微積分 第3版 課件 第1章 函數(shù)

1.1函數(shù)設(shè)D為實(shí)數(shù)集R的非空子集,如果對(duì)任意的

都存在唯一的與之對(duì)應(yīng),可用表示,并稱(chēng)x為自變量,y為因變量.則稱(chēng)y是x的一元函數(shù),而定義域就是自變量的取值范圍,分別記為因變量的取值范圍,值域就是或者簡(jiǎn)記為

第一章函數(shù)例如,令D到R的對(duì)應(yīng)關(guān)系是:

3對(duì)應(yīng)15.

1對(duì)應(yīng)5;2對(duì)應(yīng)10;這個(gè)對(duì)應(yīng)方式滿(mǎn)足唯一性的要求,因此是一個(gè)函數(shù),記之為

f.

函數(shù)f

可以描述為:D中的每個(gè)數(shù)值都對(duì)應(yīng)其自身的5倍.把集合

D中的每個(gè)數(shù)值用x表示,

1,2,3這三個(gè)數(shù)值中的任意一個(gè).即x取值可以是則函數(shù)f

可以描述為:x對(duì)應(yīng)5x,記為定義域值域需要注意的是,f與是有所不同的:

f是對(duì)應(yīng)關(guān)系,即函數(shù),而則表示函數(shù)f在x處的值.另外,函數(shù)的表示與自變量和因變量所使用的字母是無(wú)關(guān)的,也不一定有表達(dá)式.是單調(diào)遞增函數(shù);如果對(duì)任意的都有1.單調(diào)函數(shù)1.2幾種具有特殊性質(zhì)的函數(shù)一個(gè)函數(shù)往往在其定義域中的某些區(qū)間上是遞增的,如果對(duì)任意的都有是單調(diào)遞減函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).這樣的區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.而在另外的區(qū)間上是遞減的,2.奇函數(shù)與偶函數(shù)如果對(duì)任意都有我們就說(shuō)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),而且的圖形關(guān)于坐標(biāo)系原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即如果對(duì)任意就稱(chēng)函數(shù)為奇函數(shù).都有則稱(chēng)為奇函數(shù).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),而且的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即如果對(duì)任意就稱(chēng)函數(shù)為偶函數(shù).都有則稱(chēng)為偶函數(shù).3.周期函數(shù)如果存在正數(shù)T,使得對(duì)定義域中的任意x成立,

通常情況下,我們關(guān)心周期函數(shù)的最小正周期,就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù),T是一個(gè)周期.

也有例外的情況,例如常函數(shù)是周期函數(shù),任意正數(shù)都是它的周期,因此它沒(méi)有最小正周期.簡(jiǎn)稱(chēng)周期.有界無(wú)界4.有界函數(shù)yxoDyxoD有六個(gè)常見(jiàn)的有界函數(shù):設(shè)是一元函數(shù),如果

都存在唯一的使得

1.3反函數(shù)

則稱(chēng)函數(shù)f有反函數(shù).

函數(shù)f的反函數(shù)記為函數(shù)的反函數(shù)可以記為也可以記為函數(shù)與的圖像是相同的,與的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

1.4函數(shù)的表示

通常可以用集合,圖表,數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng),圖形和解析稱(chēng)為顯函數(shù).

1.解析表達(dá)式(顯函數(shù))2.分段函數(shù)

一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同部分可以有不同

表達(dá)式等表示函數(shù).

的表達(dá)式,即所謂的分段函數(shù).例1.1

符號(hào)函數(shù)xyo例1.2

分段函數(shù)例1.3取整函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù).如當(dāng)階梯曲線(xiàn)

定義域值域例1.4狄里克萊(Dirichlet)函數(shù)狄里克萊十分特殊:它是有界函數(shù),偶函數(shù),也是周期函數(shù),以任意的正有理數(shù)為周期,由于沒(méi)有最小的正有理數(shù),也就沒(méi)有最小正周期.另外,我們無(wú)法畫(huà)出D(x)的圖像.3.隱函數(shù)通常情況下,隱函數(shù)不一定能化成顯函數(shù).如果

都存在唯一的y,滿(mǎn)足方程

則稱(chēng)y是由方程確定的x的隱函數(shù).例如,1.冪函數(shù)1.5基本初等函數(shù)微積分中除了常數(shù)函數(shù)外最常見(jiàn)的函數(shù)分為五類(lèi),冪函數(shù)的定義域與的取值有關(guān).稱(chēng)為基本初等函數(shù),包括冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù).特別地，2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

稱(chēng)為自然對(duì)數(shù).特別地，記為定義域?yàn)橹涤驗(yàn)檎液瘮?shù)3.三角函數(shù)與反三角函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域值域反正弦函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛嘞液瘮?shù)該函數(shù)是偶函數(shù).定義域值域反余弦函數(shù)該函數(shù)非奇非偶.定義域值域正切函數(shù)定義域值域反正切函數(shù)定義域值域余切函數(shù)反余切函數(shù)定義域值域正割函數(shù)常用三角函數(shù)公式:余割函數(shù)和、差化積公式:積化和、差公式:1.6復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)閯t稱(chēng)函數(shù)

為x的復(fù)合函數(shù).x是自變量,u稱(chēng)為中間變量,y是因變量.注意:

復(fù)合函數(shù)可由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.函數(shù)的值域,設(shè)定義種形式多層復(fù)合得到.基本初等函數(shù)只有11種形式,復(fù)合函數(shù)的11種形式如下：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)也只有11種形式,更復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)則可以由這11其中

形如的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù),

也是復(fù)合函數(shù),冪指函數(shù)因

由常數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù),叫作初等函數(shù).初等函數(shù)一定可以用一個(gè)解析式表示.1.7經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)

1.8極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

1.極坐標(biāo)系在平面上取定一點(diǎn)O,

取定一個(gè)長(zhǎng)度單位,稱(chēng)為極軸,稱(chēng)為極點(diǎn),這樣就組成了極坐標(biāo)系.以O(shè)為起點(diǎn)作射線(xiàn)并平面上的任一點(diǎn)P都可用稱(chēng)為點(diǎn)P的極徑,稱(chēng)為點(diǎn)P的極角,通常限定極角取值范圍為

一對(duì)有序數(shù)`組確定:

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)有如下關(guān)系2.極坐標(biāo)方程某些平面曲線(xiàn)用極坐標(biāo)方程表示更為簡(jiǎn)單.例如,表示以原點(diǎn)為圓心,以a為半徑的圓.表示以原點(diǎn)為起點(diǎn),與x軸正向夾角為的一條射線(xiàn).解例1.5將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:(1)由有解得極坐標(biāo)方程為:(2)由有極坐標(biāo)方程為:例1.6將下列