專題10平面向量（解析版） - 大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2025）與優(yōu) 質(zhì)模擬題（新高考卷與全國理科卷）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2015-2024）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷）專題10平面向量1．【2024年甲卷理科第9題】設(shè)向量a=x+1,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?【答案】C【詳解】對A，當(dāng)a⊥b時(shí)，則所以x?(x+1)+2對C，當(dāng)x=0時(shí)，a=1,0所以a⊥對B，當(dāng)a//b時(shí)，則2(x+對D，當(dāng)x=?1+3時(shí)，不滿足2(故選：C.2．【2024年新高考2卷第3題】已知向量a,b滿足a=1,a+2A．12 B．22 C．3【答案】B【詳解】因?yàn)閎?2a⊥b又因?yàn)閍=所以1+從而b=故選：B.3．【2024年新高考1卷第3題】已知向量a=(0,1),b=(2,x)A．?2 B．?1 C．1【答案】D【詳解】因?yàn)閎⊥b?所以b2?4a?故選：D.4．【2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第3題】已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．C．λμ=1 D．【答案】D【詳解】因?yàn)閍=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ故選：D．5．【2023年高考全國乙卷理第12題】已知?O的半徑為1，直線PA與?O相切于點(diǎn)A，直線PB與?O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則PA?A．1+22C．1+2 【答案】A【詳解】如圖所示，OA=1,OP由勾股定理可得PA

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)則：PA=====0≤α<π∴當(dāng)2α?π4=?π

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)則：PA=====10≤α<π∴當(dāng)2α+π4=π綜上可得，PA?PD的最大值為故選：A.6．【2023年高考全國甲卷理第4題】已知向量a,b,c滿足a=b=A．?45 B．?25 C．【答案】D【詳解】因?yàn)閍+b+即a2+b2+如圖,設(shè)OA=由題知,OA=OB=1,AB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2故選:D.7．【2022年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第3題】在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，A．3m?2n B．?2m+3【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，所以BD=所以CB=故選：B．8．【2022年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第4題】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=A．?6 B．?5 C．5 D【答案】C【詳解】解：c=3+t,4,cosa,c故選：C9．【2022年高考全國乙卷理第3題】已知向量a,b滿足|a|=A．?2 B．?1 C．1【答案】C【詳解】解：∵|a又∵|∴9=1∴a故選：C.10．【2020年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第3題】在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CB=（

）A．2CD+CA B．CD?2CA C【答案】C【詳解】CB故選：C11．【2020年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第7題】已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP?AB的取值范圍是（A．(?2,6) C．(?2,4) 【答案】A【詳解】AB的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是(?結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知AP?AB等于AB的模與AP在所以AP?AB的取值范圍是故選：A.12．【2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第6題】已知向量a，b滿足|a|=5，|bA．?3135 B．?1935 C．【答案】D【詳解】∵a=5，b=6a+因此，cos<故選：D.13．【2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第3題】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，則AB?A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【詳解】由BC=AC?AB=(1,t?3)，14．【2019年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第7題】已知非零向量a，b滿足a=2b，且（aA．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【詳解】因?yàn)?a?b)⊥b，所以(a?b)?b=15．【2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第6題】在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EBA．34AB?C．34AB+【答案】A【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得BE=12BA所以EB=16．【2018年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第4題】已知向量a,b滿足a=1A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【詳解】因?yàn)閍所以選B.17．【2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第12題】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若AP=λAB+μAD，則λ+A．3 B．22 C．5 D．2【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0,1易得圓的半徑r=25，即圓C的方程是AP=x,則x=2μy?1=?λ設(shè)z=x2?y+1，即x2所以圓心(2,0)到直線x2?y+1?z=0的距離d≤r所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故選A.18．【2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第12題】已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?(PB+A．?2 B．?32 C．?【答案】B【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A(0,3)，B設(shè)P(x,y)，則PA則PA∴當(dāng)x=0，y=32故選：B．19．【2016年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第3題】已知向量BA=(12,3A．30° B．45° C．60°【答案】A【詳解】由題意，得cos∠ABC=BA?20．【2016年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第3題】已知向量a=1,m，bA．?8 B．?6C．6 D．8【答案】D【詳解】∵a=(1,m∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．21．【2015年新課標(biāo)Ⅰ理科第7題】設(shè)D為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若BCA．AD=?13C．AD=43【答案】A【詳解】∵BC∴AC?AB=3(AD?AC)；∴AD=43AC?故選A.22．【2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第13題】已知向量a，b滿足a?b=3，a【答案】3【詳解】法一：因?yàn)閍+b=則a2+2又因?yàn)閍?b=則a2?2法二：設(shè)c=a?由題意可得：c+2b整理得：c2=b故答案為：3.23．【2022年高考全國甲卷理第13題】設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=【答案】11【詳解】解：設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為13，即cos又a=1，b=所以2a故答案為：11．24．【2021年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第15題】已知向量a+b+c=0，a【答案】?【詳解】由已知可得a+因此，a?故答案為：?925．【2021年高考全國乙卷理第14題】已知向量a=1,3,b=3,4【答案】3【詳解】因?yàn)閍?λb=31?3故答案為：3526．【2021年高考全國甲卷理第14題】已知向量a=3,1,b=1,0【答案】?10【詳解】∵a∵a⊥c故答案為：?1027．【2020年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第13題】已知單位向量a→,b→的夾角為45°，ka→?b→【答案】2【詳解】由題意可得：a→由向量垂直的充分必要條件可得：ka即：k×a→2故答案為：2228．【2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第14題】設(shè)a,b為單位向量，且|a+【答案】3【詳解】因?yàn)閍,b所以a解得：2所以a故答案為：329．【2019年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第13題】已知a,b為單位向量，且a?b=0，若c【答案】23【詳解】因?yàn)閏=2a所以a?|c|2所以cos<a,30．【2018年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第13題】已知向量a=1,2，b=2,?2，c【答案】1【詳解】由題可得2∵c//∴4λ?故答案為131．【2017年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第13題】已知向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.【答案】2【詳解】∵平面向量a與b的夾角為600∴a?∴a故答案為2332．【2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第13題】設(shè)向量a=m,1，b=1,2【答案】-2【詳解】由題意得(33．【2015年新課標(biāo)Ⅱ理科第13題】設(shè)向量a，b不平行，向量λa+b與a+【答案】1【詳解】因?yàn)橄蛄喀薬+b與a+2b平行，所以1．（2024·河北衡水·三模）已知e1,e2是單位向量，e1?eA．π6 B．π4 C．π3【答案】A【詳解】e1+2e1+2e2?e則cosθ=e1+2故選：A．

2．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE=2EC，DF=FCA．?12ABC．?13AB【答案】A【詳解】在?ABCD中，由BE=2EC得EF=故選：A

3．（2024·貴州六盤水·三模）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1【答案】A【詳解】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知AC=AB+F為BC中點(diǎn)，則BC=2BF=點(diǎn)O為△ABC的重心，則OF=代入（??）得到，BC=代入（?）得到，AC=結(jié)合AC=λOA+μOB，可得故選：A.

4．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，若DF=A．12AB+C．12AB+【答案】B【詳解】在△ABC中，取AC,則AC=因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別為AB,所以EF=所以AF=故選：B.

5．（2024·江蘇蘇州·三模）已知|a?b|=|2a?bA．4 B．23 C．43【答案】B【詳解】由題意可得|2a?b|=所以4a2因?yàn)閍?b=2，所以所以a2?①?②可得3a2又2a?b則2a?b?a則a?b=32a2故選：B

6．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，點(diǎn)E滿足2AE=3EB，在平面ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P滿足A．41+4 B．41?6 C．【答案】A【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)（O是BE中點(diǎn)），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB=5，AD=4，2AE所以動(dòng)點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)Pcos則A0,4DP?其中銳角φ滿足tanφ=54，故DP故選：A.

7．（2024·重慶九龍坡·三模）已知|a|=2，b=1,2，A．π6 B．π3 C．2π3【答案】D【詳解】由b=1,2由a+2b即a2+4所以cosa又0≤a,b≤故選：D.

8．（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=?3,λ，若aA．-1 B．1 C．±1 D．【答案】A【詳解】因?yàn)閍=3,2所以a?a+a+因?yàn)閍+又a+所以λ2解得λ=1或λ=?因?yàn)?3+λ≠0解得?2所以λ=?1故選：A.

9．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在C上，若定點(diǎn)A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2 B．△C．四邊形OPMF可能是平行四邊形 D．FM?OP【答案】BD【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為Fp2,0又點(diǎn)M2,3滿足MF=整理得3p2+8p?即拋物線C:所以準(zhǔn)線方程為x=?1對于選項(xiàng)B：過點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=?1由拋物線的定義可知PH=則△PMF周長=PM當(dāng)且僅當(dāng)M、P、H三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以△PMF周長的最小值為5對于選項(xiàng)C：過點(diǎn)M作OF的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，即y2=4xy=則MP=所以四邊形OPMF不是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)Py24可得FM?當(dāng)且僅當(dāng)y=?2所以FM?OP的最小值為故選：BD

10．（2024·江西鷹潭·三模）已知向量a=sinθ,cosθ，bA．若a⊥bB．c在b方向上的投影向量為1C．存在θ，使得a在c?D．a(chǎn)?b【答案】ACD【詳解】對于A，若a⊥b，則則θ+π3=kπk∈對于B，c在b方向上的投影向量為c?對于C，a在c?b方向上的投影向量的模為若|sinθ+2cosθ即5sinθ+φ=2，其中所以sinθ+φ所以存在θ，使得a在c?對于D，a?因?yàn)?1≤sinθ+π所以|1|≤故選：ACD.

11．（2024·廣東江門·三模）定義兩個(gè)非零平面向量的一種新運(yùn)算a?b=|a||b|?A．a(chǎn)在b上的投影向量為|B．(C．λD．若a?b【答案】BD【詳解】對于選項(xiàng)A，a在b上的投影向量為|a對于選項(xiàng)B，(a對于選項(xiàng)C，λ(顯然λ<0時(shí)，λ對于選項(xiàng)D，由a?b=0，所以|a故選：BD．12．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量a，b的夾角為π3，且a=1，bA．a(chǎn)?b⊥C．2a+b=2b 【答案】AB【詳解】a?b=a+b22a+b又因?yàn)?b=4a在b上的投影向量為a?故選：AB．

13．（2024·江蘇宿遷·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若23ccos2A+C2A．B=π3 B．bC．△ABC面積的最大值為23 D．△ABC周長的最大值為【答案】AB【詳解】對于A，由23cco所以3c3sinC1?cos可得3cosB+sinB=3∴B=π對于B，設(shè)BA=c，BC=a，AC=b，根據(jù)題意，BA+BC=∴BA+BC2=∴ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立，又CA=BA∴b2=a2對于C，由B，可得S△ABC對于D，由前面選項(xiàng)，可得b2=12?2∴b2=36?2a+c2，即b=36所以三角形周長l=a+c+b=a+c+36則l'=1?2t36?2t223<t≤4故選：AB.

14．（2024·湖北武漢·二模）已知點(diǎn)A,B,C,D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若【答案】