多項式插值 (1)第二章

多項式插值(1)第二章§1引言函數(shù)逼近:

數(shù)學中的基本問題,最活躍的研究領域之一數(shù)值計算中函數(shù)表示的重要方法本質(zhì)是討論如何用簡單函數(shù)近似代替復雜函數(shù)簡單函數(shù)曲線擬合離散數(shù)據(jù)的方法、理論及其實現(xiàn)。2簡單函數(shù)逼近函數(shù)復雜函數(shù)被逼近函數(shù)近似代替逼近基本術語：討論如何用簡單的函數(shù)一個復雜的函數(shù)近似地代替的方法、理論及其實現(xiàn).

近似代替又叫做逼近.被逼近的函數(shù)或被近似的函數(shù)逼近的函數(shù)或近似的函數(shù)即3函數(shù)逼近是數(shù)值分析的許多分支的理論基礎.

例如:數(shù)值積分;數(shù)值微分;微分方程數(shù)值解;曲線曲面擬合;函數(shù)值近似計算;等等4從逼近論的觀點，通常有兩種意義下的逼近：局部逼近整體逼近1、局部逼近所謂局部逼近就是求函數(shù)在某點附近的近似最常用的逼近方法：Taylor逼近方法理論依據(jù)：Taylor定理5定理1.1設n為一非負整數(shù)，在點某一鄰域有階連續(xù)導數(shù)，有則對的這里，n次Taylor逼近多項式和誤差余項分別為(1.1)(1.2)(1.3)6注意：1、Taylor逼近多項式滿足以下逼近要求

2、Taylor逼近是一種局部逼近在一點處的信息.僅利用了被逼近的函數(shù)下面舉例說明Taylor多項式的逼近效果.7解由(1.2)式和(1.3)式易求得(1.2)(1.3)直觀理解可以參見下圖。8(a)的一次和二次Taylor逼近函數(shù)(b)的一次和二次Taylor逼近誤差(a)(b)9因此，Taylor逼近適合作函數(shù)的局部逼近.由此可見：誤差不是均勻分布的.當x越偏離x0誤差就越大即當x越接近x0誤差就越小；我們將主要討論整體逼近問題:即對定義域上的所有點.近似函數(shù)對被逼近函數(shù)的逼近函數(shù)曲線對樣本數(shù)據(jù)的擬合考慮:10例2求區(qū)間[0,1.5]上的二次（拋物）曲線,要求該曲線過樣本點解設所求拋物線的方程為

利用待定系數(shù)法，可得此例將引出所謂的Lagrange型多項式插值問題,這時給定的樣本數(shù)據(jù)僅包含函數(shù)值.11例3求區(qū)間[0,1]上的三次曲線，要求該函數(shù)曲線過且其一階導函數(shù)曲線過樣本點和(即函數(shù)曲線在0,1點處的斜率分別為0和1).和樣本點解設所求的三次曲線為類似于例2的計算，可得12上例將引出所謂的Hermite型多項式插值問題此時樣本數(shù)據(jù)包含：1、函數(shù)值2、一階導數(shù)值.更廣泛的還有所謂的Birkhoff插值問題.注意：13x01234567y27.026.826.526.326.125.725.324.8例4給定離散數(shù)據(jù)（下表），數(shù)據(jù)，使誤差平方和最小。此例將引出所謂的最小二乘逼近問題。

用一直線擬合這組14插值問題涉及的基本內(nèi)容：1.問題提法2.問題的適定性(解的存在、唯一性)3.解的構造

(或表示

)及其相關算法

4.誤差分析(逼