安徽省2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學預測卷（含答案解析）

安徽省2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學預測卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合"={-2,-1,0,1,2,3,4},/=卜|二20,工一1,8=卜|7^1<2},貝師(/口團=

()

A.{-2}B.{3,4}C.{-2,3,4}D.{-2,0,3,4}

2.在復平面內(nèi)，若復數(shù)z-2對應的點的坐標為(-1,-2),是虛數(shù)單位，則巧-」=()

1-1

5

A.—B.1C.J2D.2

2

3.已知sin[a+：]=tan]a-=7,則tan*^=()

11-

A.-B.-2C.——或2D.2

22

4.已知三棱錐P-48C的四個頂點均在球。上，/R4C=工,44。8=二,/。=百，尸8,平面

26

ABC.若tan/尸N8=26，則球。的體積為()

4兀「16兀C.西64K

A.——B.-----D.——

3333

5.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,若/(x-l)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且

g(x)=/(x-g),則()

A./(1)=1B./(x)=/(x+l)C./(x+g)為奇函數(shù)D.g(x+；)為奇函數(shù)

6.已知函數(shù)/3=儂]函-「|(0>0)在仁，兀]上無零點，則0的取值范圍為()

(「一「々一「一

A-ri2]1B-<ri5j1c24]5]D-|r\2d1uk45i

7.已知P(-2a,0),Q(6,a6)(a>0,6>0),動圓(x-a)?+(y-6)。=/(r>0)經(jīng)過原點，且圓心

在直線尤+2y=2上.當直線P。的斜率取最大值時，r=()

AV2口2行n273

3333

8.已知V4BC的外心為G,內(nèi)角4瓦C的對邊分別為。，>c,且。:6:c=5:5:8.若

CA-CB=-28,則函?&=()

試卷第1頁，共4頁

25

D.25收

A.TB.50C.25

二、多選題

9.移動互聯(lián)網(wǎng)時代，智能終端市場商機無限，全球商家強勢搶攻市場.通過同比數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),

中國智能手機市場呈現(xiàn)出積極的增長趨勢.據(jù)報載，2023年11月，中國市場智能手機新機

本期數(shù)據(jù)-去年同期數(shù)據(jù)

激活量為2871萬臺，同比增長12.9%(同比增長率=■X100%),具

去年同期數(shù)據(jù)

體分為7個品牌排名，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法正確的有()

排名品牌當月新機激活量/萬臺同比新機激活量/萬臺

No.l蘋果604.413.0

No.2小米524.3160.5

No.3榮耀403.145.0

No.4華為401.4172.9

No.5vivo383.3-47.5

No.6OPPO376.3-44.8

No.7其他178.228.0

A.該月7個品牌新機激活量同比數(shù)據(jù)的極差為125.4

B.該月7個品牌新機激活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)

C.該月“華為”品牌新機激活量同比增長率大于75%

D.去年同期中國市場智能手機新機激活量總量小于2600萬臺

10.在正方體-44G〃中，E,尸分別是棱圈的中點，則下列說法正確的有()

A.EF//BC,B.所//平面

C.EFLA.C,D.EF與平面4片所成角的正弦值為"

3

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x),當xe(-8,0)u(0,y)時，其圖像關于原點對稱，且

/(0)=-2,/(-2)=0,當x<0時，恒有〃x)>V'(x)成立.函數(shù)g(x+l)=-ln|x|,則()

A./(1)>0B.叭3)<3/(e)

試卷第2頁，共4頁

C.g(x)的圖象關于直線x=l對稱D.方程/(x)=xg(x)有且僅有2個實數(shù)根

三、填空題

12.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，設數(shù)集S={2,4},7={1,3,5},點集

Q={(a,b)|aeS,6eT},從。中任取相異兩點與點。組成三角形，在所有組成的三角形中，

任取一個三角形，則其面積恰為1的概率尸=.

13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸,43為。上的兩點.若直線E4的斜率為;，且

成.麗=0,延長/尸,3尸分別交C于尸,0兩點，則四邊形尸。的面積為.

14.在正項等比數(shù)列{%}中，ax=-,a2+a3,記6“=[log2"a”],其中國表示不超過尤的

2o

16

最大整數(shù)，則.

n=l

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面/BCD是梯形,

AD//BC,AD=AB=2,CD=%f3,ZBAD=^,側面尸為正三角形，且與底面NBC。垂直,

￡為48的中點，M在尸C上，滿足同7=4左(04441).

77

(2)當二面角M—。為二時，求4的值.

4

22

16.已知橢圓C:=+彳=l(“>6>0)的一條準線/的方程為x=4,點48分別為橢圓C的

左、右頂點，長軸長與焦距之差為2.

(1)求C的標準方程；

⑵過/上任一點作C的兩條切線，切點分別為。,五，當四邊形/。瓦?的面積最大時，求

/4QB的正切值.

試卷第3頁，共4頁

17.已知函數(shù)/(》)=也亨士巴(aeR).

⑴若對Vxe(O,+⑹J(x)〈尤e，恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵證明：對任意正整數(shù)"，不等式[eef斤>3〃；7"恒成立.

18.“友誼杯”圍棋擂臺賽采取淘汰制，現(xiàn)有2"名選手報名參加比賽(含甲、乙兩名選手)，

規(guī)則如下：第一輪將所有報名選手任意兩兩配對對弈，輸者淘汰出局，然后將剩下的2片名

勝者再任意兩兩配對對弈，同樣輸者淘汰出局……如此下去，直至第〃輪比賽決出一名冠

軍.假定每名選手在各輪比賽中獲勝的概率均為0.5.

⑴當〃=2時，求甲、乙兩人相遇對弈的概率必；

(2)當〃=4i21)時，求甲、乙兩人相遇對弈的概率R；

(3)已知當擂臺賽報名選手人數(shù)分別為2,22,23,…,2"時，甲、乙兩人相遇對弈的次數(shù)依次是

…,X",記X=》X,,若隨機變量X,服從兩點分布，且尸(X,=1)=1-尸(％=0)=口，

，=1

i=l,2,，求￡(X).

19.對于數(shù)列｛0“｝,定義ReN"),滿足%=出=1,△(△2,)=/(俏eR),記

2n

axm+a2m+■??+anm,稱f[m,")為由數(shù)列｛4｝生成的“加-函數(shù)”.

⑴試寫出“2-函數(shù)””2,〃)，并求“2,3)的值;

(2)若“1-函數(shù)”〃1川415,求〃的最大值；

⑶記函數(shù)S(x)=x+2/+…+〃x",其導函數(shù)為S'(x),證明：“加-函

數(shù)"fS'(m)-S(m)+(〃?+1)>”

22z=i

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CADCCDBBBCDBC

題號11

答案CD

1.C

【分析】解分式不等式得集合4解根式不等式得集合8,由集合交集及補集運算可得結果.

【詳解】由題意知/={尤|(3-x)(尤+2)20,x+2w0,xeZ}={-l,0,l,2,3},5={x|-l<x<3),

則ZcB={T0,l,2},所以電(/門2)={-2,3,4}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)題，得到z-券=-1-2i,結合復數(shù)的運算法則，求得z=再由復

1-122

數(shù)模的運算法則，即可求解.

【詳解】由題意，可得Z-"=-l-2i,貝|2=空一1一方=一工一11,

1-11-122

故選：A.

3.D

【分析】由兩角和的正弦和兩角差的正切展開式化簡已知等式，再結合同角的三角函數(shù)關系

計算即可.

【詳解】由sin(a+工］=變

得sina+cosa=一①.

I4J10

由tan(a-2]=7,得tan[a—Z]=7,即3n0--=7,解得tana=—3,

II1+tancr3

所以sina+4cosa=0②.

43

由①②，得sina=—,cosdf——.

.a小.2a

sin—2sin—

1-C0S6Z.

所以tan￡=2_2------------=2.

a仁.aasina

cos——2sin一cos一

222

故選：D.

答案第1頁，共19頁

4.C

【分析】由條件，解三角形可求/8,8C,PB,將三棱錐尸-/3C補形為長方體，根據(jù)長方體

及其外接球的關系可求得三棱錐尸-N8C的外接球半徑，結合球的體積公式求結論.

【詳解】在V4BC中，NBAC=三,ZACB=三,AC=C,

26

JT

所以/3=/Ctan'=l,所以8c=2.

6

因為25_L平面ABC,AB,3。u平面ABC,

所以尸昆尸5_L5C.

又tanZPAB=273，所以尸8=ABtanZPAB=.

如圖將三棱錐尸-/BC,補形為長方體，

則三棱錐尸-/8C的外接球就是長方體的外接球，

長方體的體對角線尸C是長方體的外接球的直徑，球心為PC的中點.

又PC?=PB?+BC?=16，即尸c=4,

所以球。的半徑為2,

故球O的體積廠=|■兀、2=等.

故選：C.

5.C

【分析】方法一，利用抽象函數(shù)的奇偶性和相關條件推導出函數(shù)的周期性、對稱性等基本性

質(zhì)，逐一對選項進行分析判斷；方法二：依題意構造函數(shù)法.依題意，可設“x)=C0S7lX,則

g(x)=sinju,一一對選項進行計算、驗證即得.

【詳解】方法一：(函數(shù)性質(zhì)判斷法)由,0—1)為偶函數(shù)，得了(尤-1)=「(-X-1)①.

由g(x)為奇函數(shù)，得g(x)=-g(-x).

Xg(A：)=/(JC-1),貝l|/(X-；)=g(X)=-g(-X)=-/(-X-3(2).

答案第2頁，共19頁

則由①，/(x-2)=/(x-l-l)=/[-(x-l)-l]=/(-x)(*),

由②，/(x-l)=/(x-；-；)=-/[-(X_；)-g]=-/(-x),

故得把X取成x+1,得=③，

于是，/(x-2)=-/(x-l)=/(%),即函數(shù)/(無)的周期為2,故B錯誤;

又因g(x)為R上的奇函數(shù)，貝Ug(O)=O,/(x)的周期為2,貝=/(-￡|=g(O)=O,

故A錯誤；

由③得，/(x+1l)=-/(x+J,BP/(x-1)=-/(^+1)-

故〃x+，=-/(x-；)=-g(x).因g(x)為奇函數(shù)，故/(x+；)為奇函數(shù)，故C正確；

由(*),/(x-2)=/(-x),/(x-2)=/(x),得/(力=/(-尤),即/(x)為偶函數(shù)，

又g(x+gj=/(x)，所以g[x+￡|為偶函數(shù)，故D錯誤.

方法二：(構造函數(shù)法)依題意，可設/(X)=COS7UC,貝1]〃彳-1)=(：05兀(》-1)=-(：05口為偶

函數(shù)，

由g(x)=f(x-；)=cos7T(x-；)=sinm為奇函數(shù)，且函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,

對于A,/(m)=cos]=0wl,排除A；

對于B,顯然/(x)=cosm的最小正周期是2,排除B；

對于C,/(尤+g)=cos7i(x+；)=-sinjtx是奇函數(shù)，故C正確；

對于D,g(x+；)=sin7i(x+g)=cos7tr,顯然是偶函數(shù)，排除D.

故選：C.

6.D

【分析】先求出?+￡<0X+f<07l+f,結合正弦函數(shù)的零點可得存在整數(shù)左，使得

2333

COTI兀，

——+—>H

73

，左￡Z成立，故可求。的取值范圍.

717

CDTI+—<71+AT7T

I3

【詳解】函數(shù)/(〉=<：0$"-己)=$也"+々)在惇乃)上無零點,

答案第3頁，共19頁

加時,CfJTl兀兀兀

當xw-----F—<COX-\——<COTl-\——,

2--333

CDTI兀、7

——+—>

23

由題設可得存在整數(shù)左，使得3kEZ成立,

71,,

。兀+—?兀+K71,

3

22

解得——+2k<o)<—+k,k^7u,

33

4

而〃>〉0,故左20且左V—,故左=0,1.

3

2245

當左=0時，——<a)<—；當左=1時，一(?！匆?

3333

(21「45~

結合&〉0可得。的取值范圍為u-,j.

故選：D.

7.B

【分析】運用兩點間斜率公式，結合基本不等式可解.

【詳解】由題意可得，ai2,直線尸。的斜率為峪=R

2a+b12(。+2勾=生2b2ay

因為—+—+——+——

ababab)

當且僅當子=年'即"61時'等號成立，所以.J,

即當直線尸。的斜率取最大值時，a=b=g所以/=/+/=|,故—亨.

故選：B.

8.B

【分析】由題意設。=5刈,6=5刃,。=8"7(〃2>0),由余弦定理結合池.而=一28可求出機，

從而可求出。力,c的值，求得VN8C外接圓半徑尺，由向量的線性運算、數(shù)量積運算化簡求

解即可.

【詳解】由己知，^a=5m,b=5m,c=8m(m>0),所以V/8C是等腰三角形.

答案第4頁，共19頁

由余弦定理，得cosZACB=（5機）一+（5⑼一一⑹"了=_7_.

2x5mx5m25

因為昂.麗=-28，所以5小X57〃XCOSN/CS=-28,解得m=2（負值已舍去）,

所以a=10,b=10,c=16.

設V/3C的外接圓半徑為R,

因為sinZACB=Jl-cos?乙4cB=.1-(--)2=—,

V2525

所以2R=.二會=所以R=CG=M.

sm/ACB33

由V/3C為等腰三角形知NGC8=LN/C5,

2

所以cos?/GCB=cos2(|ZACB)="。。丁成=★，即cosZGC5=|.

所以CG-C8=|CG||Cfi|cosZGCS=yxl0x-=50.

故選：B.

9.BCD

【分析】根據(jù)題中所提供的數(shù)據(jù)結合極差定義求該月7個品牌新機激活量同比數(shù)據(jù)的極差判

斷A,求該月7個品牌新機激活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)判斷B,根據(jù)公式求該月“華為”品

牌新機激活量同比增長率判斷C,根據(jù)公式求去年同期中國市場智能手機新機激活量總量判

斷D.

【詳解】對于A,同比新機激活量數(shù)據(jù)的極差為172.9-（-47.5）=220.4,故A錯誤；

對于B,該月新機激活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為可合410.14,

該月7個品牌新機激活量數(shù)據(jù)中位數(shù)為401.4,故B正確；

對于C,去年同期“華為”品牌新機激活量為401.4-172.9=228.5,

所以同比增長率為4172r9x100%a75.67%>75%,故C正確；

228.5

對于D,設去年同期中國市場智能手機新機激活量為無，由題意可得也二x100%=12.9%,

解得X。2543<2600,故D正確.

故選：BCD.

答案第5頁，共19頁

10.BC

【分析】由8c1〃￡G可知5C1//平面所G,而所nEG=E,故斯與3G不平行，即可

判斷A；由線面平行的判定定理證明即可判斷B；設正方體的棱長為。，然后由勾股定理證

明跖，4G即可判斷C；找到直線跖與平西4巴￡9所成的角為N麼歸，然后計算正弦

值即可判斷D.

【詳解】

對于A,如圖，連接幺2,取。。的中點G,連接EG,則EG〃/R.

由正方體的性質(zhì)可知〃血人所以BCJ/EG.因為即CEG=E,

所以此與8G不平行，故A錯誤.

對于B,如圖，設4G與44交于。點，連接尸.

易知。為BQ的中點，所以OF〃g,OF=^AXDX.

因為。=；/￡）=,所以OF//DE,OF=DE,

所以四邊形EFOD為平行四邊形，所以EF〃OD.

因為ODu平面，跖（Z平面班RD,所以EF〃平面3BQQ,故B正確.

對于C,設正方體的棱長為。，由斯〃OD,

可知跖與4G所成的角即為。。與4G所成的角.

如圖，連接40.在△?！?gt;4中，

04=OD1=*a,AQ=y/2a,OD=《DD；+OD；='a,

所以。4：+。。2=4。2,所以△O￡>4為直角三角形，且NZ）O4=90。，

即OD，4G，所以E尸，4G，故c正確.

答案第6頁，共19頁

對于D,如圖，取4A的中點“，連接EH,FH,易知W_L平面48。］。］.

因為切u平面44G2，所以EHLFH,

所以此與平面48?。1所成的角為.

設正方體的棱長為。，^EH=a,EF=OD=?a,

.EH_a_y［6

所以smZEFH-亙-而［,故D錯誤.

—a

2

故選:BC.

11.CD

【分析】根據(jù)題意，構造函數(shù)〃(x)=/@,即可得到〃(尤)是偶函數(shù)且在(O,W)上單調(diào)遞增,

X

結合函數(shù)單調(diào)性以及對稱性即可判斷ABC,將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點即可判斷D

當x<0時，/(x)>xf(x),即<0.令人(%)='0),

則h，(x)="丁X)<o,所以林X)在(-*0)上單調(diào)遞減.

X

因為當xe(Y),0)1(0,內(nèi))時，〃x)的圖像關于原點對稱，所以〃-x)=-〃x).

所以//(-戈)=&2-*由=/幻，所以〃(x)是偶函數(shù)，

-XX

故〃(X)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

對于A,由/(-2)=0,可知/(2)=-/(-2)=0,由以上分析可知7/(1)</2)，即半〈與=。,

所以/⑴<0,故A錯誤.

對于B,由以上分析可知⑶>〃(e),即要>/包,所以^⑶>3/(e),故B錯誤.

3e

對于C,令x+l=/,則所以=,即g(x)=-ln|x-l|,

因為g(2-x)=-In|2-x-11=-In11-x|=-In|x-11=g(x),

所以g(x)的圖像關于直線x=l對稱，故C正確.

答案第7頁，共19頁

對于D,當x=0時，/(O)=-2,而xg(x)=O,故/(尤)hxg(x).

當x*O時，方程/(x)=xg(x)可化為

X

由/(2)=/(-2)=0,可得h(2)=h(-2)=0,

畫出函數(shù)〃(x)=△2與g(x)=-ln|x-l|的大致圖像，如圖所示.

X

由圖像知，方程△工=g(x),即〃x)=xg(x)有且僅有2個實數(shù)根，故D正確.

X

故選：CD.

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性

以及對稱性，難度較大，解答本題的關鍵在于構造函數(shù)〃&)=幺2，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，

X

逐一判斷.

12.1/0.2

【分析】在坐標平面中畫出。中的點，結合點的位置可判斷面積為1的點對的個數(shù)，再結合

古典概型的計算公式可求P.

【詳解】由題意知點集。={(。,則。€邑6"}中共有6個點，

分別記為/(2,1),3(2,3),C(2,5),0(4,1),￡(4,3),尸(4,5).

從。中任取相異兩點，它們均可與點。組成三角形，故共有C；=15(種)取法，

在這些三角形中，若面積為1,則所取兩點不能均來自4民C,或均來自QE,廠,

若選A,則S*OAD=1,OAE二ODE_隊ADEODA-2-1=1，

/XOAF/XODFN^DF~^ODA-8―4—1=3,

若選5,貝！J%。如>1,^AOBE=^-X2X3=3>1,

S叢OBF=$AOCF-SM)BC~^CBF~2—2=1,

答案第8頁，共19頁

若選C,則打OCD>1，5M叱>3CF>1,

故面積為1的三角形共有3個，即△。/。，△。/△△。^尸，故所求概率P=1.

故答案為：y.

【點睛】思路點睛：利用古典概型的概率公式計算概率時，應該用列舉法求出基本事件的總

數(shù)和隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)，必要時需結合畫圖或列表等.

13.50

【分析】通過拋物線的焦點坐標，直線用的斜率和直線",/咽的垂直關系，求出對角線

|「/|,|。同；再利用兩對角線垂直的四邊形面積公式，即可求得.

【詳解】由題可知，拋物線的焦點坐標為尸(1,0).

因為直線FA的斜率為1,所以直線AP的方程為y=^x-l),

與拋物線C的方程聯(lián)立，得/_18》+1=0,所以A=(-18)2-4>0.

設4(匕,必)尸仁,%),則占+.=18,不迎=1,

故|/刊=J1+出-J(X]+X2)2-4X]X2=9X8石=20.

因為成?麗=0，所以冗4_1_五3,

所以直線總的斜率為-2,直線BQ的方程為y=-2(x-1),

與拋物線C的方程聯(lián)立，得Y-3x+l=0.所以A=(-3)2-4>0.

設8(%,%),0(匕,”)，貝!]%+匕=3,玉面=1,

故忸。|=Jl+(-2)2.J(x3+xj-4x3尤4=V5xV5=5.

所以四邊形/的。的面積為斗忸0|=50.

故答案為：50.

14.-98

13

【分析】設等比數(shù)列｛冊｝的公比為4(4>0)，由/=；,出+。3=?計算出。“，然后根據(jù)

ba=[log2/za?]=[log2?-n]=-n+[log2n],計算如…也即可.

【詳解】設等比數(shù)列｛aj的公比為4(4>°)?

答案第9頁，共19頁

由題意知，=一,。闖+Q闖2=—,

28

13

整理得W2+W—3=0,解得q=5或夕=—；(負值舍去),

所以“二[10g2wtzn]=[log2w-w]=-w+[log2w].

當”=1時，[Iog2〃]=0；

當2。<4時，[log2?]=1；

當4W<8時，[log2?]=2；

當8?〃<16時，[log2w]=3；

當〃=16時，[log2”]=4.

16

故WX=-(1+2+3+…+16)+1x0+2x1+4x2+8義3+lx4=-98.

?=i

故答案為：-98.

15.(1)證明見解析

(2)^1

2

【分析】(1)取網(wǎng)的中點尸，連接核，AF,證明四邊形/DWF是平行四邊形，即可求證;

(2)建立空間直角坐標系，用含彳的式子表示M點的坐標，然后求出平面的一個法

向量用含的式子表示，再利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】(1)證明：當2時，M為PC的中點.

2

如圖，連接AD,取P8的中點凡連接

7T

在中，AD=AB=2,NBAD=飛,

TT

所以為等邊三角形，所以=

JT

又AD"BC,所以/。5。二一?

3

CDBD

在中，由正弦定理，得

sinZDBCsinZBCD

答案第10頁，共19頁

V3

所以sm/BCD=BD"BC=工?廠

CD2G2

因為CD=25BD=2.所以/8CD</D8C=g.所以

36

所以/&DC=],所以BC=dBD2+CD2=《22+（2廚=4.

因為M,尸分別為尸C,P8的中點，所以尸N|4BC||/。且尸N=g8C=4）,所以四邊形

RWZM為平行四邊形，所以〃/尸.

又/尸u平面尸/民〃。仁平面尸48,所以M。//平面P/8.

(2)在V/OE中，ED-=EA2+AD2-2EA.ADcosABAD=3,

所以ET+EZ)2=即胡_L￡D.

因為AP/8為正三角形，￡為48的中點，所以PEL4B,

又平面尸N8_L平面48cD,平面尸48c平面/2CD=/8,所以尸￡_L平面/BCD,所以

PELED,

故以E點為坐標原點，￡4E2石尸所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系，如圖2,

則E[0,0,0),P(0,0,e),D(0,瓜0),5(-1,0,0),C(-3,2百,0),所以歷=(0,百,0).

設點、（"o，z。）,由兩='的04XV1）.得卜O，%,ZO-6）=〃-3,2!-后，

M(-32,2732,73(1-^)),

所以前=(-32,2顯,73(1-2)).

設平面的法向量為*=(x),z),則

〃].EM=-3Ax+2,yl~3A,y(1-彳)z—0

<

n2-ED=y[3y=0

令z=?九,則x=]_4y=o,得/=(1_%,o,,

易知平面EDC的一個法向量為0=(0,0,1),

答案第11頁，共19頁

解得八三（舍去）或"空.

22

16.(葉+卜

(2)-8

【分析】（1）構造關于。，瓦c的方程組，解出即可；

（2）畫出草圖，分類討論，當0位于點48處時，切線與無軸垂直，不合題意，設切線M0

的方程為了-必=左（》-玉），與橢圓聯(lián)立，由A=0得（X；-4）左一-2%%左+＞；-3=0,。（無］,必）

在C上，知道3x；+4y；=12,得至］」手+節(jié)=1,同理得切線處的方程為子+券=1,

進而得到直線0R的方程為x+gy=l,再與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理，后將四邊形面積表示

36/jog576(?+9)576

即力=42+

出來S四邊形=2卜］-y2)A一,借

(^+12^271~~Tv~29

(廠+9+3)t+g+——+6

''t2+9

助對勾函數(shù)單調(diào)性求最值，再借助和角正切公式計算即可.

.2

=4,［〃=2,1—

【詳解】（1）由題意得，C'解得「所以6=百，

cc010=1，

2a-2c=2,i

22

所以C的標準方程為土+匕=1.

43

（2）如圖,取/上任意一點M（4,t）,設。（西,耳）,火H，力）,

當0位于點42處時，切線與無軸垂直，不合題意，故x戶±2.

設切線MQ的方程為了-乂=左（尤-不）①，

答案第12頁，共19頁

江+匕1

聯(lián)立《43,

y-yx^k（x-x^,

整理得（3+4k~j%-+8左（％—Ax】）x+4（乂—Axj）—12=0,

由A=0,得（X：—4）〃一2xlyik+—3=0.

因為。(占,必)在C上，所以3x；+4y；=12,

_2xi^123XI2+4^2-12_匹弘_3再

故+/rt—靖7刁一FF

代入①式，整理得手+￥=i,同理得切線助?的方程為早+9=1.

4343

因為兩條切線都經(jīng)過M(4,t),所以空+g=l,守+￡=1,

所以直線0?的方程為x+(y=l.

聯(lián)立43整理得J+4卜一24-9=0,

t13J

x+-y=l,、7

I3’

所以弘+為=U^，乂%=-呂7②?顯然功與％異號?

，IL乙VIL乙

由題意知/（-2,0）,8（2,0）,所以S四邊“LS"+S?=；x4（|R+|M=2Nf|.

設S=2|M-%|,則$2=4|弘-為「=4卜；+貨-2乂%）=4［（乂+%）2一4"％］，

36。108576（/+9）_576

將②式代入并整理得S-

戶］（/2+9+3）2?2+9+?79+6

9

因為「20,所以易知了=/+9+”己在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以當f=o時，y有最小值,

即S2有最大值，為36.所以當"0時，四邊形/紗尺的面積最大，最大面積為6.

此時直線。尺的方程為x=l,故直線力與x軸垂直.

設與0五的交點為尸，顯然尸是橢圓的右焦點，

答案第13頁，共19頁

3

所以|。尸|=忸司=1,|0尸|=5，以司=3,

\AFBF_2

所以tan/4Q/=*^=2,tanZBQF=—

\QFQF3

2+2

tanAAQF+tan/BQF

所以tanZAQB=tan(ZAQF+ABQF)3

1-tanZAQF?tanZBQF1一2x|

17.(1)(-^1]

(2)證明見解析

【分析】（1）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為04/二一21nx-x恒成立，再結合函數(shù)的最小值，即可

求出參數(shù)范圍；

（2）先證明不等式x?l+liu,再取x=d得出eefk>3人+2,最后求和即可證明不等式.

【詳解】(1)若對\/尤40,+8),/(無)4疣,恒成立，則型±￡±￡vxe-'恒成立，

X

即〃Wx2ex-21nx-x恒成立.

記g(%)=x2ex-21nx-x,xG,

貝I」gz(x)=2xex+x2ex---1=x(x+2)^ex-.

i?

記〃(x)=ex——2^XE(O1+e)，則"(x)=ex+—>0,

故小(x)在(O,+e)上單調(diào)遞增.

X/zQ^=e2-4(0,A(l)=e-l)0,

所以現(xiàn)使得〃(%)=產(chǎn)-1=0,

工1,

即e%==,即x；e'"=l.

x0“

故當xe(O,x0)時,/?(%)<0,即g[x)<0；當xe(x(),+8)時,A(x)>0,即g[x)>0.

所以g@）在（0廣。）上單調(diào)遞減，在優(yōu),+S）上單調(diào)遞增,

所以gCOmin=g(x())=x：e*。-21iUo-Xo=1-lnx：e*。=1,所以。VI.

所以實數(shù)。的取值范圍是（一吟1].

答案第14頁，共19頁

（2）由（1）知，當。=1時，xeJ>21nx+x+1（x>0）,BPxV>21nx+x+l,

X

當且僅當X=X。時，等號成立，

而“°&U，所以當x21時，x2ex>21nx+x+1恒成立.

下面證明當％時，x>1+lux.

記加（x）=x—l—lnx,x￡[l,+e）,貝！=1_，20,

故加（x）在[1,+8）上單調(diào)遞增，則m（x）>m（l）=0,

所以當XE[L+。）時，x>1+lux.

2x

故當XE[1,+8）時，Xe>2\wc+x+1>31nx+2.

2k+2k

令x=d,￡N*）,貝Ue-.e^=e>3k+2，

所以￡e4^〉￡（3左+2）-（5+3〃+2）=即衛(wèi),

k=\k=\22

所以對任意正整數(shù)"，不等式1>八2?>無口恒成立.

k=l2

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點先證明xNl+lnx,再取x=d得出>3左+2，累加

求和即可證明不等式.

1

18-⑴5

⑵2=/

（3）2-3

【分析】（1）記甲、乙兩人在第一輪和第二輪中相遇對弈的事件分別為A和3,則

p2=P（A）+P（AB）=P（A）+P（A）P（B|A）,分別求尸（⑷和尸網(wǎng)7）,代入即得;

（2）設報名選手人數(shù)為2"時，甲、乙兩人相遇對弈的概率為巳，當"="1時，

pM=P（A）+P（AB）=P（A）+P（A）P（B|A）,分別求尸（⑷和尸（314，代入即得Pm；可得

1

口=”

（3）先求磯無），再由公式E（X）=E[￡X],利用等比數(shù)列的前〃項和公式計算即得.

答案第15頁，共19頁

【詳解】（1）當〃=2時，報名選手只有4人，其中包含甲、乙.記甲、乙兩人在第一輪和

第二輪中相遇對弈的事件分別為A和8,

則p2=P（A）+P（AB）=P{A）+P（A）P（B|A）.

甲、乙兩人相遇對弈的情況分為兩種：

①甲、乙兩人在第「輪中配對，由于4人兩兩配對的方式共有晨=3（種），故尸（N）=；；

23

②甲、乙兩人在第一輪中沒有配對，那么他們只有在第一輪中都勝出進入第二輪才有可能配

對，

-111

而第二輪只有兩人比賽，所以他們必相遇對弈，此時尸（切/）=5*5=^.

所以

（2）設報名選手人數(shù)為2"時，甲、乙兩人相遇對弈的概率為。

考慮”=i+l的情況，仍用A和8分別表示甲、乙兩人在第一輪比賽和后續(xù)比賽中相遇對弈

的事件，

則甲、乙兩人相遇對弈的概率Ry尸⑷+?（辦）=尸⑷+P（才）P（B|N）.

同樣甲、乙兩人相遇對弈的情況分為兩種：

①甲、乙兩人在第二輪中配對，因為2.個人兩兩配對的方式共有

⑵+))!⑵M-2)!(2__今！2!

40".,…仁=2(2m-2)!丞2用-4)!，2(2訊-§!…“2>0!=(2")!種,

(2,')!-6)-22"(2;)!

1

其中甲、乙兩人配對的方式有種，所以尸（/）=

221-1(2!-1)!2,+1-1

②甲、乙兩人在第一輪中沒有配對，那么他們要想在后續(xù)的比賽中相遇對弈，只有