第11講 正多邊形與圓（3種題型）（原卷版）

第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個(gè)多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角至少為_______度．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是__度．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點(diǎn)E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）當(dāng)∠DOE＝90°時(shí)，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）有一個(gè)正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、、為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．10 C．12 D．20二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)正多邊形的中心角是30°，則這個(gè)多邊形是正____邊形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正n邊形的中心角為72°，則______．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．8．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？计谀┮粋€(gè)正n邊形的中心角為，則n為___________．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．三、解答題10．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點(diǎn)．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點(diǎn)．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是正六邊形的邊上一點(diǎn)，則的度數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，面積為6的正六邊形中，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）正方形內(nèi)接于，E是的中點(diǎn)，連接，則________°．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），則的度數(shù)為______°．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點(diǎn)、，則______°．

7．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計(jì)的面積，則的面積約為________．8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則______°．

三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個(gè)正六邊形的邊心距r6、面積S6．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．12．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；如圖②，在正方形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；[理解與運(yùn)用]在正六邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；在正十邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，與相交于；也會(huì)有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)、都在格點(diǎn)上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個(gè)內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，__________．題型四：尺規(guī)作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個(gè)正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）．②請?jiān)趫D2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點(diǎn)的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）．

2．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點(diǎn)，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點(diǎn)，三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交于一點(diǎn)，事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點(diǎn)，請運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，作BC的中點(diǎn)F;②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點(diǎn)P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點(diǎn)，使點(diǎn)稱為正五邊形的中心．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個(gè)含30°的直角三角形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點(diǎn)A在圓上．求作：以A為一頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正方形ABCD．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點(diǎn)H．②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個(gè)單位長度，那么平面上任一點(diǎn)M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．2．（2023?鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．3．（2023?梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個(gè)外角為40°的正多邊形的頂點(diǎn)．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（）A．14° B．40° C．30° D．15°4．（2023?姜堰區(qū)二模）一個(gè)正多邊形，它的每個(gè)內(nèi)角是與其相鄰?fù)饨堑?倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個(gè)外角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（）A．22° B．23° C．24° D．25°7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點(diǎn)P，則∠APC的度數(shù)為（）A．126° B．127° C．128° D．129°8．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°10．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M，N分別為邊BC，EF上的動(dòng)點(diǎn)，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E是圓O上的五等分點(diǎn)，該圖形繞點(diǎn)O至少旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)°．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點(diǎn)M，則OM的長為．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為．16．（2023?寶應(yīng)縣二模）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)是，則B點(diǎn)的坐標(biāo)是．17．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝°．?18．（2023?高港區(qū)二模）如圖，點(diǎn)M在正六邊形的邊EF上運(yùn)動(dòng)．若∠ABM＝x°，寫出一個(gè)符合條件的x的值．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，連接DP，CP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．21．（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點(diǎn)E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點(diǎn)C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點(diǎn)C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．22．（2022秋?南通期末）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．23．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．24．（2020秋?玄武區(qū)月考）【閱讀理解】[閱讀與思考]如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝；如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝；如圖③，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝；[理解與運(yùn)用]在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝；在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)M，N是A1A2，A2A3上的點(diǎn)，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會(huì)有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．25．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果精確到0.1，可以直接利用（1）的結(jié)論）一．選擇題（共7小題）1．（2022?岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在擰開一個(gè)邊長為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b＝103mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（）A．2033mm2 B．3003mm2 C．1503mm2 D．7533．（2022?德城區(qū)模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿線段BD剪開，展開后得到一個(gè)正八邊形，則點(diǎn)D應(yīng)滿足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為23cm，則圓形螺帽的面積是（）A．83cm2 B．163cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在劣弧AB上，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022?宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022?蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點(diǎn)M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且MN∥BC．在點(diǎn)M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變 B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大 C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大 D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小二．填空題（共6小題）8．（2022?和平區(qū)一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內(nèi)接正三角形的邊心距是．9．（2022?新城區(qū)模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為．10．（2022?西山區(qū)一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與GH，F(xiàn)E的延長線交分別于點(diǎn)B和C，延長HG，EF相交于點(diǎn)A，連接GD，DF，下列結(jié)論正確的是．①∠HDE＝108°；②△ABC為等