2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第23講 齊次化處理含解析

2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第23講齊次化處理

一、解答題

1.如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px（p>0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAJ_OB,OM±AB.求點(diǎn)

M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.

2.已知橢圓（3:「+27=1（4>方>0）的焦點(diǎn)是（-60）、（6.0）,且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（夜,也）。

cTlr2

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/與橢圓。交于兩點(diǎn)，且以A6為直徑的圓過(guò)橢圓右頂點(diǎn)M,求證：直線1恒過(guò)定點(diǎn).

3.員I/+）3=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如

22

圖），雙曲線G：二一當(dāng)二1過(guò)點(diǎn)P且離心率為JL

（1）求C1的方程；

（2）橢圓G過(guò)點(diǎn)P且與G有相同的焦點(diǎn)，直線/過(guò)G的右焦點(diǎn)且與G交于A,B兩點(diǎn)，若以線段AB為

直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P,求/的方程.

4.（2015?山西四模）分別過(guò)橢圓E：j+J=l（a>b>0）左、右焦點(diǎn)R、F2的動(dòng)直線h、h相交于P點(diǎn),

與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、0D的斜率分別為％、k2,k3、k4,且滿

足ki+k2=k3+k』，已知當(dāng)li與x軸型合時(shí)，|AB|=2%,|CD|=#1

（1）求橢圓E的方程;

（2）是否存在定點(diǎn)M,N,使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

5.已知橢圓C：二十二=1(a>b>0),四點(diǎn)Pi(1,1),P2(0,1),P3(-l,如…1,立)中恰有三

a2b222

點(diǎn)在橢圓C上.

（I）求C的方程;

（H）設(shè)直線1不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線PzB的斜率的和為-1,證明：1過(guò)

定點(diǎn).

3r2v2

6.已知點(diǎn)P（-1,5）是橢圓。:%+方=1（。>人>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)i、B分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),

附|+附|=4

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與橢圓C相交于48兩點(diǎn).若直線陰與直線口?的斜率之和為1,問(wèn):直線/是

否過(guò)定點(diǎn)?證明你的結(jié)論

7.如圖，橢圓E:，+￡=l（Q>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,-1）,且離心率為半.

（1）求橢圓E的方程;

（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,且斜率為2的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。（均異于點(diǎn)4）,證明：直線AP與

AQ的斜率之和為定值.

8.已知橢圓方程為f+二=1,射線），=2夜工（x>0）與橢圓的交點(diǎn)為過(guò)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直

線，分別與橢圓交于A、3兩點(diǎn)（異于M）.

（D求證直線A4的斜率為定值；

（2）求aAMB面積的最大值.

9.已知橢圓士+亡=1兩焦點(diǎn)分別為R、F2、P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足函-西=1，過(guò)

2412

P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證直線AB的斜率為定值：

（3）求4PAB面積的最大值.

10.已知中心在原點(diǎn)的橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,血），且過(guò)點(diǎn)P[l,也）.

（I）求橢圓。的方程；

（U）過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線Q4,依分別交橢圓。于另外兩點(diǎn)A,A,求證：直線A8的

斜率是定值.

11.已知橢圓兩焦點(diǎn)寫(xiě)、工在y釉上，短軸長(zhǎng)為2拒，離心率為變，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且

2

際麗=1,過(guò)。作關(guān)于直線對(duì)稱的兩條直線以、04分別交橢圓于A、8兩點(diǎn).

（1）求。點(diǎn)坐標(biāo);

（2）求證直線A3的斜率為定值.

12.如圖，橢圓C：、+。1（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,離心率e=9,直線1的方程為x=4.

a2b222

（1）求橢圓C的方程;

（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P）,設(shè)直線AB與直線1相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜

率分別為匕，k2,k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)九，使得k|+k2=Ik3?若存在，求入的值；若不存在，說(shuō)明理由.

13.如圖，橢圓C:3+￡=l（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,3）,離心率e=g,直線1的方程為y=4.

（I）求橢圓C的方程；

（IDAB是經(jīng)過(guò)（0,3）的任一?弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P）.設(shè)直線AB與直線1相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜

率分別為軸，k2,k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)九，使得!+-!-=《？若存在，求人的值.

%k?k3

22/T

14.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中,已知橢圓餐+與=1的右頂點(diǎn)為（2,0）,離心率為組，P

crb22

是直線x=4上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（l,0）且與PM垂直的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3）,求弦AB的長(zhǎng)度;

（3）設(shè)直線抬，PM,尸B的斜率分別為心，心，心，問(wèn)；是否存在常數(shù)九使得總從3=a2?若存在，求出

7的值；若不存在，說(shuō)明理由.

15.已知橢圓?:二十與=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為R(一夜，0)、F2(夜，0).點(diǎn)M(1,0)

a~b~

與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(n#3).過(guò)點(diǎn)M任作直線I與橢圓C相交于A、

B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為ki、k2、k3，若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.

22

16.己知橢圓C=+5=1(。>/?>())的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為6(—JI0)、鳥(niǎo)(、歷,0),點(diǎn)與橢圓短軸

a~b~

的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)M(l,0)的直線與橢圓C相交于A、8兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M3,2),記直線4N、8N的斜率分別為ki、心,求證：

h+七為定值.

17.已知橢圓E：4+容(a>b>0)的焦距為2?,且該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?,工).

ab’2

(I)求橢圓E的方程；

(H)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,0)分別作斜率為ki,k2的兩條直線，兩直線分別與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直

線MN與y軸垂直時(shí)，求kixk2的值.

X2V2

18.已知橢圓C+==1(〃>〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q、尸2,點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)6為上

a2b2

頂點(diǎn)，|48|=五且|AR|+|AB|=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)正2作直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記AM、AN的斜率分別為％、依，若3+女2=3,求直線/的

方程.

19.設(shè)4,4為曲線C：），=土上兩點(diǎn)，A與3的橫坐標(biāo)之和為4.

?4

（1）求直線八8的斜率；

（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在朋處的切線與直線平行，AMIBM,求直線的方程.

221

20.橢圓E：*■+￡="〃>/；>（））的離心率萬(wàn)，長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)的距離為J7.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)P是圓/+丁=，r>0）上異于點(diǎn)A（—八0）和8（二0）的任一點(diǎn)，直線AP與橢圓￡交于點(diǎn)用，

N,直線3。與橢圓￡交于點(diǎn)S,r.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM,ON,OS,07的斜率分別為尢加，L,

J,問(wèn)：是否存在常數(shù)一，使得心”+左”=心$+&”恒成立？若存在，求，,的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

F，且44F8二一.

6

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/：），=依+〃（〃工±1）交橢圓「于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)直線4P與直線8。的斜率分別為⑥P，心。，

若hp+kBQ=-l,試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知橢圓C：S+，=l（〃〉〃>0）,點(diǎn)M［半1）在橢圓上，橢圓C的離心率為:

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A為橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，P,。為橢圓上異于橢圓C長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，記直線AP，AQ斜率分

別為《，匕,若％/,=-1,請(qǐng)判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)

4

明理由.

23.已知圓Q:（X+1）2+），2=16,圓。過(guò)點(diǎn)B（l,0）且與圓。相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線￡.

（I）求曲線石的方程;

(2)點(diǎn)4(-2,0),P,Q為曲線￡上的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，記直線ARAQ的斜率分別為4，區(qū),若

k、k?=2,請(qǐng)判斷直線P。是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22|<31

24.在直角坐標(biāo)系xQv中，橢圓r+v齊的離心率為5,點(diǎn)尸在橢圓。上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率存在，縱截距為-2的直線/與橢圓。相交于48兩點(diǎn)，若直線AR3P的斜率均存在，求證:

直線AP,OP,BP的斜率依次成等差數(shù)列.

25.已知橢圓￡[+==](〃>〃>())經(jīng)過(guò)點(diǎn)百，坐，離心率為!.

crb-I2J2

(1)求E的方程；

(2)若點(diǎn)P是橢圓E的左頂點(diǎn),百線/交￡干異干點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn).直線P4和的斜率/積為

4

求△PA8面積的最大值.

26.已知橢圓。：=十==1(。>〃>0)過(guò)點(diǎn)P(-2,0)，直線/與橢圓C相交于AB兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P).當(dāng)直線

a~b~

3

/經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線PAPB斜率之積為--.

4

⑴求橢圓。的方程；

(2)若直線PAP8斜率之積為求|A用的最小值.

第23講齊次化處理

一、解答題

1.如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAJ_OB,OM±AB.求點(diǎn)

M的枕跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.

【答案】M的軌跡是以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

【解析】

試題分析：由OA_LOB可得A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之枳和縱坐標(biāo)之積均為定值，由OM_LAB可用斜率處理,

得到M的坐標(biāo)和A、B坐標(biāo)的聯(lián)系，再注意到M在AB上，由以上關(guān)系即可得到M點(diǎn)的軌跡方程；此題

還可以考慮設(shè)出直線AB的方程解決.

解：如圖，點(diǎn)A,B在拋物線y2=4px上，

22

設(shè)A(y),B(--5,y_)?0A>OB的斜率分別為koA、koB.

4pA4PB

由。A_LAB，得ko/koB=16P二一1①

依點(diǎn)A在AB上，得直線AB方程

2

M+yJ(y—丫人)二4P(廣得)②

由OMJ_AB,得直線OM方程尸士Q2組x③

-4p

設(shè)點(diǎn)M(x,y),貝Ijx,y滿足②、③兩式，將②式兩邊同時(shí)乘以-工,

4P

22

并利用③式，可得"一星?(-細(xì))+山良?x?+T,

4P4Px4P4p

整理得一■，A+￥￥a一(x?+y")二。④

由③、④兩式得

-曦玄玲-3+丫?)=0

由①式知,yAyB=-16p2

:.x2+y2-4px=0

因?yàn)锳、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以x>0

所以M的軌跡是以(2p.0)為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

考點(diǎn)：軌跡方程；拋物線的應(yīng)用.

2.已知橢圓2=的焦點(diǎn)是（-6，°）、（6°），且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（夜,

crb~

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)直線/與橢圓。交于4B兩點(diǎn)，且以A6為直徑的圓過(guò)橢圓右頂點(diǎn)M,求證：直線1恒過(guò)定點(diǎn).

2

【答案】（1）—+/=1（2）洋見(jiàn)解析

4

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出橢圓方程，由題意可得。2一〃=3,再由橢圓的定義可得2a=4,解得a=2,b=l,進(jìn)而

得到橢圓方程；（2）由題意可知，宜線1的斜率為。時(shí)，不合題意.不妨設(shè)直線1的方程為乂:女丫+由，代入

橢圓方程，消去x,運(yùn)用韋達(dá)定理和由題意可得MA_LMB,向量垂直的條件：數(shù)量積為0,化簡(jiǎn)整理，可得

6

tn=—

5

或m=2,即可得到定點(diǎn)

試題解析：（1）橢圓。的方程為=\(a>b>0)

2

所以所求橢圓C的方程為工+V=1

4

（2）方法一（1）由題意可知，直線/的斜率為0時(shí);不合題意.

（2）不妨設(shè)直線/的方程為x=ky+m.

?%=妙+〃？

由4f,消去x得（A2+4）），+2h股+〃/-4=（）

Okm一4

設(shè)A（x,y）,8（x”2），則有y+y=-TT~7……①，X%=,.....②

2A十QK2?A

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M,所以=

由加=(內(nèi)-2,yj,MB=(Xj-2,j2),得由-2)(9-2)+y乃=°,

將&=ky\+m,x2=ky2+〃?代入上式,

2

得(42+\)y\y2+k(m-2)(y+j2)+(m-2)=0.....③

將①②代入③，得5〃廠一16〃？+12=°,解得機(jī)或〃?=2（舍）.

左’+45

綜上，直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（:,（））.

方法二證明：（I）當(dāng)攵不存在時(shí)，易得此直線恒過(guò)點(diǎn)冷,0）.

（2）當(dāng)〃存在吐設(shè)直線/的方程為＞'=依+〃7,A（M，X）U2，）'2），/（2,0）.

XT2_

由＜]■+）'=，可得（4產(chǎn)+1）9+8初a+4〃廣-12=0.

y=kx+m

A=16（4Zr2-/?2+l）＞0

2

一8km「、4m-4

X,+X2=4F7T,……①千②

由題意可知

M/i?M分=(),例=(玉一2,y),MB=(x2-2,%),

m

y=kx]+m,%=仁+'

可得(演一2),(％—2)+＞必=0?

整理得(km-2)(內(nèi)+9)+(k*+1)七X2+4+〃/=0③

把①?代入③整理得⑵[1華〃+5"=o,山題意可知12/十16切?+5-=0,

4K+1

解得m=-2k,m=--k.

5

（i）當(dāng)m=-2&時(shí)，即），二以工一2）,直線過(guò)定點(diǎn)（2,0）不符合題意，舍掉.

（ii）〃2=-（Z時(shí)，即y=-x-1）,直線過(guò)定點(diǎn)（段,（）），經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

JJJ

綜上所述，直線/過(guò)定點(diǎn)4,0）

考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.直線和橢圓相交的綜合問(wèn)題

3.圓/+）?=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如

22

圖），雙曲線c：三一5二1過(guò)點(diǎn)P且離心率為6.

（1）求G的方程:

（2）橢圓C?過(guò)點(diǎn)P且與G有相同的焦點(diǎn)，直線/過(guò)G的右焦點(diǎn)且與G交于A,B兩點(diǎn)，若以線段AB為

直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P,求/的方程.

【答案】（1）X2--y=l；（2）工-（.-1））,-行=0,或x+（浮-l）y-G=O..

【解析】

試題分析：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（為,%）（毛>0,%>0）,則切線斜率為一區(qū)，切線方程為

%

y-y0=-—（x-x0）,即/x+%y=4,此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為

了0

s=孑7=-—?由%-+%=422工0y0知當(dāng)且僅當(dāng)天=%=及時(shí)有最大值，即S有最小值,

[Ao）'o入o）'o

P_2=1

因此點(diǎn)p得坐標(biāo)為（、萬(wàn)，后），由題意知方解得"=1,。2=2,即可求出a的方程；（2）由

廿十/=3，

LLX2V2

⑴知。2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一6,0）,（6,0），由此。2的方程為丁市+內(nèi)=1,其中4>0.

3+4-b；

22

由P（J5,近）在C上，得丁尸十六點(diǎn)，顯然，1不是直線廣。.設(shè)1的方程為x=my+JL點(diǎn)

3+44

x=my+后

人（不，,）,8（羽，%）由｛f）,2得（加2+2）y2+26加>一3=0,因

—+—=1

63

Q=（0_5,6-y）,而=（五一%，血_%）由題意知".而=（），所以

刀為一夜（A+W）+）[%-+）'2）+4=0，將韋達(dá)定理得到的結(jié)果代入

X1%—8（玉+9）+）1），2-0（%+>2）+4=0式整理得2”/一2而〃+4指-11=0,解得加=之四一1

或加=-燉+1,即可求出直線1的方程.

2

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（小，為）（/>°，）’0>°），則切線斜率為一工，切線方程為了一）'0二一員（》一毛），即

%>0

。1448

為r+%y=4,此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=z------=——?由

/2+）『=422.%先知當(dāng)且僅當(dāng)外）=陽(yáng)=0時(shí)有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P得坐標(biāo)為

（立也,

由題意知

2——2=1,-.2

『b2解得/=1,從=2,故G方程為工2一2_=1.

，+/=3/2

!22

（2）由（1）知G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一百,0）,（6,0）,由此的方程為二丁+工=1，其中々>0.

3+?~b；

22

由P（四，后）在G上，得了73+m=1，

顯然，1不是直線y=0.設(shè)I的方程為x=my+6，點(diǎn)^（xl,y1）,B（x2,y2）

x=my+\[3

由｛/v2得（62+2））3+2石〃少―3=0,又如先是方程的根，因此

——+—=1

63

2y/3m

…:一寸①

，由N=my]+0,x2=my2+后得

-3

4G

玉+占=〃z(y+%)+2G=,一③

m'+2

中2=nj2X}J2+鬲(y+%)+3=6

④

m~+2

因/=（行_%,0_y）,而=（0_毛,血一斗）由題意知而.麗=0,所以

X*-血（與+工2）+）1%一血（）：1+>2）+4=。?，將①，②，③，④代入⑤式整理得

2Z?J2—2y/6in+4-\/6-11=0?解得〃?二_］或〃?二—十］,因此直線1的方程為

22

x--l)y-V3=0,或X+-|)y-V3=0.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.

4.（2015?山西四模）分別過(guò)橢圓E：￡+4=1（a>b>0）左、右焦點(diǎn)B、F2的動(dòng)直線h、b相交于P點(diǎn)，

a2b’

與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為ki、k2>k*k4,且滿

足ki+k2=k3+k4,已知當(dāng)h與x軸重合時(shí)，|AB|=2/,|CD|=-^.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在定點(diǎn)M,N,使得|PM|十|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴號(hào)+1二1.⑵存在點(diǎn)M,N其坐標(biāo)分別為（0,?1）、（0,I）,使得|PM|+|PN|為定值詆

【解析】

試題分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2加，|CD|二登二延，由此能求出橢圓E的方程.

a3

（2）焦點(diǎn)Fi、F2坐標(biāo)分別為（?1,0）,（1,0）,當(dāng)直線h或b斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（?1,0）或

f￡_

+-1

(1,0),當(dāng)直線h,l2斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為mi,m2,設(shè)A(X|,y)B(x2,y2),由，~T，

y=iri|(x+1)

得(2+3叫2)x2+6叫2乂+3叫2—6二0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點(diǎn)M,N其坐標(biāo)

分別為(0,-1)、(0,I),使得|PM|+|PN|為定值%日.

解：(1)當(dāng)h與x軸重合時(shí),ki+k2=k3+k4=0,

即h=-k4>

工卜垂直于x軸，得|AB|=2a=2加，|CD|=2^二生后，

a3

解得a=無(wú)，b=&,

，橢圓E的方程為1+［二1.

(2)焦點(diǎn)Fi、F2坐標(biāo)分別為(7,0),(1,0),

當(dāng)直線h或12斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-I,0)或(I,0),

當(dāng)直線h,12斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為mi,m2,

設(shè)A（xi,yi）,B（X2?yz）?由＜32

y=iD]（x+1）

得（2+3叫2）乂？+6叫％+3叫2-6=0,

61nl231nl2-6

??Xi+XXiX9-

/2+3mJ/2+3mJ

+k-32?。ㄐ?S）-m（2+^^）

-

i+KQ—+-IDi\十/nii\，丁/-o_，

1ZX1x2X1x2x”2m/-2

-41rl2

同理k?+k4=n2，

m2-2

Vki+k2=k3+k4?

叫-

4ID2

2,即（mim2+2）（m2-mi）=0,

叫2一2m2-2

由題意知miWmz,

.,.mim2+2=0,

設(shè)P(X,y),貝U京?7^2二0,

即馬+工2二i，x^±l,

由當(dāng)直線h或12斜率不存在時(shí)，

P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0)也滿足，

2

???點(diǎn)P(x,y)點(diǎn)在橢圓？-+乂2二1上，

2

???存在點(diǎn)M,N其坐標(biāo)分別為(0,-1)、(0,1),使得|PM|+|PN|為定值2亞.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.

5.已知橢圓C：￡+與=1(a>b>0),四點(diǎn)臼(1,1),P2(0,1),P3(-1,—),P4(1,—)中恰有三

a2b222

點(diǎn)在橢圓C上.

(I)求C的方程；

(H)設(shè)直線1不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P?B的斜率的和為-1,證明：1過(guò)

定點(diǎn).

【答案】(1)—+/=!?

4-

(2)證明見(jiàn)解析.

【詳解】

試題分析：(1)根據(jù)6，乙兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過(guò)6，4兩點(diǎn).另外

由31+11+3去知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)外，所以點(diǎn)P2在C上.因此巴在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)

方程，即可求出C的方程；(2)先設(shè)直線凸4與直線23的斜率分別為隊(duì)，42,再設(shè)直線/的

方程，當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，通過(guò)計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)/：)，=右+，〃(機(jī)工1),將，="+，〃代

入￡+y2=i,寫(xiě)出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出R+X2,汨足，進(jìn)而表示出仁+&，根

4

據(jù)《+&=-1列出等式表示出攵和加的關(guān)系，從而判斷出直線恒過(guò)定點(diǎn).

試題解析：(1)由于A，6兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)鳥(niǎo)，E兩點(diǎn).

1113

又由r+7T>r+-7T知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以點(diǎn)色在C上.

a~b~a~4b~

±=1

°,解得.a2=4

因此］

b2=\,

+--=1

4b2

故C的方程為三+）尸=1.

4.

（2）設(shè)直線PM與直線產(chǎn)26的斜率分別為心，依,

如果/與x軸垂直，設(shè)l：E,由題設(shè)知/H0,且M<2,可得4,B的坐標(biāo)分別為"當(dāng)1"一，）

),(6

2

V4^?-2VW+2=_b得，=2,不符合題設(shè).

則尤+網(wǎng)=

2/2;

從而可設(shè)/：y=kx+m（桃w11.將y="+加代入土+）2=i得

4'

(4產(chǎn)+l)f+8初a+4〃產(chǎn)-4=0

由題設(shè)可■知A=16（4攵2-〃，+1）>0

、8k%4/??2—4

設(shè)A(xi,6)，B(%2>”)，則xi+x2=----j---,xiX2=——；----

4A2+14公+1

,.V.-1Vo-1

而勺+&二三一+二一

5工2

姐+m-1+仇+in-1

A

Ikx^+("7-1)(X+/)

由題設(shè)4+e=-1,故(2k+1)而馬+(7??-1)(^,+x2)=0.

Hr)；*,,\4根2—4z—8km

即(2Z+1)---7----F(W-1)---——=0.

'，4^+1')4F+1

解得』等

fVJ+I1>>+1

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)>一1時(shí)，△>（）,欲使/：），=--—x+m,即），+1=-一—（x-2）,

22

所以/過(guò)定點(diǎn)（2,-1）

點(diǎn)睛:橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過(guò)這一方法進(jìn)

行判斷；證明直線過(guò)定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過(guò)一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間

的關(guān)系式，從而可以判斷過(guò)定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一

定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)

的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).

3r2v2

6.已知點(diǎn)P（-l，5）是橢圓C：f+方上一點(diǎn)，八、B分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，

|P￡|+|P閭=4

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與橢圓C相交于48兩點(diǎn).若直線陰與直線的斜率之和為1,問(wèn):直線/是

否過(guò)定點(diǎn)?證明你的結(jié)論

22

【答案】（1）三十匕=1；（2）直線/過(guò)定點(diǎn)（Y，0）.證明見(jiàn)解析.

43

【分析】

3

（1）由橢圓定義可知。=2,再代入P（-1,大）即可求出分，寫(xiě)出橢圓方程；

2

（2）設(shè)直線/的方程），=履+〃7,聯(lián)立橢圓方程，求出左和加之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).

【詳解】

（1）由IMI+|PKI=4,得〃=2,

（3、

又P7,；在橢圓上，

代入橢圓方程有3+==1,解得人=6，

a-4h~

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+匯=1.

43

（2）證明：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，&與X）,B（xv-y,）,

_3__3

…「2、/2二］，解得』二一4,不符合題意；

12

x1+1

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程y=h+m,g,y）,8（孫為），

<y=kx+m、、,

由：l:2-'八，整理得(3+4-)/+8公a+4〃?2-12=0,

；3x2+4y2-12=0

-Skrn4〃/-12

X,4-X=△=4氏2—帆2+3>O.

23+4?中2二3+4公

由匕+&2=1,整理得（2攵-1）內(nèi)為+]+"?-胃（％+與）+2"[-4=（）,

即（切一42）（2"?-2%-3）=0.

3

當(dāng)吁攵+三時(shí)，此時(shí)，直線/過(guò)P點(diǎn)，不符合題意：

2

當(dāng)加=4k時(shí)，A=4爐->+3>o有解，此時(shí)直線/：y=Z（x+4）過(guò)定點(diǎn)（-4,（））.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.

7.如圖，橢圓后：吞+親■=1（Q>Z?>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)八（0,—1）,且離心率為當(dāng).

CD求橢圓E的方程；

（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,且斜率為我的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,。（均異于點(diǎn)4）,證明：直線AP與

AQ的斜率之和為定值.

2

【答案】（1）；+尸=1；（2）所以直線AP、AQ斜率之和為定值2.

【分析】

（1）運(yùn)用離心率公式和。，b,。的關(guān)系，解方程可得。，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）把直線PQ的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）由題意知￡=立，b=\,結(jié)合。2=〃2+。2,解得〃=&,

a2

???橢圓的方程為、+9=1；

(2)由題設(shè)知，直線P。的斜率不為0,

則直線P。的方程為)，=以九-1)+1(a2),代入與+丁=],得

(1+2k2)x2-4A伏一l)x+2%(&-2)=0,

由已知△>(),設(shè)P($,y),。(々，)’2)，王/6°，

4—)2k也一2)

貝IJX]+巧=

1+2/1+2公

從而直線AP與A。的斜率之和:

,.Vi+1y+1kx,+2-kkx+2-k

L+—+-9-=-----+3----

玉

xxx2x2

=2k+(2-k)(—+—)=2k+(2-k)^-^-

Ak(k-11

=2k+[2-k)-----=2"2(攵-1)=2.

2k(k-2)

所以直線AP、A。斜率之和為定值2.

【點(diǎn)睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)在，消去或y)建立一元二次方程，然后借助根與

系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變顯的等后關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

8.已知橢圓方程為/+1_=1,射線)，=2缶(x>0)與橢圓的交點(diǎn)為M,過(guò)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直

線，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)(異于M).

(1)求證直線八8的斜率為定值；

(2)求△4M4面積的最大值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II)夜.

【分析】

⑴設(shè)Z>0,求得M的坐標(biāo)，則可表示出AM的直線方程和BM的直線方程,分別與橢圓的方程聯(lián)立求得巧和

與,進(jìn)而求得A3的斜率;⑵設(shè)出直線A3的方程與橢圓方程聯(lián)立消去乂利用判別式大于0求得〃:的范圍，進(jìn)而

表示出三角形人MB的面積，利用加的范圍確定面積的最大值.

【詳解】

（【）斜率上存在，不妨設(shè)A>0,求出M（也，2）.

2

直線MA方程為y-2=k（x-

分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出八二竺二把V2

八公+82

42k2+4ky[2

同理得，直線MB方程為>一2=--工一

Br+82

:.^AB=――~=2夜，為定值.

XA-XH

2

（II）設(shè)直線AB方程為y=2jL:+〃7,與V+±=i聯(lián)立，消去），得

8

16x2+4ylmx+("-8)=0.

由/>0得一4<〃?V4,且〃#0,

點(diǎn)M到的距離為［=回.

3

=+公)(/f了=J(l+公)(4+/『-44/]=3x

設(shè)的面積為5.

???52=-MB|2d2=—m2=2.

432

當(dāng)〃？=±2近時(shí)，得￡皿=0?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.探索圓錐曲線的定值

問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑雀鶕?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直

接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

9.已知橢圓士?廣=1兩焦點(diǎn)分別為R、F2、P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足麗.成=1,過(guò)

2412

P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證直線AB的斜率為定值;

（3）求4PAB面積的最大值.

【答案】（1）（2）是定值為0.（3）72.

【解析】

【分析】

22

（1）根據(jù)所?而*=1，用坐標(biāo)表示，結(jié)合點(diǎn)P（x,y）在曲線橢圓工+匕=1上，即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo);

（2）設(shè)出B尸的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，從而可求4、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可■得AB的斜率為定道：

⑶設(shè)A3的直線方程：y=y/2x+m,與橢圓方程聯(lián)立，可確定-2夜〈加〈2夜，求出P到四的距離,

進(jìn)而可表示△租B面積，利川基本不等式可求△%B面積的最大值.

【詳解】

（1）由題可得耳（0，0）,5（0-閭,

設(shè)Po（.ro,和）（xo>O,yo>0）

則%=卜如&_%），麗=卜%一&-%），

???西?班=%一（2—乂）=1,

???點(diǎn)。（X0,和）在曲線上，則至+苑=1,

24

，片=±乎，從而1一（2-川=1,得%=Q.

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1，五）.

（2）由題意知，兩直線以、P8的斜率必存在，設(shè)P8的斜率為A（&>0）,

則BP的直線方程為：y-V2=A（x-l）.

y-\/2=k（x-\）

由,2得（2+女2）“2+2%（血_女）1+（及_k）2_4=0,

<T+T-1

、幾…2k（k-y/2]2k（k-6k2-2y/2k-2

設(shè)B（XR,）%），則]+（____1______Lx—__2______L1=

2”…一2+公2+k2

同理可得/號(hào)—2,則為一勺=器，以一%二—%（%—1）-攵（超-1）=裊?

/十人Z十K/T入

所以AB的斜率*=工2力=丘為定值.

（3）設(shè)AB的直線方程：y=6x+m.

y=4Ix+