2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題三第1講專題訓(xùn)練11空間幾何體三視圖表面積與體積文理含解析新人教版

PAGE其次部分專題三第1講專題訓(xùn)練十一空間幾何體、三視圖、表面積與體積(文理)一、選擇題1．下列說法正確的有(A)①兩個面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】①中若兩個底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會交于一點，所以①不正確；②中若球面上不同的兩點恰為球的某條直徑的兩個端點，則過此兩點的大圓有多數(shù)個，所以②不正確；③中底面不肯定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．2．正方體的棱長為a，則該正方體的外接球的直徑長(D)A．a(chǎn) B．2aC．eq\r(2)a D．eq\r(3)a【解析】外接球的直徑為eq\r(a2＋a2＋a2)＝eq\r(3)a.故選D．3．(2024·濟(jì)南模擬)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．若O1O2＝2，則圓柱O1O2的表面積為(C)A．4π B．5πC．6π D．7π【解析】由題意可得：h＝2r＝2?r＝1；∴S＝πr2×2＋2πr×h＝6πr2＝6π；故選C．4．(2024·泰安模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”今有底面為正方形的屋脊形態(tài)的多面體(如圖所示)，下底面是邊長為2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為(B)A．6 B．eq\f(11,3)C．eq\f(31,4) D．12【解析】如圖，作FN∥AE，F(xiàn)M∥ED，則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，則該芻甍的體積為：VF－MNBC＋VADE－NMF＝eq\f(1,3)S四邊形MNBC·2＋S直截面·eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))×2＋eq\f(2×2,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(11,3).故選B．5．(2024·呼和浩特二調(diào))用半徑為3cm，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的高為(B)A．1cm B．2eq\r(2)cmC．eq\r(2)cm D．2cm【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為rcm，由題意底面圓的周長即扇形的弧長，可得2πr＝eq\f(2π,3)×3，即底面圓的半徑為1，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(32－1)＝2eq\r(2).故選B．6．(2024·烏魯木齊質(zhì)檢)正方體的全面積是6．它的頂點都在球面上，這個球的表面積是(B)A．2π B．3πC．12π D．18π【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝6，故a又其外接球的直徑2R＝eq\r(3)a＝eq\r(3)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝4πR2＝3π.故選B．7．(2024·湖北黃岡中學(xué)、華師附中等八校一聯(lián))《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑”．“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求球的直徑d的公式d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)V))eq\s\up7(\f(1,3)).若球的半徑為r＝1，依據(jù)“開立圓術(shù)”的方法計算該球的體積為(D)A．eq\f(4,3)π B．eq\f(9,16)C．eq\f(9,4) D．eq\f(9,2)【解析】依據(jù)公式d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)V))eq\f(1,3)得，2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)V))eq\s\up7(\f(1,3))，解得V＝eq\f(9,2).故選D．8．(2024·北京房山區(qū)期末)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(A)A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．2 D．4【解析】三視圖還原為如圖所示的三棱錐：側(cè)面SBC⊥底面ABC，且△SBC為等腰三角形，△ABC為直角三角形，故體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，故選A．9．(2024·九師聯(lián)盟質(zhì)量檢測)已知正三棱錐P－ABC的底面ABC為邊長為6的正三角形，三棱錐P－ABC的四個頂點都在半徑為4的球上，且球心O在三棱錐P－ABC內(nèi)，則三棱錐P－ABC的側(cè)棱PA的長度為(D)A．8 B．6eq\r(2)C．eq\f(15,2) D．4eq\r(3)【解析】作PG⊥平面ABC，垂足為G，則G為△ABC的中心且球心O在PG上，如圖所示，其中D為BC中點，∴AG＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\r(36－9)＝2eq\r(3)，∴OG＝eq\r(OA2－AG2)＝eq\r(16－12)＝2，∴PG＝OG＋OP＝2＋4＝6，∴PA＝eq\r(AG2＋PG2)＝eq\r(12＋36)＝4eq\r(3)，故選D．10．(2024·湖南師大附中其次次月考)如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B上一動點，則AP＋D1PA．2 B．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C．2＋eq\r(2) D．eq\r(2＋\r(2))【解析】把對角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)，使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1，則在△AA1D中，AD1＝eq\r(1＋1－2×1×1×cos135°)＝eq\r(2＋\r(2))為所求的最小值．故選D．11．(2024·宜昌三模)《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”ABC－A1B1C1的全部頂點都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，若球OA．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1【解析】如圖，將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形為長方體ABDC－A1B1D1則長方體的外接球與直三棱柱ABC－A1B1C1設(shè)外接球半徑為R，由外接球的表面積為3π，得4πR2＝3π，∴R＝eq\f(\r(3),2)，則長方體的體對角線長BC1＝eq\r(3)，∴CC1＝eq\r(\r(3)2－12＋12)＝1．則該直三棱柱的體積V＝eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2).故選C．12．(2024·煙臺二模)在棱長為1的正四面體A－BCD中，E是BD上一點，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))，過E作該四面體的外接球的截面，則所得截面面積的最小值為(B)A．eq\f(π,8) B．eq\f(3π,16)C．eq\f(π,4) D．MN【解析】依據(jù)已知條件，作圖如下∵在棱長為1的正四面體A－BCD中，∴從圖中可見，該正四面體在棱長為eq\f(\r(2),2)的正方體內(nèi)，OH＝eq\f(AF,2)＝eq\f(\r(2),4)，∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))，BD＝1，設(shè)H為BD中點，∴HE＝eq\f(1,4)，在Rt△OHE中，OE2＝OH2＋HE2＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝eq\f(3,16)，過E作該四面體的外接球的截面，則所得截面面積最小的截面為小圓E，則OE必垂直于該截面，設(shè)小圓E的半徑為r，r＝EF，R＝OF，在Rt△OFE，EF2＝OF2－OE2，則必有r2＝R2－OE2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))2－OE2＝eq\f(3,8)－eq\f(3,16)＝eq\f(3,16)，則所得截面面積的最小值為S＝πr2＝eq\f(3,16)π.故選B．二、填空題13．(2024·江蘇省泰州中學(xué)、宜興中學(xué)、江都中學(xué)聯(lián)考)已知圓柱的底面半徑為1，母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為__6π__.【解析】因為圓柱的表面積為2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圓柱的表面積為6π.14．(2024·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)調(diào)研)若正四棱錐的底面邊長為2eq\r(2)，側(cè)面積為4eq\r(22)，則它的體積為__8__.【解析】設(shè)四棱錐為P－ABCD，底面ABCD的中心為O，取CD中點E，連接PE，OE，則PE⊥CD，OE＝eq\r(2)，∵S側(cè)面＝4S△PCD＝4×eq\f(1,2)×CD×PE＝4eq\r(22)，∴PE＝eq\r(11)，PO＝3，∴正四棱錐體積V＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×3＝8．15．(2024·天津市部分區(qū)期末)已知半徑為2的球的球面上有A、B、C、D不同的四點，△ABC是邊長為3的等邊三角形，且DO⊥平面ABC(O為球心，D與O在平面ABC的同一側(cè))，則三棱錐D－ABC的體積為__eq\f(9\r(3),4)__.【解析】如圖所示，點E為△ABC的中心，則BE＝eq\f(\r(3),2)·AC·eq\f(2,3)＝eq\r(3)，OB＝2，所以O(shè)E＝eq\r(OB2－BE2)＝eq\r(4－3)＝1，所以V＝eq\f(1,3)·SΔABC·DE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×32×\f(\r(3),2)))×3＝eq\f(9\r(3),4).16．(2024·江西省上饒市一模)一個棱長為2的正