人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：1 2 第一課時 空間向量基本定理

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE11.2空間向量基本定理第一課時空間向量基本定理課標要求素養(yǎng)要求1.理解空間向量基本定理及其意義并會簡單應用.2.掌握空間向量的正交分解.在理解并應用空間向量基本定理的過程中，掌握空間向量正交分解的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).自主梳理1.空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.基底(1)定義：如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量.(2)性質(zhì)：空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同.3.正交分解(1)單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示.(×)〖提示〗由空間向量基本定理可知，空間的任何一個向量都可用三個不共面的向量表示.(2)若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量.(√)(3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線.(√)(4)任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.(×)〖提示〗任何三個不共面的向量才可構(gòu)成空間的一個基底，不共線的向量可能共面.2.設向量a，b，c不共面，則下列集合可作為空間的一個基底的是()A.{a－2b，3a－b，0} B.{a，b，a＋b}C.{3a＋b，a＋b，c} D.{a＋b＋c，a＋b，c}〖答案〗C〖解析〗A中由于0與任意兩個向量共面，不能作基底；B中a＋b＝a＋b，故三向量共面，不能作基底；D中a＋b＋c＝(a＋b)＋c，故三向量共面，不能作基底.3.長方體ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝________(用i，j，k表示).〖答案〗3i＋2j＋5k〖解析〗eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k.4.如圖所示，點M是OA的中點，以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}為基底的向量eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，則(x，y，z)＝________.〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))〖解析〗∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，又∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝－1.題型一基底的判斷〖例1〗已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底.解假設eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，則存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程組無解，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}可以作為空間的一個基底.思維升華判斷給出的三個向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個向量是否共面，首先應考慮三個向量是否是零向量，其次判斷三個非零向量是否共面.如果從正面難以入手判斷三個向量是否共面，可假設三個向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，若方程組有解，則三個向量共面；若方程組無解，則三個向量不共面.〖訓練1〗(1)已知A，B，C，D，E是空間五點且A，B，C不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))均不能構(gòu)成空間的一個基底，則在下列各結(jié)論中，不正確的為()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))不構(gòu)成空間的一個基底B.eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))不構(gòu)成空間的一個基底C.eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))不構(gòu)成空間的一個基底D.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))構(gòu)成空間的一個基底(2)設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底.給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.其中可以作為空間的基底的向量組有________(填序號).〖答案〗(1)D(2)②③④〖解析〗(1)由eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))均不能構(gòu)成空間的一個基底及A，B，C不共線，可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))為共面向量，即A，B，C，D，E五點共面，故D不正確.(2)如圖，所設a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).由A，B1，D1，C四點不共面可知向量x，y，z也不共面.同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底.因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底.題型二用基底表示空間向量〖例2〗如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解連接BO，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－b－a＋c)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.思維升華用基底表示向量時：(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進行；(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.〖訓練2〗在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點.(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值.解(1)如圖，連接AC，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.(2)eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.題型三空間向量基本定理的應用〖例3〗如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z.(1)證明∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，又它們有公共點A，∴A，E，C1，F(xiàn)四點共面.(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).思維升華由空間向量基本定理可以知道，如果三個向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，則a，b，c的線性組合xa＋yb＋zc能生成所有的空間向量，并且有序數(shù)組(x，y，z)是唯一的，這是利用空間向量基本定理求參數(shù)值的理論基礎(chǔ).〖訓練3〗如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.(1)eq\o(BD′,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→)).解(1)∵eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，又e