專項24-圓內(nèi)接四邊形-重難點題型

圓內(nèi)接四邊形-重難點題型【知識點1圓內(nèi)接四邊形】圓的內(nèi)接四邊形對角互補四邊形是的內(nèi)接四邊形【題型1圓內(nèi)接四邊形（求角度問題）】【例1】（赤峰）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，且∠ADC＝120°，點E是AD上任意一點，連接BE、CE．則∠BEC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．60°【變式1-1】（阜寧縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為BD中點，∠BDC＝54°，則∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°【變式1-2】（市南區(qū)二模）如圖，點D是⊙O上一點，C是弧ACB的中點，若∠ACB＝116°，則∠BDC的度數(shù)是°．【變式1-3】（碑林區(qū)校級模擬）如圖，在⊙O中，點D為AB的中點，CD為⊙O的直徑，AE∥BC交⊙O于點E．連接CE．若∠ECD＝50°，則∠DCB＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【題型2圓內(nèi)接四邊形（求長度問題）】【例2】在圓內(nèi)接四邊形ABCD中∠A＝60°，AC為圓的直徑，AD＝3，CD＝2，求BC的長．【變式2-1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標(biāo)是．【變式2-2】（南京期末）如圖，⊙O的半徑長為4，弦AB的長為2，點C在⊙O上，若∠BAC＝135°，則AC的長為．【變式2-3】（莒南縣校級月考）如圖，已知點A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC＝120°，⊙O的半徑為2．（1）求證：AC是∠BCD的平分線；（2）求圓內(nèi)接四邊形ABCD的周長．【題型3圓內(nèi)接四邊形（外角等于內(nèi)對角）】【例3】（尋烏縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，若AC＝AD，∠CBE＝70°，則∠DBC＝．【變式3-1】（蘇州模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°【變式3-2】已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DB＝DC．求證：AD平分∠EAC．【變式3-3】（蒼南縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CD的延長線上，AD垂直平分BE，連接AC．（1）求證：AB＝AC．（2）連接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的長．【題型4圓內(nèi)接四邊形（面積問題）】【例4】（海淀區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝90°，B是AC的中點，AD＝20，CD＝15，求四邊形ABCD的面積．【變式4-1】（游仙區(qū)月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝120°，BC＝CD．（1）求證：CD∥AB；（2）求S△ACD：S△ABC的值．【變式4-2】（濱湖區(qū)期中）如圖，直線l與⊙O相交于點B、D，點A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是．【變式4-3】（廬陽區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的一條弦，C、D是⊙O上的兩個動點，且在AB弦的異側(cè)，連接CD．（1）若AC＝BC，AB平分∠CBD，求證：AB＝CD；（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半徑為1，求四邊形ACBD的面積最大值．

圓內(nèi)接四邊形-重難點題型（解析版）【知識點1圓內(nèi)接四邊形】圓的內(nèi)接四邊形對角互補四邊形是的內(nèi)接四邊形【題型1圓內(nèi)接四邊形（求角度問題）】【例1】（赤峰）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，且∠ADC＝120°，點E是AD上任意一點，連接BE、CE．則∠BEC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．60°【分析】連接AC，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，則可計算出∠BAC＝30°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BEC的度數(shù)．【解答】解：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC＝∠BAC＝30°．故選：B．【變式1-1】（阜寧縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為BD中點，∠BDC＝54°，則∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°【分析】先根據(jù)已知條件推出AB=CD=AD，則∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補∠ABC+∠ADC＝180°，得到3∠【解答】解：∵A為BD中點，∴AB=∵AB＝CD，∴AB=∴AB=∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADB+∠CBD+ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣54°＝126°，∴3∠ADB＝126°，∴∠ADB＝42°．故選：A．【變式1-2】（市南區(qū)二模）如圖，點D是⊙O上一點，C是弧ACB的中點，若∠ACB＝116°，則∠BDC的度數(shù)是32°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ADB+∠ACB＝180°，求出∠ADB＝64°，根據(jù)C是弧ACB的中點求出AC=BC，根據(jù)圓周角定理得出∠BDC＝∠ADC=【解答】解：∵A、C、B、D四點共圓，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝116°，∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，∵C是弧ACB的中點，∴AC=∴∠BDC＝∠ADC=12故答案為：32．【變式1-3】（碑林區(qū)校級模擬）如圖，在⊙O中，點D為AB的中點，CD為⊙O的直徑，AE∥BC交⊙O于點E．連接CE．若∠ECD＝50°，則∠DCB＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】連接AD，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAD＝130°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠EAB+∠B＝180°，則可得到∠B﹣∠BAD＝50°，由于點D為AB的中點，根據(jù)圓周角定理得∠BAD＝∠BCD，根據(jù)垂徑定理得到CD⊥AB，則∠B＝90°﹣∠BCD，所以90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，從而可求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：連接AD，如圖，∵四邊形ADCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠EAD+∠ECD＝180°，∴∠EAD＝180°﹣50°＝130°，即∠EAB+∠BAD＝130°，∵AE∥BC，∴∠EAB+∠B＝180°，∴∠EAB＝180°﹣∠B，∴180°﹣∠B+∠BAD＝130°，即∠B﹣∠BAD＝50°，∵點D為AB的中點，CD為直徑，∴∠BAD＝∠BCD，CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，即∠B＝90°﹣∠BCD，∴90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，解得∠BCD＝20°．故選：C．【題型2圓內(nèi)接四邊形（求長度問題）】【例2】在圓內(nèi)接四邊形ABCD中∠A＝60°，AC為圓的直徑，AD＝3，CD＝2，求BC的長．【分析】延長AB和DC交于點E，則△ADE和△ECB都是直角三角形，在這兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求解．【解答】解：延長AB和DC交于點E，∵AC為圓的直徑，∴∠ABC＝∠D＝90°，∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∠ABC＝90°，∴∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°，在直角△ADE中，ED=3AD＝33又∵CD＝2，∴EC＝33?在直角△ECB中，BC=12EC=12（3【變式2-1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標(biāo)是（?3，1）【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABO＝60°，再根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙D的直徑，則D點為AB的中點，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB＝2，OA＝23，所以A（﹣23，0），B（0，2），然后利用線段的中點坐標(biāo)公式得到D點坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB為⊙D的直徑，∴D點為AB的中點，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB=12∴OA=3OB＝23∴A（﹣23，0），B（0，2），∴D點坐標(biāo)為（?3故答案為（?3【變式2-2】（南京期末）如圖，⊙O的半徑長為4，弦AB的長為2，點C在⊙O上，若∠BAC＝135°，則AC的長為31?1【分析】作BC所對的圓周角∠BDC，作BH⊥AC于H，連接OB、OC，如圖，△BAH為等腰直角三角形，則AH＝BH=22AB＝1，再利用圓周角定理得到∠D＝45°，∠BOC＝90°，所以BC＝4CH=31，從而得到AC=【解答】解：作BC所對的圓周角∠BDC，作BH⊥AC于H，連接OB、OC，如圖，∵∠BAC＝135°，∴∠BAH＝45°，∴△BAH為等腰直角三角形，∴AH＝BH=22AB∵∠BAC+∠D＝180°，∴∠D＝45°，∴∠BOC＝2∠D＝90°，∴△BOC為等腰直角三角形，∴BC=2OB＝42在Rt△BCH中，CH=B∴AC＝CH﹣AH=31故答案為31?【變式2-3】（莒南縣校級月考）如圖，已知點A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC＝120°，⊙O的半徑為2．（1）求證：AC是∠BCD的平分線；（2）求圓內(nèi)接四邊形ABCD的周長．【分析】（1）四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC＝120°根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B＝60°，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角由BC是直徑得到∠BAC＝90°，則∠ACB＝30°，根據(jù)AD∥BC可得∠DAC＝30°，利用三角形內(nèi)角和定理由∠ADC＝120°得到∠DCA＝30°，則∠DCA＝∠ACB，即AC是∠BCD的平分線；（2）連接OA，易證得△OAB為等邊三角形，則∠AOB＝60°，由AD∥BC，∠ADC＝120°，得到∠DCB＝60°，所以O(shè)A∥CD，而OA＝OC，則有四邊形OADC為菱形，于是AD＝DC＝OC＝2，而在Rt△ABC中，AB=12BC＝2，于是得到四邊形【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC＝120°，∴∠B＝60°，∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝30°，∵∠ADC＝120°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA＝∠ACB，∴AC是∠BCD的平分線；（2）解：連接OA，如圖，∵∠B＝60°，OB＝OA，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∵AD∥BC，∠ADC＝120°，∴∠DCB＝60°，∴OA∥CD，∵OA＝OC，∴四邊形OADC為菱形，∴AD＝DC＝OC＝2，在Rt△ABC中，AB=12∴四邊形ABCD的周長＝2+2+2+4＝10．【題型3圓內(nèi)接四邊形（外角等于內(nèi)對角）】【例3】（尋烏縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，若AC＝AD，∠CBE＝70°，則∠DBC＝40°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ADC+∠ABC＝180°，求出∠ADC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACD＝∠ADC＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC，根據(jù)圓周角定理求出∠DBC＝∠DAC即可．【解答】解：∵A、B、C、D四點共圓，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠CBE＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝70°，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，∴∠DBC＝∠DAC＝40°，故答案為：40．【變式3-1】（蘇州模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°【分析】由圓周角定理得出∠ADC＝55°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，求出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠CBE＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠DAC）故選：C．【變式3-2】已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DB＝DC．求證：AD平分∠EAC．【分析】利用DB＝DC得到DB=DC，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠DCB，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAD＝∠DCB，利用圓周角定理得到∠CAD＝∠DBC，所以∠EAD＝∠【解答】證明：∵DB＝DC，∴DB=∴∠DBC＝∠DCB，∵∠DCB+∠DAC＝180°，∠EAD+∠DAC＝180°，∴∠EAD＝∠DCB，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠EAC．【變式3-3】（蒼南縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CD的延長線上，AD垂直平分BE，連接AC．（1）求證：AB＝AC．（2）連接AE，若AE∥BC，AB＝3，BC＝2，求CE的長．【分析】（1）欲證明AB＝AC，只要證明∠ABC＝∠ACB即可．（2）連接AE，作AF⊥BC點F，CH⊥AE點H，求出EH，CH，利用勾股定理求出EC即可．【解答】（1）證明：連接BD．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC，∵AD垂直平分BE，∴BD＝DE，∴∠ADB＝∠ADE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）連接AE，作AF⊥BC點F，CH⊥AE點H，∴∠AFC＝∠AHC＝90°，∵AE∥BC，∴∠FAE＝90°，∴四邊形AFCH為矩形，∴AH＝CF，CH＝AF，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴AH＝CF＝1，∴CH=AF=3∵AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝3，∴HE＝AE﹣AH＝3﹣1＝2，∴CE=2【題型4圓內(nèi)接四邊形（面積問題）】【例4】（海淀區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝90°，B是AC的中點，AD＝20，CD＝15，求四邊形ABCD的面積．【分析】連接AC，根據(jù)∠ADC＝90°判斷出△ACD為直角三角形，AC為直徑，再根據(jù)勾股定理求出AB、AC的長即可．【解答】解：連接AC，∵∠ADC＝90°，∴AC為⊙0的直徑，∴AC=20∵B為是AC的中點，∴AB=∴AB＝BC．∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC=25∴四邊形ABCD的面積為：12×25【變式4-1】（游仙區(qū)月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝120°，BC＝CD．（1）求證：CD∥AB；（2）求S△ACD：S△ABC的值．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠ACD＝30°，利用圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)得∠DAB＝60°，由于BC＝CD，所以弧BC＝弧CD，則∠DAC＝∠BAC＝30°，于是可計算出∠B＝60°，則∠B+∠BCD＝180°，根據(jù)平行線的判定即可得到CD∥AB；（2）連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理得∠DOC＝2∠DAC＝60°，則△ODC為等邊三角形，易得△OBC為等邊三角形，再利用AB∥CD得S△ADC＝S△ODC，而S△OBC＝S△ODC，S△ABC＝2S△OBC，即可計算出S△ACD：S△ABC的值．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝120°，∴∠ACD＝30°，∠DAB＝180°﹣∠BCD＝60°，∵BC＝CD，∴弧BC＝弧CD，∴∠DAC＝∠BAC=1∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠B+∠BCD＝180°，∴CD∥AB；（2）連接OA、OB，如圖，∵∠DOC＝2∠DAC＝60°，∴△ODC為等邊三角形，而∠B＝60°，∴△OBC為等邊三角形，∵AB∥CD，∴S△ADC＝S△ODC，而S△OBC＝S△ODC，S△ABC＝2S△OBC，∴S△ACD：S△ABC＝1：2．【變式4-2】（濱湖區(qū)期中）如圖，直線l與⊙O相交于點B、D，點A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是1．【分析】當(dāng)A點和C點到BD的距離最大時，四邊形ABCD的面積最大，此時A點和C點為BD所對弧的中點，則AC⊥B