高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬試題三

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬試題三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的幾何意義，可得共軛復(fù)數(shù)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】因?yàn)?，則，因此，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第三象限.故選：C.2．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【詳解】依題意在上的投影向量為.故選：A.3．下圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點(diǎn)，，分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，測(cè)得柱子與之間的距離是（為測(cè)量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出平面圖形，根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】依題意，如圖所示：其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，因?yàn)樵摻ㄖP(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對(duì)稱，，，是的四等分點(diǎn)，，，是的四等分點(diǎn)所以，，，所以為直角三角形，四邊形為矩形，所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故選：A.4．如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)各選項(xiàng)結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷出.【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面ABC，能滿足；對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面ABC，能滿足；對(duì)于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面ABC，能滿足；對(duì)于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.故選：D.5．斛是我國(guó)古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺(tái)，若該正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，側(cè)面積為72，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】求出正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和高，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖，記該正四棱臺(tái)為，在等腰梯形中，過作于E，則．由該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為72可知，，∴，則．連接AC，，則，，在等腰梯形中，過作于F，則．根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知，平面ABCD．在中，．該正四棱臺(tái)的體積，故選：B．6．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得B．若⊥，則C．在邊長(zhǎng)為1的三角形中，的值為D．已知非零向量，則是的必要不充分條件【答案】C【分析】對(duì)兩邊平方，利用向量運(yùn)算判斷A；由模長(zhǎng)公式結(jié)合判斷B；由模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積公式判斷C；由特殊值以及數(shù)量積運(yùn)算判斷D.【詳解】對(duì)于A：兩邊平方得：，即，而，則，則，即共線且反向，即存在實(shí)數(shù)，使得，故A正確；對(duì)于B：由題意，，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，不一定得出，比如當(dāng)與反向，且與、都垂直，則.當(dāng)時(shí)，顯然滿足，故是的必要不充分條件，故D正確；故選：C7．已知直三棱柱中，，，當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.【詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因?yàn)?，令因?yàn)?，所以，在中，，所以，，所以，，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：B8．已知的內(nèi)角A，B，C滿足，的面積S滿足，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式得到，確定，根據(jù)面積范圍得到，得到，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，則，即，故，，即，，整理得到.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，，故，即，，故，即，，則，對(duì)選項(xiàng)A：，即，但不一定正確；對(duì)選項(xiàng)B：，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，不一定正確；對(duì)選項(xiàng)D：，不一定正確；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了三角恒等變換，三角形面積公式，正弦定理，以此考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三角恒等變換公式將條件轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因?yàn)椋裕珹正確因?yàn)椋?，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．10．已知平面α，β，直線l，m，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則“”是“”的充分不必要條件D．若，，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷A,根據(jù)線面平行的判斷以及性質(zhì)可判斷BD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷C.【詳解】由面面垂直的性質(zhì)定理可知A正確,對(duì)于B,若，，則,或者異面，故B錯(cuò)誤,對(duì)于C,若,則,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正確，對(duì)于D,若，，,不能得到,因?yàn)橛锌赡墚惷?，但是，，，則，故D正確，故選：ACD11．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，外接圓半徑為，若，，則（

）A． B．C．的取值范圍為 D．周長(zhǎng)的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑，即可判斷A；由銳角得角的范圍，從而得的范圍，由正弦定理得，即可得的范圍，即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的定義將，再由，結(jié)合三角恒定變換將其轉(zhuǎn)換為正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍為從而判斷C；同樣由正弦定理得，將三角形周長(zhǎng)邊化角之后，結(jié)合三角恒定變換將其轉(zhuǎn)換為正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得周長(zhǎng)的最大值，即可判斷D.【詳解】由正弦定理得，則，故A正確；在銳角中，，則，所以，得，則，由正弦定理得，則，故B不正確；又由于，所以，則，于是有，即的取值范圍為，故C正確；由正弦定理得，則，所以周長(zhǎng)為：由于，所以，則，于是有，故周長(zhǎng)的最大值為，故D正確.故選：ACD.12．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．直線為異面直線 B．C．直線與平面所成角的正切值為 D．過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【分析】作出圖形，利用中位線定理和平行的傳遞性即可判斷選項(xiàng)A；利用等體積法計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)線面角的概念即可判斷選項(xiàng)C；利用平面的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，連接，由題意可知，因?yàn)椋?，所以共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，由題意可知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，滿足，，則______.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故，，故，?故答案為：.14．如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】3【分析】利用向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，故答案為?15．如果滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用正弦定理可求出，由只有一個(gè)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得解.【詳解】由，得，又，所以，則當(dāng)時(shí)，三角形只有一個(gè)解，此時(shí)，所以.故答案為：.16．如圖，在直三棱柱中，．設(shè)D為的中點(diǎn)，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)E，連接AE，易得，由面面垂直的性質(zhì)得面，再由線面垂直的性質(zhì)有、，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)得，【詳解】取的中點(diǎn)E，連接AE，如圖．因?yàn)?，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．又AE，面，且AE，相交，所以面，面，所以．設(shè)，則，解得，所以．所以三棱柱外接球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在中，，，，D是邊BC上一點(diǎn)，，設(shè)，．(1)試用，表示；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【詳解】（1）∵D是邊BC上一點(diǎn)，，∴，又∵，，得，∴．（2）∵，，，∴，．18．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)?，所?（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.19．芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣。芻，草也。甍，屋蓋也。求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一?！狈g為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂?！爆F(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形為長(zhǎng)方形，平面，和是全等的等邊三角形.(1)求證：；(2)若已知，求該五面體的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理即得；（2）過點(diǎn)作，作，過點(diǎn)作，作，利用割補(bǔ)法可把該五面體分為兩個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱柱，然后利用錐體及柱體的體積公式即得.【詳解】（1）五面體中，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?（2）過點(diǎn)作，作，垂足分別為，，過點(diǎn)作，作，垂足分別為，，連接，，如圖，取中點(diǎn)，連接，由知，，因?yàn)?，，且，是平面?nèi)兩相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，是平面?nèi)兩相交直線，所以平面，在中，，，可得，所以，四棱錐和的體積均為，三棱柱的體積，所以，該五面體的體積為.20．在中，角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c．且．(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍；(3)若，，P為AC邊中點(diǎn)，求BP的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即得；（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）由題可得，然后利用模長(zhǎng)公式結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，故，又，故；（2）由（1）知，，故，又，則，，即；（3）∵，∴，又，，∴，∴，即BP的長(zhǎng)為.21．如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，側(cè)面PAD與底面ABCD的夾角為.(1)求正四棱錐P－ABCD的體積；(2)若點(diǎn)M是正四棱錐P－ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距離分別為，，，，，證明：；【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明即為面PAD與底面ABCD所成角的平面角，從而可求得底面邊長(zhǎng)及高，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解；（2）根據(jù)，利用等體積法即可得證.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的幾何特征可得為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，同理，，平面，平面，平面，所以，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即為面與底面ABCD所成角的平面角，即，，則，所以；（2），因?yàn)椋裕?2．如圖所示，在中，P在線段BC上，滿足，O是線段AP的中點(diǎn)．(1)過點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，．①求證為定值；②設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值．(2)若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且，