2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章算法初步1.1.1算法的概念學(xué)案含解析新人教版必修3

PAGE1．1算法與程序框圖1．1.1算法的概念內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過(guò)回顧解二元一次方程組的方法，了解算法的思想.2.了解算法的含義和特征.3.會(huì)用自然語(yǔ)言表述簡(jiǎn)潔的算法.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一算法的概念預(yù)習(xí)教材P2－3，思索并完成以下問(wèn)題一個(gè)大人和兩個(gè)小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡1個(gè)大人或兩個(gè)小孩，他們?nèi)硕紩?huì)劃船，但都不會(huì)游泳．(1)試問(wèn)他們?cè)鯓佣蛇^(guò)河去？提示：第一步，兩個(gè)小孩同船過(guò)河去；其次步，一個(gè)小孩劃船回來(lái)；第三步，一個(gè)大人劃船過(guò)河去；第四步，對(duì)岸的小孩劃船回來(lái)；第五步，兩個(gè)小孩同船渡過(guò)河去．(2)設(shè)計(jì)的過(guò)河方法有什么特點(diǎn)？提示：由于船小，不能同時(shí)坐三個(gè)人，這樣就須要遵循這一規(guī)則，然后依據(jù)肯定的步驟一步一步的把三人運(yùn)到河對(duì)岸．學(xué)問(wèn)梳理在數(shù)學(xué)中，算法通常是指依據(jù)肯定規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確和有限的步驟．現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問(wèn)題．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二算法與計(jì)算機(jī)學(xué)問(wèn)梳理計(jì)算機(jī)解決任何問(wèn)題都要依靠于算法．只有將解決問(wèn)題的過(guò)程分解為若干個(gè)明確的步驟，即算法，并用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語(yǔ)言”精確地描述出來(lái)，計(jì)算機(jī)才能夠解決問(wèn)題．思索：與一般的解決問(wèn)題的過(guò)程相比，算法最重要的特征是什么？提示：最重要的特征是步驟的有序性、明確性和有限性．[自我檢測(cè)]下列敘述不能稱為算法的是()A．從北京到上海先乘汽車到飛機(jī)場(chǎng)，再乘飛機(jī)到上海B．解方程4x＋1＝0的過(guò)程是先移項(xiàng)再把x的系數(shù)化成1C．利用公式S＝πr2計(jì)算半徑為2的圓的面積得π×22D．解方程x2－2x＋1＝0解析：A、B兩選項(xiàng)給出了解決問(wèn)題的方法和步驟，是算法．C項(xiàng)，利用公式計(jì)算也屬于算法．D項(xiàng)，只提出問(wèn)題沒(méi)有給出解決的方法，不是算法．答案：D授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁(yè)探究一算法的概念[例1]下列關(guān)于算法的說(shuō)法，正確的個(gè)數(shù)為()①求解某一類問(wèn)題的算法是唯一的；②算法必需在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必需是明確的，不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后肯定產(chǎn)生確定的結(jié)果．A．1B．2C．3 D．4[解析]由于算法具有有限性、確定性、輸出性等特點(diǎn)，因而②③④正確，而解決某類問(wèn)題的算法不肯定唯一，從而①錯(cuò)．[答案]C方法技巧1.算法事實(shí)上是解決問(wèn)題的一種程序性方法，它通常解決某一個(gè)或一類問(wèn)題，在用算法解決問(wèn)題時(shí)，明顯體現(xiàn)了特別與一般的數(shù)學(xué)思想．2．算法的特點(diǎn)有：(1)有限性；(2)確定性；(3)依次性與正確性；(4)不唯一性；(5)普遍性．解答有關(guān)算法概念的推斷題應(yīng)依據(jù)算法的這五大特點(diǎn)進(jìn)行．跟蹤探究1.下列敘述中，①植樹須要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟；②按依次進(jìn)行下列運(yùn)算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；③從青島乘動(dòng)車到濟(jì)南，再?gòu)臐?jì)南乘飛機(jī)到沈陽(yáng)觀看全運(yùn)會(huì)開幕式；④3x>x＋1；⑤求全部能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，….能稱為算法的有__________．解析：依據(jù)算法的含義和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一個(gè)明確的步驟，不符合確定性；⑤的步驟是無(wú)窮的，與算法的有限性沖突．答案：①②③探究二算法的閱讀[閱讀教材P2思索]對(duì)于一元二次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1⑤,a2x＋b2y＝c2⑥))，其中a1b2－b1a2≠0，可以寫出類似的求解步驟：第一步，⑤×b2－⑥×b1，得(a1b2－a2b1)x＝b2c1－b1c2⑦其次步，解⑦，得x＝eq\f(b2c1－b1c2,a1b2－a2b1)第三步，⑥×a1－⑤×a2，得(a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1⑧第四步，解⑧，得y＝eq\f(a1c2－a2c1,a1b2－a2b1).第五步，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(b2c1－b1c2,a1b2－a2b1),y＝\f(a1c2－a2c1,a1b2－a2b1))).[例2]下面給出了一個(gè)問(wèn)題的算法：第一步，輸入三個(gè)數(shù)，并分別用a、b、c表示．其次步，比較a與b的大小，假如a<b，則交換a與b的值．第三步，比較a與c的大小，假如a<c，則交換a與c的值．第四步，比較b與c的大小，假如b<c，則交換b與c的值．第五步，輸出a、b、c.以上算法要解決的問(wèn)題是__________，假如輸入的三個(gè)數(shù)分別是6，28，14，則輸出三數(shù)的依次為__________．[解析]法一：特別值法：第一步：輸入a＝6，b＝28，c＝14.其次步：因?yàn)閍<b，則令a＝28，b＝6.第三步：因?yàn)閍>c，不做改變．第四步：因?yàn)閎<c，故令b＝14，c＝6.第五步：輸出28，14，6.通過(guò)上述過(guò)程可知，此算法解決的問(wèn)題是：對(duì)隨意輸入的三個(gè)數(shù)a、b、c，按從大到小的依次輸出．法二：一般方法：第一步是給a、b、c賦值．其次步運(yùn)行后a>b.第三步運(yùn)行后a>c.第四步運(yùn)行后b>c，所以a>b>c.第五步運(yùn)行后，顯示a、b、c的值，且從大到小排列．輸出依次：28，14，6.[答案]對(duì)隨意輸入的三個(gè)數(shù)a，b，c，按從大到小的依次輸出28，14，6方法技巧一個(gè)算法的作用往往并不自不待言，這時(shí)我們可以結(jié)合詳細(xì)數(shù)值去執(zhí)行一下并從中得出規(guī)律．跟蹤探究2.下面給出了一個(gè)問(wèn)題的算法：第一步，輸入三角形的底邊長(zhǎng)a，底邊上的高h(yuǎn).其次步，計(jì)算S＝eq\f(ah,2).第三步，輸出S.這個(gè)算法解決的問(wèn)題是________________________________．答案：已知三角形的底邊長(zhǎng)a，底邊上的高為h，求這個(gè)三角形的面積探究三算法的設(shè)計(jì)[閱讀教材P3例1及解答](1)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，推斷7是否為質(zhì)數(shù)．(2)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，推斷35是否為質(zhì)數(shù)．題型：算法的設(shè)計(jì)方法步驟：第一步，用2除7，得到余數(shù)1，所以2不能整除7.其次步，用3除7，得到余數(shù)1，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余數(shù)3，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余數(shù)2，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余數(shù)1，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù)．類似地，可寫出“推斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法．[例3]已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－1（x≤－1），,x3（x>－1）))，試設(shè)計(jì)一個(gè)算法輸入x的值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．[解析]算法如下：第一步：輸入x的值．其次步：當(dāng)x≤－1時(shí)，計(jì)算y＝－x2－1；否則執(zhí)行第三步．第三步：計(jì)算y＝x3.第四步：輸出y.方法技巧分段函數(shù)求值問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)分段函數(shù)求值的算法要運(yùn)用分類探討思想進(jìn)行設(shè)計(jì)，對(duì)算法中可能遇到的狀況肯定要考慮周全，滿意與不滿意都要有相應(yīng)的步驟．延長(zhǎng)探究1.該例條件若改為“已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0,0，x＝0,x＋1，x<0))”試設(shè)計(jì)一個(gè)算法輸入x的值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．解析：算法如下：第一步，輸入x的值．其次步，若x>0，則y＝－x＋1，然后執(zhí)行第四步；否則執(zhí)行第三步．第三步，若x＝0，則y＝0；然后執(zhí)行第四步，否則y＝x＋1.第四步，輸出y的值．2．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－1（x≤－1）,x3（x>－1）))，下面是輸入x的值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的一個(gè)算法，請(qǐng)?zhí)羁眨旱谝徊剑狠斎離.其次步：若x>－1，輸出__________；否則執(zhí)行第三步．第三步：輸出__________．當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，輸出的結(jié)果為__________．答案：x3－x2－11授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁(yè)[課后小結(jié)]1．算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、邏輯性、不唯一性、普遍性．2．算法設(shè)計(jì)的要求：(1)寫出的算法必需能夠解決一類問(wèn)題(如推斷一個(gè)整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求隨意一個(gè)方程的近似解等)，并且能夠重復(fù)運(yùn)用．(2)要使算法盡量簡(jiǎn)潔，步驟盡量少．(3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作必需準(zhǔn)確，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．對(duì)算法的含義及特征的理解計(jì)算下列各式中的S值，能設(shè)計(jì)算法求解的是__________．(1)S＝1＋2＋3＋…＋100.(2)S＝1＋2＋3＋…＋100＋….(3)S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．易錯(cuò)分析錯(cuò)識(shí)的根本緣由在于對(duì)算法的理解不透徹．自我訂正算法是為解決某一類問(wèn)題而設(shè)計(jì)的一系列操作或可計(jì)算的步驟，也就是說(shuō)在實(shí)際的算法中n的值是詳細(xì)確定的，因此(1)(3)是正確的，而算法又是具有有限性的，即執(zhí)行有限步操作后肯定能解決問(wèn)題，而(2)明顯不符合算法的有限性，所以(2)不正確．答案：(1)(3)2．算法設(shè)計(jì)中步驟不明確設(shè)計(jì)一個(gè)算法，將1573分解成奇因數(shù)的乘積．錯(cuò)解算法如下：第一步，推斷1573是否為素?cái)?shù)：否．其次步，找尋1573的最小奇因數(shù)：不是2，也不是3…易錯(cuò)分析其次步的結(jié)果是不確定的，“不