第11講 正多邊形與圓（3種題型）（原卷版）

第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）如圖，五邊形是的內接正五邊形，則正五邊形中心角的度數是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）若一個圓內接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022秋·九年級課時練習）五角星繞其中心旋轉一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉角至少為_______度．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數是__度．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數；（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·江蘇·九年級專題練習）一個圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（

）A．5 B．10 C．12 D．20二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考階段練習）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）正n邊形的中心角為72°，則______．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為，則n為___________．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）如圖，內接于，，弦是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數是________．三、解答題10．（2022秋·九年級課時練習）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內接于，點F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯考階段練習）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）正方形內接于，E是的中點，連接，則________°．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數為______°．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

7．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）劉徽是中國古代卓越的數學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設的半徑為，若用的內接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內部作正方形連接，則______°．

三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．12．（2023·江蘇·九年級專題練習）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內接正六邊形，__________．題型四：尺規(guī)作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時練習）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數量關系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）3．（2022·江蘇·九年級專題練習）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高交于同一點，請運用上述性質，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;②圖3，在由小正方形組成的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內接正方形ABCD．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結果保留根號）一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數θ與OM的長度m確定，有序數對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．2．（2023?鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．3．（2023?梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數為（）A．14° B．40° C．30° D．15°4．（2023?姜堰區(qū)二模）一個正多邊形，它的每個內角是與其相鄰外角的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數是（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數為（）A．22° B．23° C．24° D．25°7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數為（）A．126° B．127° C．128° D．129°8．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數為（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°10．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉度后與自身重合．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉°．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為．16．（2023?寶應縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是．17．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝°．?18．（2023?高港區(qū)二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．21．（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．22．（2022秋?南通期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．23．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內接正多邊形的周長等于．24．（2020秋?玄武區(qū)月考）【閱讀理解】[閱讀與思考]如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝；如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝；如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝；[理解與運用]在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝；在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝；[歸納與總結]根據以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結論，你的結論是．25．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數據：≈1.73，結果精確到0.1，可以直接利用（1）的結論）一．選擇題（共7小題）1．（2022?岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022?達拉特旗一模）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b＝103mm，則這個正六邊形的面積為（）A．2033mm2 B．3003mm2 C．1503mm2 D．7533．（2022?德城區(qū)模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點D是AC邊上一點，沿線段BD剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應滿足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖，圓形螺帽的內接正六邊形的邊心距為23cm，則圓形螺帽的面積是（）A．83cm2 B．163cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點P在劣弧AB上，則∠P的度數為（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022?宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022?蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，FA，AB，CD上，且MN∥BC．在點M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變 B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大 C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大 D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小二．填空題（共6小題）8．（2022?和平區(qū)一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內接正三角形的邊心距是．9．（2022?新城區(qū)模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為．10．（2022?西山區(qū)一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙O的切線，與GH，FE的延長線交分別于點B和C，延長HG，EF相交于點A，連接GD，DF，下列結論正確的是．①∠HDE＝108°；②△ABC為等