用特征方程求數(shù)列的通項(xiàng)

1、.用特征方程求數(shù)列的通項(xiàng)一、遞推數(shù)列特征方程的研究與探索遞推(迭代)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊(yùn)含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和方法。遞推數(shù)列的特征方程是怎樣來的. （一）、 若數(shù)列滿足其通項(xiàng)公式的求法一般采用如下的參數(shù)法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列： 設(shè) ，令，即，當(dāng)時(shí)可得，知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，將代入并整理，得. 故數(shù)列對應(yīng)的特征方程是：x=cx+d（二）、二階線性遞推數(shù)列 仿上，用上述參數(shù)法我們來探求數(shù)列的特征：不妨設(shè)，則, 令 （ ）（1）若方程組（ ）有兩組不同的實(shí)數(shù)解,則, , 即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得, ,

2、由上兩式+消去可得 .（2）若方程組（ ）有兩組相等的解，易證此時(shí)，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，所以 這樣，我們通過參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列，從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)，若將方程組（）消去即得，顯然、就是方程的兩根，我們不妨稱此方程為二階線性遞推數(shù)列的特征方程， 所以有結(jié)論： 若遞推公式為 則其特征方程為 1、 若方程有兩相異根、，則；2、 若方程有兩等根，則. 其中、可由初始條件確定。（三）分式線性遞推數(shù)列（），將上述方法繼續(xù)類比，仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù)，則， 令，即， 記的兩根為， （1） 若，將分別代入式可得， 以上兩式相除得，于是得到為等比數(shù)

3、列，其公比為，數(shù)列的通項(xiàng)可由求得； （2）若，將代入式可得,考慮到上式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩邊取倒數(shù)得 由于時(shí)方程的兩根滿足， 于是式可變形為為等差數(shù)列，其公差為， 數(shù)列的通項(xiàng)可由求得這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)。如果我們引入分式線性遞推數(shù)列的特征方程為，即，此特征方程的兩根恰好是方程兩根的相反數(shù)，于是我們得到如下結(jié)論：分式線性遞推數(shù)列的特征方程為1、若方程有兩相異根、，則成等比數(shù)列，其公比為；2、若方程有兩等根，則成等差數(shù)列，其公差為. 值得指出的是，上述結(jié)論在求相應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（等差）數(shù)列的思想方法更為重要。

4、如對于其它形式的遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項(xiàng)公式，其結(jié)論與特征方程法完全一致， 三、例題例1、 已知數(shù)列且，求通項(xiàng)公式。解 設(shè)， 令 ， 可得， 于是，即是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，從而.例2、設(shè)數(shù)列滿足. 解： 對等式兩端同加參數(shù)得 令，解之得，代入上式 得 ， 兩式相除得 即的等比數(shù)列，四、本課小結(jié)：1可用特征方程解決遞推數(shù)列的三類模型線性遞推關(guān)系： 已知齊次二階線性遞推關(guān)系： 已知 且 分式遞推關(guān)系： 已知， 2. 特征根方程及求法的特征根方程為 x=px+q，其根為,則=p().的特征根方程為設(shè)兩實(shí)根為,.若時(shí),則=,其中,是由,確定. 若=時(shí),則其中,是由,確定.的

5、特征根方程為若方程的兩根為,若且,則即等比數(shù)列若且,則即 等差數(shù)列五、練習(xí)1已知數(shù)列滿足：求2.已知數(shù)列滿足=3,=6,=4-4求3. 已知數(shù)列滿足=3,=6,=2+3求4. 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列=a,=b，且對任意的m+n=p+q的正整數(shù) m，n，p，q，都有當(dāng)a=,b=時(shí) ，求通項(xiàng)5:已知數(shù)列滿足,求通項(xiàng).6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)答案1、解：作特征方程數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是=（）2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得=2故設(shè)=(+n),其中3=+,6=(+2).2， 所以=3,=0,則=3.3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以=+其中3=+, 6=3-， 得=,=所以=.+4、解:由得將代入上式化簡得考慮特征方程得特征根所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列，故 即5、解: 考慮特征方程，得特征根，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列，故 即6解：其特征方程為，解得，令， 由，得， 7解：其特征方程為，解得，令，由，得