人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊教學(xué)設(shè)計1：2 5 2 圓與圓的位置關(guān)系 教學(xué)設(shè)計教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE12.5.2圓與圓的位置關(guān)系（教學(xué)設(shè)計）教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系.學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過圓與圓的位置關(guān)系，上節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，因此本節(jié)課是對已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位.坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法.通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法.B.能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.C.能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題.1.數(shù)學(xué)抽象：圓與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：判斷圓與圓的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷圓與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學(xué)建模：圓和圓的方程解決實際問題教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及判定方法難點(diǎn)：綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)情境導(dǎo)學(xué)日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日.日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時發(fā)生.日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食.我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的?前面我們運(yùn)用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關(guān)系.二、探究新知圓與圓的位置關(guān)系的判定方法1.幾何法:圓O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r1>0),圓O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(兩圓的圓心距d=|O1O2|=(x1位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|2.代數(shù)法:圓O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),圓O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+方程組解的情況2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含1.判斷下列兩圓的位置關(guān)系:①(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16.②x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.解:①根據(jù)題意得,兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d=〖2-(-2因為d=r1+r2,所以兩圓外切.②將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6.兩圓的圓心距d=〖0-(-3)〗2+(-3-0)2=32,因為|r1-三、典例〖解析〗例1已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).試求a為何值時,兩圓C1,C2的位置關(guān)系為:(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含?思路分析:求出圓心距,與兩半徑的和或差比較求出a的值.解:圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.∴|C1C2|=(a(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時,兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)3<|C1C2|<5,即3<a<5時,兩圓相交.(3)當(dāng)|C1C2|>5,即a>5時,兩圓外離.(4)當(dāng)|C1C2|<3,即0<a<3時,兩圓內(nèi)含.判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;(2)代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問題.跟蹤訓(xùn)練1若兩圓x2+y2=a與x2+y2+6x-8y-11=0內(nèi)切,則a的值為.

〖解析〗:∵x2+y2=a表示一個圓,∴a>0.兩圓的圓心、半徑長分別為(0,0),a與(-3,4),6.由于兩圓內(nèi)切,則(0+3)2+(0解得a=121或a=1.〖答案〗:121或1例2已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.思路分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據(jù)半徑、弦心距、弦長的關(guān)系求出弦長.(2)可求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心坐標(biāo)與半徑,也可利用圓系方程求解.解:(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組x2+①-②,得x-y+4=0.∵A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.又圓C1的圓心(-3,0),r=13,C1到直線AB的距離為d=|-3+4∴|AB|=2r2-d2=213即兩圓的公共弦長為52.(2)(方法1)解方程組x得兩圓的交點(diǎn)A(-1,3),B(-6,-2).設(shè)所求圓的圓心為(a,b),因圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.則(a解得a=12,故圓心為12,-72,半徑為89故圓的方程為(x-12)2+(y+72)2=即x2+y2-x+7y-32=0.(方法2)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),其圓心為(-31+λ,-3λ1+λ),代入x-y-4=故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.相交弦及圓系方程問題的解決1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項系數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解.3.已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).跟蹤訓(xùn)練1兩圓相交于兩點(diǎn)A(1,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的值為.

〖解析〗:由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直,∴kAB×1=-1.即3-(-1)1-m=-1,得m=AB的中點(diǎn)在直線x-y+c=0上,∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.〖答案〗:3例3求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+3y=0相切于點(diǎn)M(3,-3)的圓的方程.思路分析:設(shè)圓的方程,利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切,則(a-1)2+又所求圓過點(diǎn)M的切線為直線x+3y=0,故b+3a-3=3.解由①②③組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.變式探究1將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過點(diǎn)(3,-3)的圓的方程”,如何求?解:因為圓心在x軸上,所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),設(shè)半徑為r,則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(diǎn)(3,-3),所以(a-1所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(diǎn)(3,-3),所以(a-1所以圓的方程為(x-4)2+y2=4.變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,試求實數(shù)m的值.解:圓x2+y2-2x=0的圓心為A(1,0),半徑為r1=1,圓x2+y2-8x-8y+m=0的圓心為B(4,4),半徑為r2=32-m.所以(4-1)2+(4-通過具體的情景，幫助學(xué)生回顧初中幾何中已學(xué)的圓與圓的位置關(guān)系，同時類比直線與圓的位置關(guān)系的研究方法.通過典例〖解析〗，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉兩種基本方法，判斷圓與圓的位置關(guān)系.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).在典例分析和練習(xí)中掌握判斷圓與圓位置關(guān)系的方法，即：代數(shù)法與幾何法.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過圓與圓位置關(guān)系的綜合問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、達(dá)標(biāo)檢測1.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離〖解析〗:圓x2+y2-1=0表示以O(shè)1(0,0)點(diǎn)為圓心,以R1=1為半徑的圓.圓x2+y2-4x+2y-4=0表示以O(shè)2(2,-1)點(diǎn)為圓心,以R2=3為半徑的圓.∵|O1O2|=5,∴R2-R1<|O1O2|<R2+R1,∴圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0相交.〖答案〗:B2.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直線方程是.

〖解析〗:兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3y-2=0.〖答案〗:4x+3y-2=03.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程為()A.(x-4)2+(y-6)2=16B.(x±4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x±4)2+(y-6)2=36〖解析〗:設(shè)所求圓心坐標(biāo)為(a,b),則|b|=6.由題意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.若b=6,則a=±4;若b=-6,則a無解.故所求圓方程為(x±4)2+(y-6)2=36.〖答案〗:D4.若圓C1:x2+y2=4與圓C2:x2+y2-2ax+a2-1=0內(nèi)切,則a等于.

〖解析〗:圓C1的圓心C1(0,0),半徑r1=2.圓C2可化為(x-a)2+y2=1,即圓心C2(a,0),半徑r2=1,若兩圓內(nèi)切,需|C1C2|=a2+02=2-1=1.解得a=±1.〖答5.已知兩個圓C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直線l:x+2y=0,求經(jīng)過C1和C2的交點(diǎn)且和l相切的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+4-2x-4y+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0.所以圓心為11+λ,半徑為12即11+解得λ=±1,舍去λ=-1,圓x2+y2=4顯然不符合題意,故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓