2024-2025學年高中數(shù)學第2章數(shù)列2.1.2數(shù)列的通項與遞推公式作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE課時分層作業(yè)(八)數(shù)列的通項與遞推公式(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是()A.an＋1＝an＋n，n∈N*B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2B[由題可知an－an－1＝n(n≥2).]2．已知數(shù)列{an}中的首項a1＝1，且滿意an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，此數(shù)列的第3項是()A.1 B．eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．eq\f(5,8)C[a1＝1，a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2×2)＝eq\f(3,4).]3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，則數(shù)列{an}的一個通項公式為()A.an＝n B．a(chǎn)n＝n＋1C.an＝2n D．a(chǎn)n＝2n－1D[由題知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，閱歷證，選D.]4．數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是()A.103 B．108eq\f(1,8)C.103eq\f(1,8) D．108D[依據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f(29,2)n))＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))eq\s\up12(2)＋3＋eq\f(29×29,8).所以n＝7時，an＝108為最大值．]5．已知數(shù)列{xn}滿意x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，設(shè)Sn＝x1＋x2＋…＋xn，則下列結(jié)論正確的是()A.x100＝－a，S100＝2b－aB.x100＝－b，S100＝2b－aC.x100＝－b，S100＝b－aD.x100＝－a，S100＝b－aA[x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，∴{xn}是周期數(shù)列，周期為6，∴x100＝x4＝－a，∵x1＋x2＋…＋x6＝0，∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.]二、填空題6．數(shù)列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝eq\f(1,xn＋1)－1，則x2021等于________．1[∵x1＝1，∴x2＝－eq\f(1,2)，∴x3＝1，∴數(shù)列{xn}的周期為2，∴x2021＝x1＝1.]7．數(shù)列{an}滿意an＝4an－1＋3，且a1＝0，則此數(shù)列的第5項是．255[因為an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.]8．數(shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝．eq\f(1,2)[由an＋1＝eq\f(1,1－an)，得an＝1－eq\f(1,an＋1)，∵a8＝2，∴a7＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，…，∴{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a1＝a7＝eq\f(1,2).]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x).數(shù)列{an}滿意f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項公式．[解]∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.10．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(n)，試求數(shù)列{an}的最大項．[解]假設(shè)第n項an為最大項，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n－1)，,（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥（n＋3）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n＋1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4，))即4≤n≤5，所以n＝4或5，故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項，且a4＝a5＝eq\f(65,74).1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)，x≤\f(1,2)，,2x－1，\f(1,2)<x<1，,x－1，x≥1，))若數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝f(an)，n∈N*，則a2020＋a2021等于()A．4 B．eq\f(3,2)C．eq\f(7,6) D．eq\f(11,6)B[a2＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))＝eq\f(7,3)－1＝eq\f(4,3)；a3＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3)；a4＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)；a5＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝2×eq\f(5,6)－1＝eq\f(2,3)；a6＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝2×eq\f(2,3)－1＝eq\f(1,3)；…∴從a3起先數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，∴a2020＋a2021＝a4＋a5＝eq\f(3,2).故選B.]2．數(shù)列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，則a2等于________．9[由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，兩式相減，得nan＋1－(n－1)an＝an.∴n≥3時，nan＋1＝nan，即an＋1＝an.又a9＝8，∴a3＝8.又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a13．我們可以利用數(shù)列{an}的遞推公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n，n為奇數(shù)時，,a\f(n,2)，n為偶數(shù)時))(n∈N*)求出這個數(shù)列各項的值，使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)．探討發(fā)覺，該數(shù)列中的奇數(shù)都會重復(fù)出現(xiàn)，那么第8個5是該數(shù)列的第________項．640[由題意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8個5是該數(shù)列的第640項．]4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，懇求出最大項；若不存在，請說明理由．[解]存在最大項．理由：a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(22,22)＝1，a3＝eq\f(32,23)＝eq\f(9,8)，a4＝eq\f(42,24)＝1，a5＝eq\f(52,25)＝eq\f(25,32)，….∵當n≥3時，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(（n＋1）2,2n＋1)×eq\f