專題55函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用（真題測試）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解真題測試（新教材新高考）

專題5.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用（真題測試）一、單選題1．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和特值點(diǎn)等性質(zhì)來判斷圖像.【詳解】易知f(x)是偶函數(shù)，排除B，C項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，所以，排除A項(xiàng).故選：D2.（江西省贛州市20212022學(xué)年高一下學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題）將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，則所得的圖象的函數(shù)解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，可得；再將圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得.故選：C3．（2022·北京·人大附中高一期末）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，則該函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，求出，再由該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱軸之間的最短距離為，可求出，由直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，可得，從而線結(jié)合已知條件可求出，進(jìn)而可求得函數(shù)的解析式【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為4，最小值為0，所以，解得，因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱軸之間的最短距離為，所以，所以，所以，得，所以，因?yàn)橹本€是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，故選：B4．（廣西柳州市20212022學(xué)年高一下學(xué)期期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的表達(dá)式，然后利用在上為增函數(shù)，說明，利用周期公式，求出，得到的最大值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，即，所以的最大值為1.故選：A.5．（2019·天津·高考真題（文））已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，∴；又，，又∴，故選C．6．（2017·全國·高考真題（理））已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)論正確的是A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2【答案】D【解析】【詳解】把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，故選D．點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).7．（2018·天津·高考真題（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【詳解】分析：首先確定平移之后的對應(yīng)函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項(xiàng)是否符合題意即可.詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；本題選擇A選項(xiàng).8．（2019·全國·高考真題（理））關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)

②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)

④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④

正確，故選C．【點(diǎn)睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．二、多選題9．（2022·河北承德·高一階段練習(xí)）將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，橫坐標(biāo)縮短為原來的，再將所得的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】由平移和伸縮變換判斷A；采用代入法判斷BC；由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】由題意得，，A錯(cuò)誤．，B正確．因?yàn)椋缘膱D像關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確．由，得，所以在上不單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤．故選：BC10.（2022·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期的最大值為B．最小正周期的最大值為C．當(dāng)?shù)淖钚≌芷谌∽畲笾禃r(shí)，平移后的函數(shù)在上單調(diào)遞增D．當(dāng)?shù)淖钚≌芷谌∽畲笾禃r(shí)，平移后的函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】先化簡，再根據(jù)平移法則可得的圖象關(guān)于y軸對稱，即可得到，，，從而可以判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)?，所以其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，因?yàn)槠浜瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以，，所以，，，所以，所以．又因?yàn)椋睿?，所以，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．故選：AC．11．（2022·貴州·六盤水市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．在上為增函數(shù) D．把的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：由已知，，，，，，又，，，對于A，，故A正確；對于B，令，得，，時(shí)，，故B正確；對于C，時(shí)，令，在上遞增，故C正確；對于D，把的圖像向右平移個(gè)單位長度，得函數(shù)表達(dá)式為，它是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．（2022·全國·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)在上為增函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡，再由三角函數(shù)的平移變換可判斷A；求出可判斷B、C；先判斷在上為增函數(shù)，即可判斷在的單調(diào)性.【詳解】由題意，．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得到，故A錯(cuò)誤；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確，C錯(cuò)誤；函數(shù)在上為增函數(shù)，時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故D正確．故選：BD．三、填空題13．（2020·江蘇·高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)故答案為：14．（2021·長嶺縣第二中學(xué)高三三模）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)_______成中心對稱，記函數(shù)的最大值為，最小值為，則_______．【答案】【分析】先將分離常數(shù)，找到與奇函數(shù)的關(guān)系，再利用平移求出對稱中心及最大值與最小值之和.【詳解】，記，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱.則的最大值和最小值之和為，把的圖象向上平移一個(gè)單位得到的圖象，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且．故答案為：；.15．（2014·重慶·高考真題（文））將函數(shù)圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長度得到的圖像，則______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意，所以所以答案應(yīng)填：.16．（2021·山東高三月考）已知定義在上函數(shù)（）振幅為2，滿足，且．則上零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為______．【答案】16【分析】根據(jù)題意可得，要使零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少，周期需最大，應(yīng)為與兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)，從而求出，進(jìn)而求出周期，為了使區(qū)間零點(diǎn)最少，將第一個(gè)零點(diǎn)放在原點(diǎn)，得出，即可求解.【詳解】振幅為2，，，，要使零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少，周期需最大，應(yīng)為與兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)，，，，，由，為了使區(qū)間零點(diǎn)最少，將第一個(gè)零點(diǎn)放在原點(diǎn)，，最后個(gè)零點(diǎn)恰好在處不在區(qū)間中，，所以上零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為16.故答案為：16四、解答題17．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心；(2)先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位后得到的圖像，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間和最值.【答案】(1)，對稱中心為，．(2)單調(diào)遞減區(qū)間為；，．【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像的對稱性，得出結(jié)論．（2）由題意利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論．(1)解：根據(jù)函數(shù)，，的部分圖像，可得，，．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，，，故有．根據(jù)圖像可得，是的圖像的一個(gè)對稱中心，故函數(shù)的對稱中心為，．(2)解：先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的，可得的圖像，再向右平移個(gè)單位，得到的圖像，即，令，，解得，，可得的減區(qū)間為，，結(jié)合，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．又，故當(dāng)，時(shí)，取得最大值，即；當(dāng)，時(shí)，取得最小值，即．18.（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)的圖象，求的解析式.【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡為，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性奇偶性，分別求出和，從而可求得的解析式（2）令，則利用換元法可得，從而可求出其最大值，（3）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可求出函數(shù)解析式【詳解】（1），因?yàn)閳D象的相鄰兩對稱軸間的距離為所以，得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?），令，則，因?yàn)閷ΨQ軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)19．（2022·上海市新場中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若求的值域；(3)將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的零點(diǎn).【答案】(1)；(2)；(3)或，.【解析】【分析】（1）應(yīng)用降冪公式化簡，由正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的區(qū)間值域；（3）由圖象平移得，令結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求零點(diǎn)即可.(1)由，所以的最小正周期.(2)由，則，即，所以.(3)由題設(shè)，令，即，可得，所以或，，即或，.故的零點(diǎn)為或，.20．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號分別為1～12（可視為點(diǎn)），現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．(1)當(dāng)時(shí)，求1號座艙與地面的距離；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，若在這段時(shí)間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【解析】【分析】（1）設(shè)1號座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析式，再令代入計(jì)算可得；（2）由（1）中的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）依題意可得，，從而得到高度差函數(shù)，利用兩角和差的正弦公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取得最大值時(shí)的值，即可得解；(1)解：設(shè)1號座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，則，，所以依題意，所以，當(dāng)時(shí)，所以，故，所以，即當(dāng)時(shí)，求1號座艙與地面的距離為；(2)解：令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或時(shí)1號座艙與地面的距離為17米；(3)解：依題意，，所以令，解，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，依題意可得21.（2015·福建·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向下平移（）個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2．（?。┣蠛瘮?shù)的解析式；

（ⅱ）證明：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得．【答案】（1）；（2）（?。?；

（ⅱ）證明見解析.【解析】【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期．（Ⅱ）（Ⅰ）將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個(gè)單位長度后得到的圖象．又已知