第05講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）（原卷版）

第05講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（難點）韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．題型1：求根與系數(shù)關(guān)系例1．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個根為、，則是（

）A．1 B． C．2 D．題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值例3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程的兩個根為，則___________．例4．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例5.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．例6.已知的值．例7.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．題型3：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值例8．（2023春·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的一個根為，則另一個根是______．例9.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．題型4：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題例10.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．例11．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．例12．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個根是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①

②

③(2)若關(guān)于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；(3)若是關(guān)于x的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．一、單選題1．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于下列一元二次方程，說法正確的是（

）A．的兩根之和等于5 B．的兩根之積等于1C．兩根不可能互為倒數(shù) D．中m=0時，兩根互為相反數(shù)2．（2022秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于的方程的一個解為，則該方程的另一個解是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（

）A．或5 B．或 C． D．54．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）若是關(guān)于的一元二次方程的一個根．則與方程另一個根分別是（

）A．6，5 B．5， C．2，5 D．，55．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）方程的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）A．兩個正根 B．兩個負(fù)根 C．一個正根，一個負(fù)根 D．無實數(shù)根二、填空題6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則它的另一個根為______．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是、，則代數(shù)式的值為______．8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）設(shè)，是方程的兩個根，且，則m＝______．9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校考期末）已知、是關(guān)于的方程的兩個根，則值等于________．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）已知，是一元二次方程的兩個根，則的值為______．11．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個不相等的正根，則的取值范圍是______．12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的兩個根分別是，則______________．13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）若、為的兩根，則的值為______．14．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個根，則_____________．15．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校校考期末）設(shè)、是方程的兩個根，則___________．16．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？计谀┤粢辉畏匠逃袃蓚€實數(shù)根，，則的值是________．三、解答題17．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根．(2)若該方程兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．18．（2020秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有一個根是2，求m的值以及方程的另一個根．一、單選題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A．1 B．﹣1 C．0 D．32．（2022秋·江蘇常州·九年級?？茧A段練習(xí)）若m、n是方程的兩個實數(shù)根，則的值為(

)A．4 B．2 C．0 D．-13．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個根是，則另一個根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．34．（2022秋·九年級課時練習(xí)）若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．55．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的兩個根，則x12＋x22的值是（

）A．5 B．13 C．35 D．376．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（

）A．8 B．7 C．6 D．7．（2020秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（）A． B． C． D．二、填空題8．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）若a，b是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．9．（2023春·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)方程的兩個根分別為，則的值是___________．10．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是________．11．（2022春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：m、n是方程的兩根，則_____．三、解答題12．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)時，求另一個根的值．13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱?？h第一初級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個實數(shù)根的平方和為10，求的值．14．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若，求的值．15．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關(guān)于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實數(shù)），方程①的解為非正數(shù)．（1）求k的取值范圍；（2）如果方程②的解為負(fù)整數(shù)，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數(shù)，求整數(shù)m的值；（3）當(dāng)方程②有兩個實數(shù)根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數(shù)，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．16．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求分別滿足下列條件的取值范圍：（1）兩根都小于0；（2）兩根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．17．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如果方程x2+px+q=0有兩個實數(shù)根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=?（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于x，y的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請說明理由．18．（2022秋·江蘇南京·