三角形中的雙角平分線模型-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破訓(xùn)練

專題06三角形中的雙角平分線模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】雙角平分線模型

如圖，已知在A48C中，BO,C0分別是N4BC,NZC8的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

定理，可得/。=90°+!22。

2

【模型2】一內(nèi)角一外角平分線模型

如圖，已知在\ABC中，BP,CP分別是NABC,ZACD的平分線，/.ZPBC=-ZABC，

2

ZPCA=-ZACD,

2

ZPCB=ZACB+-ZACD，ZACD=ZA+ZABC

2

ZPCB=ZACB+^(NZ+NABC)；

ZPCB=ZACB+-ZA+-NABC

22

???NP=180°-(ZP5C+NPCB)

ZP=180°-(|ZABC+ZACB+^ZA+^NABC)；

ZP=180°-(ZABC+ZACB+^ZA)；

.-.ZP=180°-(180°-Z^+1z^)；

:.AP=-AA

2

【模型3】雙外角平分線模型

如圖，已知在A48c中，BP,CP分別是NC8E,N8CR的平分線,

根據(jù)外角定理，ZPBC=-ZCBE,ZPCB=-ZBCF,又NCBE=NA+NACB,

22

ZBCF=ZA+ZABC,

ZP=180°-(ZP5C+NPCB)；

NP=180°-(|ZCBE+1NBCF)=180°-1(ZCBE+ZBCF)；

ZP=180°-^(ZA+ZACB+ZA+ZABC)；

ZP=180°-1(2ZA+ZACB+ZABC)；

ZP=180°-1(2ZA+180°-ZA)；

ZP=180°--Z^-90°；

【例1】如圖，在AABC中，/ABC和NACB的角平分線交于點O,延長BO與NACB的外角平分線交于

點D,若NBOC=130。，則ND=

A

D

E

【答案】40°

【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】解：：NABC和NACB的角平分線交于點O,

.*.ZACO=yZACB,

VCD平分/ACE,

：.ZACD=yZACE,

VZACB+ZACE=180°,

ZOCD=ZACO+ZACD=y(ZACB+ZACE)=?x180。=90。,

VZBOC=130°,

ZD=ZBOCZOCD=130°90°=40°,

故答案為：40°.

【例2】如圖，已知△ABC,O是AABC內(nèi)的一點，連接OB、OC,將NABO、/ACO分別記為/I、Z2,

則N1、/2、NA、NO四個角之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°

C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【分析】連接AO并延長,交BC于點D,由三角形外角的性質(zhì)可知,ZCOD=ACAD+A2,

再把兩式相加即可得出結(jié)論.

【解析】解：連接/O并延長，交BC于點、D,

NBOD是A4OB的外角，ACOD是△/OC的外角，

AZBOD=ZBAD+Z1?,NCOD=/C4D+/2②,

①+②得，ZBOC=(ZBAD+ZCAD)+Z1+Z2,BPZBOC=ZBAC+Z1+Z2.

故選：D.

【例3】(1)問題發(fā)現(xiàn):

如圖1,在A/3C中，44=40。，N/2C和4cB的平分線交于P,則NBPC的度數(shù)是

(2)類比探究：

如圖2,在A/3C中，N/BC的平分線和4c8的外角N/CE的角平分線交于P,則/8PC與N4的關(guān)系是

,并說明理由.

(3)類比延伸：

如圖3,在“3C中，N/2C外角/E8C的角平分線和N/CB的外角/8CE的角平分線交于尸，請直接寫出

NBPC與ZA的關(guān)系是.

【答案】(1)110°；(2)NBPC=LNA；(3)ZBPC=90°--ZA

22

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ABC+NACB,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即

可；

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/ACE=/ABC+NA、ZPCE=ZPBC+ZBPC,根據(jù)角平分線的定義解答;

(3)根據(jù)(1)的結(jié)論然后用角分線的定義，計算即可.

【解析】解:(1)-.?ZA=40°,

AABC+ZACB=i80°-40,

NABC和ZACB的平分線交于P,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ACB,

22

：.ZBPC=180°-1(NABC+ACB)=90°+20°

故答案為110°

(2)ZBPC=-ZA,

2

證明：：乙4。￡是A48C的外角，

/尸CE是APBC的外角，

ZACE=ZABC+ZA

ZPCE=ZPBC+ZBPC,

,:BP平分/4BC,C尸平分NNCE,

ZPBC=-ZABCZPCE=-ZACE,

22

-ZACE=-ZABC+ZBPC,

22

ZBPC=-ZABC--ZACE=-(ZABC-乙

222'

ZBPC=-ZA,

2

故答案為：NBPC二NA；

2

(3)由(1)得，ZBPC=90°--ZA,

2

故答案為：ZBPC=90°--ZA.

2

一、單選題

1.如圖，在△48C中，/48C和NNC3的外角平分線交于點O,設(shè)則/8OC=()

A

A90J冽B900'TC180。-2冽D180O'T

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得N/8C+/4C8,根據(jù)角的和差，可得/D5C+/BCE,根據(jù)角平分線的

定義，可得/O8C+NOC3,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案.

【解析】解：如圖：

由三角形內(nèi)角和定理，得/4BC+NNC3=180。乙4=180。加，

由角的和差，得NDBC+/BCE=360。(NABC+NACB)=180°+m,

由NZ8C和N/C8的外角平分線交于點。，得

NOBC+NOCB=(./DBC+NBCE)=90。+/加，

由三角形的內(nèi)角和，得

Z0=180°(NOBC+NOCB)=90°ym.

故選：B.

2.如圖：PC、PB是N4CB、N4BC的角平分線，乙1=40°,ZBPC=()

C

AR

A.ZBPC=10B.ZBPC=14Q

C.ZBPC=UO°D.ZBPC=40°

【答案】c

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/N8C+/ZC8的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

ZPCB=-ZACB,ZPBC=-ZABC,進而可求NP3C+/PCB的度數(shù)，再次在AC3P中利用三角形內(nèi)角和即

22

可求解.

【解析】解：?.?//=40。，

ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

又-■-BP平分NABC,CP平分ZACB,

NPCB=-ZACB,ZPBC=-ZABC,

22

ZPBC+NPCB=1(ZABC+N/C3)=114cp=7CP,

ZBPC=180°-(ZPBC+NPCB)=110°.

故選：C.

3.如圖，ZX/BC中，Z￡=18°,BE平濟NABC,CE平分/4CD,則/N等于()

A.36°B.30°C.20°D.18°

【答案】A

【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得NECD=NE+NEBC；

由角平分線的性質(zhì)，得NECD=g(/A+/ABC),/EBC=gNABC,利用等量代換，即可求得N/與NE

的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解析】解:VAACD=AA+AABC,

：.AECD=^CZA+ZABC).

又ZECD=ZE+ZEBC,

：.ZE+ZEBC=^CZA+ZABC).

,；BE平分NABC,

???NEBC=wNABC,

：.1ZABC+ZE=^-（ZA+ZABC\

：.Z￡=yZ^=18°,

???ZA=36°.

故選N.

4.如圖，A/3C中，NN8C與乙4c3的平分線交于點尸，過點尸作。E〃BC交4B于點D,交/C于點E,

那么下列結(jié)論：

①ABDF和ACEF都是等腰三角形

?DE=BD+CE；

@BF>CF；

④若44=80°,則ZBFC=130°.

其中正確的有（）個

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解.

【解析】解：①「BF是/ABC的角平分線，CF是NACB的角平分線，

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

：DE〃BC,

.,.ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

；.NABF=/BFD,ZACF=ZEFC,

；.DB=DF,EF=EC,

.,.△BDF^ACEF都是等腰三角形，

①選項正確，符合題意；

②：DE=DF+FE,

，DB=DF,EF=EC,

；.DE=DB+CE,

②選項正確，符合題意；

③根據(jù)題意不能得出BF>CF,

...④選項不正確，不符合題意；

④：若/A=80。，

ZABC+ZACB=180°ZA=180°80°=100°,

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

ZCBF+ZBCF=yxl00°=50°,

ZBFC=180°ZCBFZBCF=180°50°=l30°,

④選項正確，符合題意；

故①②④正確.

故選C

5.如圖，ZABD,N/CD的角平分線交于點尸，若44=48。，ZD=10°,則/尸的度數(shù)（）

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延長PC交3。于E,設(shè)AC、PB交于F,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到N4+//8/+N/E8

=ZP+ZPCF+/尸/C=180°推出/尸+ZPCF=N/+凡根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/尸+ZPBE=

ZPED,推出根據(jù)網(wǎng)、PC是角平分線得到ZABF=ZPBE,

推出2/尸=/4一/。，代入即可求出/尸.

法二：延長。C,與4B交于點E.設(shè)/C與8尸相交于。，貝可得/尸+g//CD=//

+}N4血代入計算即可.

【解析】解：法一：延長尸C交3。于E,設(shè)NC、PB交于F,

A

P

B

D

ZA+ZABF+ZAFB=ZP+ZPCF+ZPFC=180°,

ZAFB=ZPFC,

：.ZP+/PCF=ZA+ZABF,

ZP+NPBE=APED,NPED=ZPCD-ZD,

：.ZP+NPBE=ZPCD-ZD,

：.2ZP+ZPCF+/PBE=ZA-ZD+ZABF+ZPCD,

.:PB、PC是角平分線

ZPCF=ZPCD,ZABF=ZPBE,

：.2ZP=ZA-ZD

：N/=48°,ZD=10°,

:.ZP=19°.

法二：延長。C,與AB交于點、E.

A

"：NACD是AACE的外角，ZA=48°,

ZACD=//+/AEC=48°+ZAEC.

ZAEC是ABDE的外角，

NAEC=ZABD+/D=ZABD+10°,

Zy4C￡>=48°+ZAEC=4S°+ZABD+10°,

整理得//CD-ZABD=58°.

設(shè)4C與AP相交于。，則/NO2=/POC,

ZP+yNACD=N/+gAABD,

即/尸=48°-*(ZACD-ZABD)=19°.

故選4

二、填空題

6.如圖，在AABC中，AA=3,/4BC和N/CD的平分線交于點4，得乙4-和/&CD的平分線

交于點4,得幺；…；"。|屹。和19co的平分線交于點4必，貝!]/4。2。=_.(用。表示)

【答案】[r

【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證NAi=g/A,由于NA『｝/A,

/Az=；/Ai=^/A,…，以此類推可知/A2020即可求得.

【解析】：AiB平分/ABC,AC平分/ACD,

.*.ZAiBC=yZABC,ZAiCA=yZACD,

/AiCD=NAi+NAjBC,

即yZACD=ZAi+yZABC,

,/ZA+ZABC=ZACD,

.".ZA=ZACDZABC,

.,.ZAi=|ZA,

以此類推

ZA2=yZAi=yNA="NA,

ZA3=1/A2=；X：/A=JNA,

所以NAn=，7NN,

故答案為：

7.如圖，在△48C中，NA=70。，如果N/8C與N/C3的平分線交于點。，那么N8OC=度.

【答案】125

【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出443C+N4cB的度數(shù)，進而可求/D3C+/0CB的度數(shù)，最后再利

用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【解析】?.?4=70。,

ZABC+ZACB=1800-ZA=110°.

：BD平分45C,CD平分N/C3,

NDBC+NDCB=1(ZABC+ZACB)=55<,

ZBDC=180°-(ZDSC+NDCB)=125°.

故答案為：125.

8.如圖在AABC中，BO,CO分別平分/ABC,ZACB,交于O,CE為外角/ACD的平分線，交BO的

延長線于點E,記N5/C=N1,NBEC=N2,則以下結(jié)論①/1=2N2,?ZBOC=3Z2,(3)ZBOC=90°+Z1,

@Z5OC=90°+Z2,正確的是.(把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上)

B

D

【答案】①④

【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到Nl=2/2,ZBOC=90°+yZl,ZBOC

90°+Z2,再分析判斷.

【解析】：CE為外角NACD的平分線，BE平分/ABC,

ZDCE=|ZACD,ZDBE=yZABC,

又ZDCE是ABCE的外角，

Z2=ZDCE-ZDBE=y(NACD-/ABC)=yZl,

故①正確；

VBO,CO分別平分NABC,ZACB,

ABC

AZOBC=Y-NOCB=：/ACB,

AZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-；(180°-Zl)

=90°+yZl,

故②、③錯誤；

：OC平分/ACB,CE平分NACD,

ZACO=yZACB,ZACE=|ZACD,

.,.ZOCE=y(ZACB+ZACD)=1xl80°=90°,

ZBOC是△COE的外角,

：.ZBOC=ZOCE+Z2=90°+Z2,故④正確；

故答案為：①④.

9.如圖，的角平分線08、OC相交于點O,44=40。，貝?。軳30C=

【答案】110°.

【分析】根據(jù)三角形的角平分線定義和三角形的內(nèi)角和定理求出/OBC+NOCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理即可求出NBOC的度數(shù).

【解析】解：：OB、OC分別是NABC和/ACB的角平分線，

ZOBC+ZOCB=1ZABC+^ZACB=^(/ABC+ZACB)

VZA=40°,

.,.ZOBC+ZOCB=1(180°-40°)=70°,

.,.ZBOC=180°(ZOBC+ZOCB)

=180°70°

=110°.

故答案是110.

10.如圖，已知NB/C=60。，是角平分線且/。=10,作/。的垂直平分線交ZC于點/，作￡>E_L/C,

則&DEF周長為.

【答案】5+5百

【分析】知道NB/C=60。和4D是角平分線，就可以求出NCU￡=30。，4D的垂直平分線交ZC于點尸可以

得到4尸=￡0,在直角三角形中30。所對的邊等于斜邊的一半，再求出得到

C^DEF=DE+EF+AF=AE+DE.

【解析】解：；4D的垂直平分線交NC于點尸，

DF=AF(垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等)

CXOEF—DE+EF+AF=AE+DE

VABAC=60°,40是角平分線

：.ZDAE=30°

,?AD=10

:.DE=5,AE=5y/3

??CADEF=5+5s/3

11.如圖，在△/BC中，ZA=60°,BD、CD分別平分N45C、NACB,M、N、。分別在。8、DC、8c的

延長線上，BE、CE分別平分/A/BC、ZBCN,BF、C/分別平分/E3C、ZECQ,貝！|/尸=.

【答案】15。

【分析】先由8。、C7)分別平分//8C、//C3得至ljNO8C=gN/8C,ZDCB=^-ZACB,在△/BC中根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NOBC+/DC3=g(N4BC+NACB)=y(180。//)=60°,則根據(jù)平角定理得到

/MBC+/NCB=300。；再由5￡、CE分別平分NAffiC、/BCN得/5+/6=g/AfflC,Zl=yZNCB,兩式

相力口得至lJ/5+/6+Nl=}CZNCB+ZNCB)=150°,在△2CE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出NE=30。；

再由AF、CF分別平分NE8C、NECQ得到N5=N6,Z2=Z3+Z4,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到

Z3+Z4=Z5+ZF,N2+N3+N4=/5+/6+NE,利用等量代換得到N2=/5+/R2Z2=2Z5+Z￡,再進

行等量代換可得到/尸ZE.

【解析】解：如圖:

,:BD、C。分別平分NN3C、NACB,ZA=60°,

：.ZDBC=^NABC,ZDCB=^-ZACB,

AZDBC+ZDCB=^(/ABC+/ACB)=1(180°NN)=yx(180°60°)=60°,

ZAfflC+Z2VCB=360°60o=300°,

,:BE、CE分別平分NAfflC、ZBCN,

：.Z5+Z6=yZMBC,NNCB,

.\Z5+Z6+Z1=1(/NCB+/NCB)=150°,

AZ￡=180°(Z5+Z6+Z1)=180°150°=30°,

?:BF、CF分別平分NE2C、ZECQ,

：.Z5=Z6,Z2=Z3+Z4,

,/Z3+Z4=Z5+ZF,N2+/3+/4=N5+/6+/E,

即N2=/5+NP,2Z2=2Z5+ZE,

：.2ZF=ZE,

：.ZF=yZ￡=yx30°=15°.

故答案為：15。.

三、解答題

12.(1)如圖所示，在A4BC中，5。,。0分別是乙43。和乙403的平分線，證明：ZBOC=90°+-ZA.

2

(1)

(2)如圖所示，的外角平分線AD和相交于點。，證明：ZBDC=90°--ZA.

2

BC

D

(2)

(3)如圖所示，A/3C的內(nèi)角平分線8。和外角平分線CD相交于點。，證明：ND，NA.

2

(3)

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【解析】(1)設(shè)乙4B0=NOBC=x,NACO=NBCO=y.

由的內(nèi)角和為180。，得N/+2x+2y=180。.①

由A50C的內(nèi)角和為180。，得N3OC+x+y=180。.②

由②得x+y=180°-4OC.③

把③代入①，得N/+2(180°-ZBOC)=180。，

即2ZBOC=180°+N。,

即ZBOC=90°+-ZA

2

(2),:BD、CD為/\4BC兩外角N4BC、N/C8的平分線,

/.NBCD=；(ZA+N4BC)、ZDBC=^(ZA+ZACB),

由三角形內(nèi)角和定理得，NBDC=180°-NBCD-ZDBC,

=180。]//+(NA+/ABC+NACB)],

=180°|(N/+180。)，

=90°yZ^；

(3)如圖:

；為△NBC的角平分線，交4C與點E,CD為△48C外角//CE的平分線，兩角平分線交于點。

.\Z1=Z2,Z5=1(ZA+2Z1),Z3=Z4,

在△N8E中，Z^=18O°Z1Z3

.".Zl+Z3=180°Z^@

在△CDE中，Z￡)=180°Z4Z5=180°Z31(N/+2N1),

即2"=360。2/3乙42/1=360。2(Z1+Z3)/A②,

把①代入②得

13.如圖，在△43C中，/ABC、//C8的平分線相交于點。

①若N48C=40。，ZACB=5Q°,則4BOC的度數(shù)為；

②若ZA=76°,則/8OC的度數(shù)為；

③你能找出//與NBOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由

【答案】①135。；②128。；③/BOC=90o+g/A,理由見解析

【分析】①利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義進行求解；

②利用三角形的內(nèi)角和定理求出(NABC+/ACB)的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理

進行求解；

③利用三角形的內(nèi)角和定理求出(NABC+NACB)的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理進

行求解.

【解析】解：①：/人：6?=40。，ZACB=50°,ZABC,NZC8的平分線相交于點0,

ZOBC=yZABC=20°,Z0CB=yZACB=25°,

又ZB0C+ZOBC+ZOCB=180°,

.*.ZBOC=180°y(/ABC+/ACB)=135°,

故答案為：135。；

②：在△NBC中，ZA=16°,

：.ZABC+ZACB=104°,

二由①知，ZBOC=180°|(ZABC+ZACB)=128°,

故答案為：128。

③理由如下：

ZS0C=180°y(N4BC+NACB)=180°|(180°//)=90°+'//.

14.如圖，在△48C中，/48C和/4C3的平分線相交于點尸.

(1)若//5C+N/C5=130。，求NBPC的度數(shù).

(2)當//為多少度時，/BPC=3/A?

【答案】（1）115°；（2）44=36°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，求得"BC,NPCB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得尸C；

（2）根據(jù)（1）的方法求得尸C,再結(jié)合條件/BPC=3/4解方程即可求得N4

【解析】（1）：尸3平分N/3C,尸C平分4C3,

NPBC=-NABC,NPCB^-ZACB,

22

ZABC+ZACB=l30°,

ZPBC+ZPCB=^（ZABC+ZACB）=63D,

ZBPC=180°-(ZPSC+NPCB)=180°-65°=115°,

(2)?:PB平分NABC,PC平分乙4CB,

NPBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

NPBC+ZPCB=；(ZABC+ZACB),

■：ZABC+N4CB=180°-

ZPBC+ZPCB=90°—ZA,

2

BBPC=180°-(DP5C+BPCB)

=180。-(90。-；/⑷

=90°+-ZA

2

■■■NBPC=3/A

3ZA=90°+-ZA,

2

N4=36°.

15.數(shù)學(xué)思想運用：

①②③

⑴如圖①所示，的外角平分線交于G,若/，=80。，貝！J/8GC=°,請你猜測N3GC和//的數(shù)

量關(guān)系：?

(2)如圖②所示，若△/2C的內(nèi)角平分線交于點/,若//=50。，則N2/C=。,請你猜測/2/C和//的

數(shù)量關(guān)系：.

(3)己知，如圖③，△/BC中，乙4CE的平分線與/HCE的平分線交于。點，請你猜測/。和NN的數(shù)量

關(guān)系：?

若Nx=-(r,求ND的度數(shù)(寫出求解過程).

【答案】⑴50ZBGC=90°-^ZA

(2)115ZBIC=90°+^ZA

(3)N￡>=；NNC￡,35°

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，可知乙48C+N/CB=180P-N/=100P,繼而求出

NCBE+ZBCF=260°由角平分線的定義得出N2==NCBE,N3=：NBCF，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解;

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，可得乙46C+4cB=180。-乙4=130。，根據(jù)角平分線的意義可得

N6=-4BC,N8=-4CB,再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)先由角平分線的定義可得/D8C=；//3C,/Z)CE=；4CE,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得

NACE=NABC+NA,NDCE=NDBC+ND,利用角的和差即可求解；將44=70°代入數(shù)量關(guān)系即可求解.

+ZABC

［解析］(］)+ZACB=180°,=80°

ZABC+//C8=180。一//=100°

ZABC+ZCBE=180°,NACB+NBCF=180°

ZCBE+ZBCF=180°+l80°-(180°-ZA)=180°+ZA=260°

???BG,CG分別平分NCBE,ZBCF

Z2=-ZCBE,Z3=-ZBCF

22

Z2+Z3=g(ZCBE+ZBCF)=1(180°+ZA)=130°

-/Z2+Z3+ZJBGC=180°

ZBGC=180°-(Z2+Z3)=180°-；(180°+N/)=90°-1z^=50°

故答案為：50,ZBGC=90°--ZA

2

⑵vZyi+ZABC+ZACB=\80°,=50°

ZABC+ZACB=180°-Z^=130c

QBI,CI分別平分

Z6=-ZABC,Z8=-ZACB

22

Z6+Z8=1(ZABC+N/C2)=g(180°-ZA)=90°-1N4

???N6+/8+/3/C=180。

ABIC=180°-（N6+N8）=180°-g（180°-//）=90°+；N/=115°

故答案為：115,ZBIC=90°+-ZA

2

（3）-.BD,CD分別平分N4BC,N/CE

ZDBC=-ZABC,ZDCE=-ZACE

22

???AACE=ZABC+N/,ZDCE=ZDBC+ZD

-ZACE=-ZABC+-ZA

222

:.ZD=-ZA

2

???N4=70°

ZD=35°

故答案為：=

16.A/3C中，ZA=50°.

（1）如圖①，若點P是N/BC與N/CB平分線的交點，求N尸的度數(shù)；

（2）如圖②，若點尸是/CAD與48CE平分線的交點，求/尸的度數(shù)；

（3）如圖③，若點P是NN8C與//CF平分線的交點，求/尸的度數(shù)；

（4）若4=尸.請直接寫出圖①，②，③中NP的度數(shù)，（用含尸的代數(shù)式表示）

【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①/尸=180°-；（180。-4）=90。+；/；②/尸=90°-〈夕；

222

③NP=”='

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出NPBC+NPCBq（ZABC+ZACB）=65°,根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理得出NP的度數(shù);

(2)由三角形內(nèi)角和定理和鄰補角關(guān)系得出NCBD+NBCE=360oi30o=230。，由角平分線得出

ZPBC+ZPCB=y(ZCBD+ZBCE)=115°,再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；

(3)由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出NP=g/A,即可得出結(jié)果；

(4)由(1)(2)(3),容易得出結(jié)果.

【解析［解：(1);乙4=50。，

ZABC+Zz4cB=180°-50°=130°,

???點尸是NABC與NACB平分線的交點，

ZPBC=-NABC,ZPCB=-ZACB,

22

NPBC+NPCB=|x(ZABC+N/C3)=；x130°=65°,

NP=180°-(ZPSC+ZPCB)=115°；

(2)vZ^5C+Z^C5=180°-50°=130°,

NCBD+NBCE=360°-130°=230°,

???點P是ZCBD與NBCE平分線的交點，

ZPBC+ZPCB=1(ZCBD+Z5C￡)=115°,

ZP=180°-115o=65°；

(3)???點尸是N/8C與44CF平分線的交點，

ZPBC=-4ABe,NPCF=-ZACF,

22

???NPCF=NP+ZPBC,AACF=AA+NABC,

2(ZP+ZPBC)=ZA+ZABC,

:.ZP=-ZA=25°；

2

(4)若4=，，在(1)中，/尸=180。-；(180。一月)=90。+；￡；

在(2)中，同理得：ZP=90°-1^；

在(3)中，同理得：==；夕.

17.【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明/A+/B=NC+/D；

【簡單應(yīng)用】

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD.ZBCD,若NABC=46。，ZADC=26°,求NP的度數(shù)；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若NABC=36。，ZADC=16°,

請猜想/P的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】

(4)①在圖4中，若設(shè)/C=a,ZB=p,ZCAP=|ZCAB,ZCDP=|zCDB,試問/P與NC、NB之間

的數(shù)量關(guān)系為：(用a、B表示/P)；

②在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP與/B、ND的關(guān)系，直接寫出結(jié)

論.

【答案】(1)見解析；(2)36°；(3)26°,理由見解析；(4)@ZP=^^?ZP=180°+^+Z￡>

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；

(2)直接利用(1)中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；

(3)由AP平分NBAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/BCE,推出N1=N2,Z3=Z4,推出

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=180°-Z3,由NP+(180°-Zl)=ZD+(180°-Z3),ZP+Z1=ZB+Z4,

推出2/P=NB+ND,即可解決問題.

(4)①同法利用(1)種的結(jié)論列出方程即可解決問題.

②同法利用(1)種的結(jié)論列出方程即可解決問題.

【解析】(1)在4AEB中，ZA+ZB+ZAEB=180°.

在4CED中，ZC+ZD+ZCED=180°.

VZAEB=ZCED,

???NA+NB=NC+ND；

(2)由(1)得：Z1+ZB=Z3+ZP,N4+ND=N2+NP,

AZ1+ZB+Z4+ZD=Z3+ZP+Z2+ZP.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

???2ZP=ZB+ZD=460+26°=72°,

???NP=36。.

(3)ZP=26°,理由是：如圖3：

VAP平分/BAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

???NPAD=180。-Z2,ZPCD=180°-Z3.

VZPAB=Z1,ZP+ZPAB=ZB+Z4,

AZP+Z1=ZB+Z4.

VZP+(180°-Z2)=ND+(180°-Z3),

A2ZP=ZB+ZD,

.,.ZP=y(ZB+ZD)=1x(36°+16°)=26°.

(4)①設(shè)NCAP=m,ZCDP=n,則NCAB=3m,,NCDB=3n,

???NPAB=2m,ZPDB=2n.

*/NC+NCAP=NP+NPDC,ZP+ZPAB=ZB+ZPDB,

VZC=a,ZB=p,

/.a+m=NP+n,NP+2m=0+2n,

.*.a-ZP=n—m,ZP-P=2n—2m=2(n—m),

A2a+P=3ZP

.??/p=w.

3

故答案為：/p==2.

②設(shè)NBAP=x,NPCE=y,則NPAO=x,ZPCB=y.

ZPAO+ZP=ZPCD+ZD,ZB+ZBAO=ZOCD+ZD,

.,.x+ZP=180°-y+ZD,ZB+2x=180°-2y+ZD,

,180°+ZS+ZD

ZP=---------------------.

2

山林占上，180°+Z8+ZD

故答案為：ZP=-------------------

2

18.如圖①，在AABC中，/ABC與/ACB的平分線相交于點P.

圖①圖②圖③

（1）如果NA=80。,求NBPC的度數(shù)；

（2）如圖②，作AABC外角/MBC、/NCB的平分線交于點Q,試探索/Q、NA之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E,ZvBQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出

ZA的度數(shù).

【答案】（1）130°；（2）/。=90°-；44；（3）60°或120?；?5°或135°

【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出/ABC+/ACB,進而求出/BPC即可

解決問題；

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出NMBC與NBCN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得NCBQ+NBCQ,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角