—1相交于A,B兩點(diǎn),其中AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為—,則該雙曲線的離心率為.(a+5)x5,若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范第3頁(yè)/共22頁(yè)15已知函數(shù)f(x)=xex..(1)求f(x)的最小值;(2)求f(x)在點(diǎn)(1,e)處的切線方程.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.已知雙曲線C:x2(1)求雙曲線C的漸近線方程;18.已知函數(shù)=mx2+lnx=xexx2其中f(x)在x=1處取得極值(1)求m的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若nx≤g(x)—f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.19.在必修一中,我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用二分法來(lái)求方程的近似解,而牛頓(IssacNewton,1643-1727)在《流數(shù)法》一書中給出了“牛頓切線法”求方程的近似解.具體步驟如下:設(shè)r是函數(shù)y=fx的一個(gè)零點(diǎn),任意選取x0作為r的初始近似值,曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0))處的切線為l1,設(shè)l1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,并稱x1為r的1次近似值;曲線y=fx在點(diǎn)x1,fx1))處的切線為l2,設(shè)l2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2,稱x2為r的2次近似值.一般地,曲線y=fx在點(diǎn)(xn,f(xn))(n∈N)處的切線為ln+1,記ln+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn+1,并稱xn+1為r的n+1次近似值.不斷重復(fù)以上操作,在一定精確度下,就可取xn為方程f(x)=0的近似解.現(xiàn)在用這種方法求函數(shù)f(x)=x2—2的大于零的零點(diǎn)r的近似值,取x0=2.第4頁(yè)/共22頁(yè)(1)求x1和x2;(2)求xn和xn-1的關(guān)系并證明(n∈N*);第5頁(yè)/共22頁(yè)鎮(zhèn)海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和表達(dá)式即可得到方程,解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則S34故選:A.2.若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則m的值為()A.1B.3【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得出關(guān)于m的等式,即可得解.【詳解】對(duì)于拋物線y2=4x,2p=4,可得p=2,故該拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),故選:B.3.若點(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x【答案】D【解析】【分析】分析可知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn),直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,即可得解.第6頁(yè)/共22頁(yè)【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等,所以,點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn),直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x.故選:D.4.任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系,利用規(guī)律求解即可可知數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,故選:C5.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f,(x)>0,g,(x)>0,則x<0時(shí),以下說(shuō)法正確的是()A.f,(x)+g,(x)>0B.f,(x)-g,(x)>0【答案】B【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),判斷當(dāng)x<0時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷各項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同,第7頁(yè)/共22頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反;g,(x)而當(dāng)g,(x)而當(dāng)由g,(x)<0,則-g,(x)>0,又f,(x)>0,所f,(x),g,(x)異號(hào),所以f,<0,故CD錯(cuò);故選:B6.若函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍為()A.k≥-B.k≤-1【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可由f,得f,又f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f′x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即kx2+2x-k≤0在[2,+∞)上恒成立,)單調(diào)遞減,所以t≤-,則-≤<0,故選:D7.已知a=log20232024,b=log20242025,c=log20252026,則().第8頁(yè)/共22頁(yè)【答案】A·【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),其中x>1,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,可得出a=f(2023),b=f(2024),c=f(2025),結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得出a、b、c的大小關(guān)系.所以,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),所以,f(2023)>f(2024)>f(2025),即故選:A.8.已知橢圓C:+=1,左焦點(diǎn)為F,在橢圓C上取三個(gè)不同點(diǎn)P、Q、R,且3FPFQFR3FPFQFRB.-C.-D.-【答案】B【解析】【分析】以F為頂點(diǎn),x軸的正方向?yàn)棣仁歼叺姆较?,F(xiàn)P為角θ的終邊,推導(dǎo)出同理可得出然后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出第9頁(yè)/共22頁(yè)的最小值.【詳解】在橢圓C中,a=6c=3,如下圖所示:橢圓的左準(zhǔn)線為=-12,以F為頂點(diǎn),x軸的正方向?yàn)棣仁歼叺姆较?,F(xiàn)P為角θ的終邊,當(dāng)0<θ<時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PN丄l,過(guò)點(diǎn)F作FM^PN,垂足分別為點(diǎn)N、M,易知四邊形EFMN為矩形,則-c=12-3=9,由橢圓第二定義可得,則iPNi=2iPFi,又因?yàn)镻N//x軸,則上FPN=θ,所以,cosθ=,所以,iPMi=iPFicosθ,因?yàn)镻Ni=iPMi+iMN,即2PFi=PFicosθ+9,所以,同理可知,當(dāng)θ為任意角時(shí),等式仍然成立,同理可得第10頁(yè)/共22頁(yè) FPFQFR39故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值;二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.9.下列選項(xiàng)正確的是()C.y=lnx,D.y=cos2x,y,=-sin2x【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于ABC,由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷;對(duì)于D,由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求出函數(shù)y=cos2x的導(dǎo)函數(shù),從而得解.【詳解】對(duì)于A,則y,=-,故A正確;對(duì)于B,y=2x,則y,=2x對(duì)于D,y=cos2x,則y,=(-sin2x)×2=-2sin2x,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.第11頁(yè)/共22頁(yè)10.已知拋物線C:y2=4x,F(xiàn)為其焦點(diǎn),直線l與拋物線交C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.若點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,1),則AF+AB的最小值為3B.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,則以MN為直徑的圓與x=-1相切C.若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,當(dāng)MN丄OF時(shí),則OM.ON=5D.設(shè)直線MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0),則該直線的斜率與x0無(wú)關(guān),與y0有關(guān)【答案】BCD【解析】【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng);利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng);求出M、N的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng);利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),如下圖所示:拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為l:x=-1,設(shè)點(diǎn)A在直線l上的射影點(diǎn)為D,由拋物線的定義可得AD=AF,則AB+AF=AB+AD,當(dāng)且僅當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí),即當(dāng)BD丄l時(shí),AB+AF取最小值3+1=4,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,則MN=x1+x2+2,第12頁(yè)/共22頁(yè)線段MN的中點(diǎn)E到直線l的距離為所以,MN=2d,因此,以MN為直徑的圓與x=-1相切,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)MN丄OF時(shí),直線MN的方程為x=1,此時(shí),OM.ON=5,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0),若MN丄x軸,則線段MN的中點(diǎn)在x軸上,不合乎題意,所以直線MN的斜率存在,由題意可得,所以,kMN=D對(duì).故選:BCD.n,則下列結(jié)論中一定正確的是()A.a101020【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可判斷各項(xiàng)的取值范圍.【詳解】由題意得,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.*n+2n22第13頁(yè)/共22頁(yè)故選:AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解本題的關(guān)鍵在于利用遞推公式逐項(xiàng)求解各項(xiàng)的范圍即可.【答案】##0.1【解析】【分析】把遞推公式變形并判斷數(shù)列是等差數(shù)列,然后求出通項(xiàng)即可求得所以數(shù)列首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以, 13.已知雙曲線與直線y=x-1相交于A,B兩點(diǎn),其中AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,則該雙曲線的離心率為. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法可求a,b的關(guān)系,從而可求離心率.第14頁(yè)/共22頁(yè)【詳解】設(shè)AX1,y1,BX2,y2,AB中點(diǎn)為M,則xM=-故yM=-,故答案為:14.已知函數(shù)f(x)=5ex+aln(x+1)-(a+5)x-5,若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范【解析】【分析】就a>0、a≤0分類討論,前者再就0≤a≤5,a>5分類后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論單調(diào)性后可得相應(yīng)范圍,后者結(jié)合常見的函數(shù)不等式可得恒成立,故可得參數(shù)的取值范圍.因?yàn)閍>0,故y=5ex,y=-均為上的增函數(shù),故g,(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),故g(x)>g(0)=0恒成立,故f(x)為(0,+∞)上為增函數(shù),故f(x)>f(0)=0恒成立,第15頁(yè)/共22頁(yè)存在x0存在x0(x)在(0,x0)上為減函數(shù),故f(x)<f(0)=0,與題設(shè)矛盾,故sx-1>0,而a≤0,故5(ex-x-1)-ax-ln(x【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:不等式的恒成立,注意驗(yàn)證區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值,如果函數(shù)值為零,則往往需要討論導(dǎo)數(shù)(或二階導(dǎo)數(shù))在端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào),從而得到分類討論的標(biāo)準(zhǔn).15.已知函數(shù)f(x)=xex.(1)求f(x)的最小值;(2)求f(x)在點(diǎn)(1,e)處的切線方程.min(2)y=2ex-e【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后討論其符號(hào),結(jié)合單調(diào)性可求最小值;(2)求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)后可求切線方程.【小問(wèn)1詳解】第16頁(yè)/共22頁(yè)故f(x)在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,+∞)上為增函數(shù),【小問(wèn)2詳解】即切線方程為:y=2ex-e.16.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-1,2Sn=Sn+1(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(-2)n-1n-1【解析】【分析】(1)根據(jù)題設(shè)的遞歸關(guān)系可得an+2=-2an+1,故可得公比,從而可求通項(xiàng);(2)利用錯(cuò)位相減法可求Tn.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?Sn=Sn+1+Sn+2,所以2Sn-2Sn+1=Sn+2-Sn+1,所以an+2=-2an+1,而{an}為等比數(shù)列,故公比q=-2,故an=-(-2)n-1.【小問(wèn)2詳解】ann-1,第17頁(yè)/共22頁(yè),n-1-n,)n17.已知雙曲線C:x2-=1(1)求雙曲線C的漸近線方程; (2)-【解析】【分析】(1)根據(jù)雙曲線的方程可得出其漸近線方程;(2)設(shè)點(diǎn)A(X1,y1、BX2,y2),將直線PQ的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可求得λ1+λ2的值.【小問(wèn)1詳解】所以,該雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.【小問(wèn)2詳解】),設(shè)點(diǎn)A(X1,y1)、B(X2,y2),第18頁(yè)/共22頁(yè)=λ218.已知函數(shù)=mx2+lnx-=xex-x2-其中f(x)在x=1處取得極值(1)求m的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若nx≤g(x)-f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.【解析】【分析】(1)由題意可得f,(1)=0,可求出m的值,然后檢驗(yàn)即可;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)f(x)的增區(qū)間和減區(qū)間;(3)由參變量分離法可得出n≤ex-利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)=ex-在0,+∞上的最小第19頁(yè)/共22頁(yè)值,即可得出實(shí)數(shù)n的取值范圍.·【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值,則f,(1)=2m+2=0,解得m=-1,經(jīng)檢驗(yàn),合乎題意.【小問(wèn)2詳解】由可知,f=-x2+lnx-,其中x>0,由f,(x)=0,可得x=1,列表如下:x1′f(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以,函數(shù)f(x)的增區(qū)間為0,1),減區(qū)間為1,+∞.【小問(wèn)3詳解】(x)-f(x)=xex-lnx-1,可得n≤ex-,x-,其中x>0,所以,函數(shù)p(x)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增,第20頁(yè)/共22頁(yè)由零點(diǎn)存在定理可知,存在唯一的,使得t2et+lnt=0,所以,函數(shù)q(x)在1,+∞上為增函數(shù),所以,函數(shù)?(x)的減區(qū)間為(0,t),增區(qū)間為(t,+∞),所以
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