人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：8 1 1　變量的相關(guān)關(guān)系

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系，會(huì)畫散點(diǎn)圖.2.會(huì)用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．導(dǎo)語“瑞雪兆豐年”是一句流傳比較廣的農(nóng)諺，它的意思是適時(shí)的冬雪預(yù)示著來年是豐收之年，是來年莊稼獲得豐收的預(yù)兆．但是冬天下幾場(chǎng)大雪，來年一定會(huì)獲得豐收嗎？一、相關(guān)關(guān)系問題1下列兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系？(1)球的面積與半徑的關(guān)系；(2)人的身高和體重；(3)角度和它的余弦值；(4)父母的身高和子女的身高．〖提示〗(1)(3)是函數(shù)關(guān)系；(2)(4)不是函數(shù)關(guān)系．知識(shí)梳理兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．注意點(diǎn)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)(1)相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系．②相關(guān)關(guān)系中兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機(jī)因素的影響．例1判斷以下兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？(1)正方形的面積與其周長(zhǎng)之間的關(guān)系；(2)父母的身高與子女的身高之間的關(guān)系；(3)學(xué)生的學(xué)號(hào)與身高；(4)汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間的關(guān)系．解(1)設(shè)正方形的面積為S，周長(zhǎng)為C，則S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，即正方形的面積由其周長(zhǎng)唯一確定，因此二者是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系．(2)子女身高除了與父母的身高有一定關(guān)系外，還與其他因素有關(guān)，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一確定的，因此二者之間具有相關(guān)關(guān)系．(3)學(xué)生的學(xué)號(hào)與身高之間沒有任何關(guān)系，不具有相關(guān)關(guān)系．(4)若汽車勻速行駛時(shí)的速度為v，行駛的路程為s，時(shí)間為t，則s＝vt，因此當(dāng)速度一定時(shí)，路程由時(shí)間唯一確定，二者之間具有函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系．反思感悟函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()A．角度和它的正弦值B．某商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)與銷售量之間的關(guān)系C．作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系D．底面積一定的三棱錐的體積與高之間的關(guān)系〖答案〗BC〖解析〗A，D中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而B，C中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．(2)(多選)下列說法正確的是()A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系B．同一物體的加速度與作用力是函數(shù)關(guān)系C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系D．廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系〖答案〗ABD〖解析〗闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，所以B正確；產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，所以C錯(cuò)誤；廣告費(fèi)用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，所以D正確．二、散點(diǎn)圖問題2在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，研究人員獲得了成對(duì)樣本數(shù)據(jù)如下表．年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你能推斷出人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？〖提示〗畫出散點(diǎn)圖，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，大致在一條直線附近，推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系．知識(shí)梳理1．如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．2．一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．3．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．例2某種木材體積與樹木的樹齡之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：樹齡2345678體積30344060556270(1)請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)你能由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)木材體積與樹木的樹齡近似呈什么關(guān)系嗎？解(1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)木材體積隨著樹齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，且散點(diǎn)大致落在一條直線附近，所以木材的體積與樹齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．延伸探究1．若近似呈線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系．解近似擬合直線如圖所示．2．若該種木材每單位體積的價(jià)值是80元，作出木材的價(jià)值與樹齡之間關(guān)系的散點(diǎn)圖．解木材的價(jià)值與樹齡之間的關(guān)系如表所示：樹齡2345678體積30344060556270價(jià)值2400272032004800440049605600以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的價(jià)值，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．反思感悟判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()〖答案〗BC〖解析〗圖A的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；圖B，C的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；圖D的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系．(2)觀察下列散點(diǎn)圖，①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，與下列圖形相對(duì)應(yīng)的是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②〖答案〗D〖解析〗由正、負(fù)相關(guān)的定義可直接得出．三、散點(diǎn)圖的應(yīng)用例3下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加嗎？解(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加．反思感悟(1)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．(2)在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練3(1)對(duì)變量x，y有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖1；對(duì)變量u，v有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)〖答案〗C〖解析〗由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．(2)(多選)某校地理學(xué)興趣小組在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)〖答案〗BCD〖解析〗由左圖知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，由于兩個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都成線性分布，所以沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故B，C，D正確，A錯(cuò)誤．1．知識(shí)清單：(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分．1．下列每組的兩個(gè)變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是()A．烏鴉叫，災(zāi)難到B．圓心角的大小與半徑C．物體的質(zhì)量一定，其密度與體積之間的關(guān)系D．兒童的年齡與身高〖答案〗D〖解析〗A，B中的兩個(gè)變量之間沒有關(guān)系，C中的兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系，D中的兩個(gè)變量之間是相關(guān)關(guān)系．2．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是()A．瑞雪兆豐年 B．名師出高徒C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜〖答案〗D〖解析〗瑞雪對(duì)農(nóng)作物有好處，可能使得農(nóng)作物豐收，所以瑞雪兆豐年具有相關(guān)關(guān)系，名師出高徒也具有相關(guān)關(guān)系，吸煙有害健康也具有相關(guān)關(guān)系，而喜鵲叫喜，不具有相關(guān)關(guān)系，故選D.3．如圖，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉________點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最大．〖答案〗D〖