專題22基本不等式（知識解讀）-2022-2023學年高一數(shù)學《考點解讀專題訓練》（人教A版2019）

專題2.2基本不等式（知識解讀）【學習目標】1.掌握基本不等式的形式以及推導過程，會用基本不等式解決簡單問題。2.經(jīng)歷基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理能力。3.在猜想論證的過程中，體會數(shù)學的嚴謹性?！局R點梳理】考點1基本不等式的概念1、兩個不等式重要不等式：,（當且僅當時取號）.常見變形公式：、基本不等式：,（當且僅當時取到等號）.常見變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.（3）我們稱為的算術平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、由公式和引申出的常用結論①（同號）；②（異號）；③或考點2基本不等式的證明1、法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有.得到結論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當且僅當時取等號“=”）2、法二：代數(shù)法∵，當時，；當時，.所以，（當且僅當時取等號“=”）.考點3基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.考點4利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大（1）設x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).（2）設x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2eq\r(p).【解題思路】【典例分析】【考點1基本不等式求最值】【典例1】（2022春?浙江月考）已知x，y＞0且x+2y＝xy，則x+y的最小值為（）A．3+ B．4 C．2 D．6【變式11】（2021·六安市裕安區(qū)新安中學）已知，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式12】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為________．【變式13】（2021·浙江高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【典例2】（1）（2021·北京高一其他模擬）若，則函數(shù)的最小值為______．（2）（2021·云南壯族苗族自治州）已知，函數(shù)的最小值為（）A．4 B．7 C．2 D．8【變式21】（2022春?青羊區(qū)校級月考）若x＞2，則函數(shù)的最小值為（）A．4 B．6 C． D．【變式22】已知，則的最大值為________．【典例3】（1）（2021·上海市大同中學）設、為正數(shù)，且，則的最小值為_______.（2）（2021·河北石家莊市）已知，且，則的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．9【變式32】已知，，，求的最小值；【變式33】已知正數(shù)a，b滿足，求的最小值．【變式34】（2022春?開福區(qū)校級月考）已知p，q為正實數(shù)且p+q＝3，則的最小值為（）A． B． C． D．【典例4】（2021·永豐縣永豐中學高一期末）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．【變式41】（2021春?湖南期中）函數(shù)f（x）＝（x＞1）的最小值為（）A．1 B．2 C．2 D．3【變式42】（2022春?湖北月考）已知a＞b，且ab＝8，則的最小值是（）A．6 B．8 C．14 D．16【考點2利用基本不等式求參數(shù)】【典例5】（1）（2021·北京東直門中學）若對任意的都有，則的取值范圍是（）A． B．C． D．（2）（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.【變式51】（2021·廣東深圳市）已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．13 B．14 C．15 D．16【變式52】（2021·江蘇蘇州市）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式53】（2021·臨澧縣第一中學）已知，且，若恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【考點3利用基本不等式比較大小】【典例6】2021·全國高一課時練習）已知都是正數(shù)，且.求證：（1）；（2）.【變式61】（2020秋?安慶期末）已知正實數(shù)x，y滿足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【變式62】（2021秋?雨花區(qū)校級月考）解答下列各題．（1）設a＞0，b＞0，a+b＝1，求證：；（2）設a＞b＞c且恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【考點4對基本不等式的理解】【典例7】若，且，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【變式71】設，，下列不等式正確的是（）B．C．D．【變式72】若，有下面四個不等式：（1）；（2），（3），（4）.則不正確的不等式的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【變式73】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【變式74】（多選）設a＞0，b＞0，則（）B．C．D．【考點5生活實際中的基本不等式】【典例8】如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側，用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域.若每個區(qū)域的面積為m，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.【變式81】（2021·安徽淮南市·高一期末）建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，若池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，則這個水池的最低造價為（）A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元【變式81】（2021秋?信陽校級期末）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．（Ⅰ）若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？（Ⅱ）若使用的籬笆總長度為30m，求+的最小值．【變式82】2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=4?.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件(產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.（1）將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？專題2.2基本不等式（知識解讀）【學習目標】1.掌握基本不等式的形式以及推導過程，會用基本不等式解決簡單問題。2.經(jīng)歷基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理能力。3.在猜想論證的過程中，體會數(shù)學的嚴謹性?！局R點梳理】考點1基本不等式的概念1、兩個不等式重要不等式：,（當且僅當時取號）.常見變形公式：、基本不等式：,（當且僅當時取到等號）.常見變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.（3）我們稱為的算術平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、由公式和引申出的常用結論①（同號）；②（異號）；③或考點2基本不等式的證明1、法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有.得到結論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當且僅當時取等號“=”）2、法二：代數(shù)法∵，當時，；當時，.所以，（當且僅當時取等號“=”）.考點3基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.考點4利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大（1）設x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).（2）設x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2eq\r(p).【解題思路】【典例分析】【考點1基本不等式求最值】【典例1】（2022春?浙江月考）已知x，y＞0且x+2y＝xy，則x+y的最小值為（）A．3+ B．4 C．2 D．6【答案】A【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，當且僅當＝且+＝1，即y＝1+，x＝+2時取等號，故選：A．【變式11】（2021·六安市裕安區(qū)新安中學）已知，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，整理得，即.所以的最大值為.故選：D.【變式12】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為________．【答案】【解答】，當且僅當時取等號．【變式13】（2021·浙江高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為【答案】C【解答】，，且，（1），當且僅當，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：．【典例2】（1）（2021·北京高一其他模擬）若，則函數(shù)的最小值為______．（2）（2021·云南壯族苗族自治州）已知，函數(shù)的最小值為（）A．4 B．7 C．2 D．8【答案】（1）5（2）B【解答】（1）因為，則函數(shù)，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值5．故答案為：5.（2）因為，所以，當且僅當即時取等號，所以的最小值為7.故選：B【變式21】（2022春?青羊區(qū)校級月考）若x＞2，則函數(shù)的最小值為（）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解答】解：若x＞2，則x﹣2＞0，則函數(shù)＝，當且僅當x＝4時，等號成立；故選：B．【變式22】已知，則的最大值為________．【答案】（1）；（2）1【解答】（1），當且僅當，即時，取等號．（2）因為，所以，則,當且僅當，即時，取等號．故的最大值為1【典例3】（1）（2021·上海市大同中學）設、為正數(shù)，且，則的最小值為_______.（2）（2021·河北石家莊市）已知，且，則的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】（1）4（2）B【解答】（1）因為、為正數(shù)，且，所以,當且僅當a=b=1時取等號即的最小值為4.故答案為：4（2）由，得，所以，當且僅當，取等號.故選：B.【變式32】已知，，，求的最小值；【答案】2【解答】，，當且僅當時，等號成立當時，的最小值為【變式33】已知正數(shù)a，b滿足，求的最小值．【答案】【解答】因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以當時，的最小值.【變式34】（2022春?開福區(qū)校級月考）已知p，q為正實數(shù)且p+q＝3，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：因為p，q為正實數(shù)且p+q＝3，所以p+2+q+1＝6，則＝（）（p+2+q+1）×＝（2+）（2+2）＝，當且僅當且p+q＝3，即q＝2，p＝1時取等號．故選：A．【典例4】（2021·永豐縣永豐中學高一期末）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B【變式41】（2021春?湖南期中）函數(shù)f（x）＝（x＞1）的最小值為（）A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴f（x）＝＝＝x﹣1+＝x﹣1+＝x﹣1++1≥2+1＝3，當且僅當x﹣1＝，即x＝2時取等號，∴函數(shù)f（x）的最小值為3．故選：D．【變式42】（2022春?湖北月考）已知a＞b，且ab＝8，則的最小值是（）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∵ab＝8，則＝﹣2＝a﹣b+﹣2≥2﹣2＝6，當且僅當a﹣b＝，即a﹣b＝4時等號成立，∴的最小值是6，故選：A【考點2利用基本不等式求參數(shù)】【典例5】（1）（2021·北京東直門中學）若對任意的都有，則的取值范圍是（）A． B．C． D．（2）（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.【答案】（1）A（2）【解答】因為，則，當且僅當，即x=1時等號成立，所以，故選：A（2）解：因為，所以，當且僅當，即時，取等號，因為不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故答案為：【變式51】（2021·廣東深圳市）已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解答】因為，所以，所以恒成立，只需因為，所以，當且僅當時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D【變式52】（2021·江蘇蘇州市）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】當時，，，當且僅當，即時等號成立，.故選：D.【變式53】（2021·臨澧縣第一中學）已知，且，若恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解答】因為，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正實數(shù)的最小值為2．故選：A．【考點3利用基本不等式比較大小】【典例6】2021·全國高一課時練習）已知都是正數(shù)，且.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），，，由于當且僅當，即時取等號，但，因此不能取等號，；（2），，，當且僅當時取等號，但，因此不能取等號，.【變式61】（2020秋?安慶期末）已知正實數(shù)x，y滿足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】（1）解：4x+4y＝1，所以，解得，當且僅當取等號，∴xy的最大值為．（2）解：，當且僅當，取等號，∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．即a的取值范圍是[﹣9，4]．【變式62】（2021秋?雨花區(qū)校級月考）解答下列各題．（1）設a＞0，b＞0，a+b＝1，求證：；（2）設a＞b＞c且恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）證明：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴＝，∵ab≤＝，∴0＜ab≤，（當且僅當時取等號）故≥8，即++≥8．（2）∵a＞c，∴a﹣c＞0，∵恒成立，∴m≤+恒成立，即＝，又∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，則．當且僅當b﹣c＝a﹣b，即a+c＝2b時上式等號成立．∴m≤4，∴m的取值范圍是：（﹣∞，4]．【考點4對基本不等式的理解】【典例7】若，且，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】取滿足，且，此時，A錯誤；取滿足，且，此時，B錯誤；可得，C正確；取滿足，且，此時，D錯誤.故選：C.【變式71】設，，下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】對于A，，，由均值不等式，，當且僅當，即時取“”，A錯誤；對于B，，所以，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，由，，，得，當且僅當時，取“”，D正確.故選：D【變式72】若，有下面四個不等式：（1）；（2），（3），（4）.則不正確的不等式的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】因為，所以，成立，所以（1）不正確，（4）不正確；因為，所以（3）正確；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正確．故選：C【變式73】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】因為，所以，，所以，，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四個式子中最大，故選：D.【變式74】（多選）設a＞0，b＞0，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解答】A.，當且僅當時，等號成立，故正確；B.因為，正負不定，故錯誤；C.，當且僅當，時，等號成立，故正確；D.，故正確；故選：ACD【考點5生活實際中的基本不等式】【典例8】如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側，用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域.若每個區(qū)域的面積為m，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.【答案】每個區(qū)域的長和寬分別是m和m時，彩帶總長最小，最小值為m【解答】設每個區(qū)域的長為，寬為，由題意得，，，則彩帶總長==，當且僅當，即且等號成立，所以每個區(qū)域的長和寬分別是和時，彩帶總長最小，最小值為.【變式81】（2021·安徽淮南市·高一期末）建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，若池底的造價為每平方米120元