問題解決策略：歸納

第三章整式及其加減問題解決策略：歸納一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析歸納是通過對個(gè)別具體對象的研究，得出一般性結(jié)論的方法，是人類認(rèn)識事物、把握事物內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)規(guī)律的基本方法之一。雖然學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已初步感受和運(yùn)用過歸納的方法，但未形成豐富的經(jīng)驗(yàn)和具體的認(rèn)識。為豐富學(xué)生歸納經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)學(xué)生對歸納形成一定的理性認(rèn)識，本專題在點(diǎn)題“歸納”后，先后提供圖形規(guī)律、數(shù)字規(guī)律背景的問題，以理解、計(jì)劃、實(shí)施、反思四個(gè)階段呈現(xiàn)解題全過程，每個(gè)階段通過指向元認(rèn)知、遷移性強(qiáng)的問題串引導(dǎo)學(xué)生思考，完成階段目標(biāo)的同時(shí)體會歸納的適用情境，感悟歸納方法的重要意義，充分積累歸納經(jīng)驗(yàn)，形成運(yùn)用歸納策略解決實(shí)際問題的具體而深刻的認(rèn)識。二、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：在本章前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生借助對現(xiàn)實(shí)情境和簡單問題中數(shù)量關(guān)系的分析，進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義，先后認(rèn)識了代數(shù)式、整式等概念，進(jìn)一步熟悉了用代數(shù)式描述具體問題中的數(shù)量關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究了利用合并同類項(xiàng)法則和去括號法則進(jìn)行簡單的整式加減運(yùn)算，并借助代數(shù)式探索和表達(dá)具體問題中的一般規(guī)律。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步認(rèn)識了探索規(guī)律的方法，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但作為七年級的學(xué)生，思維正處于由形象化、發(fā)散性向抽象化、深刻化轉(zhuǎn)變的過程中，對于問題解決的一般過程，即理解問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思等沒有形成深刻的認(rèn)識，運(yùn)用歸納法研究規(guī)律探索問題的一般思路也沒有完全建立，因此需要設(shè)計(jì)能激發(fā)興趣、有一定挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題，通過問題的研究和解決提升抽象能力、模型觀念和歸納推理能力。三、教學(xué)目標(biāo)1.通過研究長方形中分割三角形的問題，經(jīng)歷運(yùn)用理解問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思等四個(gè)步驟解決問題的一般過程，并能按照以上四個(gè)步驟解決類似的數(shù)學(xué)問題，提升分析問題和解決問題的能力。2.在具體情境中能從特例出發(fā)，通過分析和整理數(shù)據(jù)，形成猜想，并驗(yàn)證猜想的正確性，充分體會運(yùn)用歸納策略的一般思路并歸納出一般步驟。3.運(yùn)用歸納策略解決規(guī)律發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)一步體會歸納策略的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。教學(xué)重點(diǎn)1.解決問題過程中了解問題解決的四個(gè)步驟；2.運(yùn)用歸納策略解決探索規(guī)律的問題，并對歸納的一般思路和步驟形成認(rèn)識。教學(xué)難點(diǎn)1.了解運(yùn)用問題解決的四個(gè)步驟解決問題的過程；2.能從操作層面明確并總結(jié)出歸納方法的基本步驟和一般思路。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：【第一環(huán)節(jié)】情境引入；【第二環(huán)節(jié)】理解問題；【第三環(huán)節(jié)】擬訂計(jì)劃；【第四環(huán)節(jié)】實(shí)施計(jì)劃；【第五環(huán)節(jié)】回顧反思；【第六環(huán)節(jié)】鞏固提升。【第一環(huán)節(jié)】情境引入1.活動(dòng)內(nèi)容（1）教師通過視頻展示平面設(shè)計(jì)風(fēng)格——低多邊形風(fēng)格。教師介紹低多邊形風(fēng)格：“低多邊形風(fēng)格”是一種數(shù)字藝術(shù)設(shè)計(jì)風(fēng)格。它將整個(gè)區(qū)域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產(chǎn)生立體及光影的效果，隨著三角形數(shù)量增加，效果更為斑斕絢麗。將長方形區(qū)域分割成三角形的過程是：在長方形區(qū)域內(nèi)取一定數(shù)量的點(diǎn)，連同長方形的4個(gè)頂點(diǎn)，逐步連接這些點(diǎn)，保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點(diǎn)，直到長方形內(nèi)所有區(qū)域都變成三角形。（利用計(jì)算機(jī)軟件展示并說明，注意解釋和強(qiáng)調(diào)“保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點(diǎn)”）（2）如果長方形畫布內(nèi)有35個(gè)點(diǎn)，可分得多少個(gè)三角形？2.活動(dòng)目的播放低多邊形風(fēng)格的相關(guān)視頻，讓學(xué)生快速了解這是一種平面圖案設(shè)計(jì)方法，使用計(jì)算機(jī)軟件展示并講解這種圖案的生成過程，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察，并用數(shù)學(xué)思維思考其中的原理，同時(shí)創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后面探索規(guī)律做鋪墊。問題（2）由于點(diǎn)數(shù)多，學(xué)生不易回答，此時(shí)提示學(xué)生：可以先試著畫一畫，感受一下分割得到三角形的過程。經(jīng)過嘗試后教師追問：你遇到了什么困難？學(xué)生發(fā)現(xiàn)取的點(diǎn)很多，不容易畫出圖形，同時(shí)分割的三角形個(gè)數(shù)多，不容易數(shù)清楚。體會到按照步驟解決問題的重要性和必要性。3.實(shí)際效果學(xué)生觀看視頻后既為圖片中形成的光影和立體效果而興奮，又對其設(shè)計(jì)原理和方法感到好奇，這時(shí)教師親自操作軟件現(xiàn)場展示低多邊形風(fēng)格的設(shè)計(jì)過程，并說明其設(shè)計(jì)原理。學(xué)生經(jīng)過思考認(rèn)識到長方形中所分割的三角形區(qū)域隨著點(diǎn)數(shù)的增加而增加，并且明確了點(diǎn)的個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間有對應(yīng)關(guān)系，順利將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有待深入研究的數(shù)學(xué)問題。對于問題（2），學(xué)生嘗試取點(diǎn)后，將長方形分割成若干三角形，發(fā)現(xiàn)難以直接得出答案，充分感受并認(rèn)識到直接解決問題存在困難。教師引導(dǎo)學(xué)生明確解決問題的步驟：理解問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思?！镜诙h(huán)節(jié)】理解問題1.活動(dòng)內(nèi)容（1）先動(dòng)手畫一畫，感受分割得到三角形的過程。（2）這個(gè)問題中的已知條件是什么？目標(biāo)是什么？2.活動(dòng)目的引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手畫圖理解題意，使學(xué)生理解問題背景，明確已知條件和待解決的問題，并體會問題解決的第一個(gè)步驟的重要性。3.實(shí)際效果學(xué)生分析得出：①基礎(chǔ)圖形是長方形，在其內(nèi)部取35個(gè)點(diǎn)；②問題中的目標(biāo)是確定長方形區(qū)域內(nèi)三角形個(gè)數(shù)。【第三環(huán)節(jié)】擬訂計(jì)劃1.活動(dòng)內(nèi)容（1）直接研究“長方形內(nèi)有35個(gè)點(diǎn)”的情形，你遇到了什么困難？（2）哪些情形容易研究？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律正確嗎？你能給出合理的解釋嗎？2.活動(dòng)目的以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，擬訂研究該復(fù)雜問題的計(jì)劃。引導(dǎo)學(xué)生從簡單情況入手研究點(diǎn)的個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)間的關(guān)系并形成猜想，表達(dá)猜想后進(jìn)行驗(yàn)證，逐步深入形成計(jì)劃。幫助學(xué)生較為完整地?cái)M訂計(jì)劃，形成對實(shí)施步驟的一般認(rèn)識。通過分析問題，明確形成從幾個(gè)簡單的情況出發(fā)尋找一般性結(jié)論的思路。擬訂計(jì)劃是解決問題的重中之重，要讓學(xué)生充分體會選用歸納法的情境特征和必要性。3.實(shí)際效果因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)太多，無從下手。引導(dǎo)學(xué)生回憶火柴棒拼正方形、菱形等圖案的活動(dòng)，想到可以先研究1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)等簡單情況。學(xué)生分析出簡單情況下更容易數(shù)出所分三角形的個(gè)數(shù)，從而找出取點(diǎn)的個(gè)數(shù)與分割的三角形個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，尋找規(guī)律。在教師的提示和引導(dǎo)下想到需驗(yàn)證或解釋規(guī)律，并用字母表達(dá)這個(gè)規(guī)律。經(jīng)過幾位學(xué)生的補(bǔ)充完善形成計(jì)劃：在長方形中分別取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)，分別確定三角形個(gè)數(shù)，找出所分割的三角形個(gè)數(shù)與所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，表示規(guī)律并驗(yàn)證規(guī)律?！镜谒沫h(huán)節(jié)】實(shí)施計(jì)劃1.活動(dòng)內(nèi)容（1）按照擬訂的計(jì)劃，利用學(xué)案紙上的長方形進(jìn)行探索。（2）經(jīng)過探索你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）這個(gè)猜想是否合理？說說理由。2.活動(dòng)目的依據(jù)擬訂的計(jì)劃進(jìn)行操作，過程中檢查每個(gè)步驟是否正確，最終得到問題的答案。利用數(shù)形結(jié)合、列表的思想和方法，分析和整理數(shù)據(jù)，形成猜想，并驗(yàn)證猜想的正確性，充分體會運(yùn)用歸納的方法探索規(guī)律的過程。3.實(shí)際效果教學(xué)中，部分學(xué)生從1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)……分別畫圖展開研究：44個(gè)點(diǎn)1個(gè)點(diǎn)2個(gè)點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)教師可追問：當(dāng)我們數(shù)出點(diǎn)所對應(yīng)的三角形的個(gè)數(shù)后，怎么記錄下來更方便比較和研究呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過列表的方式記錄和探索更方便。還有部分學(xué)生在同一個(gè)長方形中連續(xù)取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)……從而發(fā)現(xiàn)，長方形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)每增加1，三角形個(gè)數(shù)增加2。這時(shí)教師再追問：如果改變長方形中新增點(diǎn)的位置，結(jié)果還一樣嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變。（學(xué)生回答后，可用計(jì)算機(jī)軟件演示和驗(yàn)證）對于問題（3），學(xué)生經(jīng)過思考和討論得出：當(dāng)取1個(gè)點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)三角形。當(dāng)取n個(gè)點(diǎn)時(shí)，有4+2(n?1)個(gè)三角形。再增加一個(gè)點(diǎn)，即取(n+1)個(gè)點(diǎn)時(shí)，如上圖所示，若該點(diǎn)在某個(gè)三角形內(nèi)部，則原來的一個(gè)三角形分成3個(gè)三角形，增加了2個(gè)三角形；若該點(diǎn)在某條線段上，則連接該點(diǎn)和所在三角形的頂點(diǎn)，仍增加2個(gè)三角形。因此，當(dāng)長方形內(nèi)部有35個(gè)點(diǎn)時(shí)，實(shí)際有4+34×2=72個(gè)三角形?！镜谖瀛h(huán)節(jié)】回顧反思1.活動(dòng)內(nèi)容（1）至此，我們已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)運(yùn)用歸納法解決問題的完整過程。在此基礎(chǔ)上，你還能提出什么問題呢？在剛才的研究過程中，從簡單的情況入手有什么好處？通過簡單情況歸納一般性結(jié)論，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？2.活動(dòng)目的引導(dǎo)學(xué)生在解決問題后回顧歸納方法，進(jìn)一步提問或拓展延伸，將結(jié)論推廣到更一般的情況，進(jìn)而深刻體會歸納方法的優(yōu)勢，并在更大范圍的學(xué)習(xí)或解題經(jīng)歷中反思?xì)w納的一般思路和方法。3.實(shí)際效果學(xué)生得出規(guī)律后很自然地回答了問題（1）：當(dāng)長方形中有100個(gè)點(diǎn)時(shí)，有多少個(gè)三角形？當(dāng)長方形中有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，有多少個(gè)三角形？同時(shí)得出答案：分別有202個(gè)、(2n+2)個(gè)三角形。這時(shí)教師提煉總結(jié)：當(dāng)我們得到2n+2這個(gè)代數(shù)式后，任意給一個(gè)n的值我們都能得到三角形個(gè)數(shù)，反過來，已知三角形個(gè)數(shù)，也能得出點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就是用字母表達(dá)規(guī)律的意義。經(jīng)歷了整個(gè)探索過程后，學(xué)生真切感受到問題（2）：從簡單情況入手更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，便于觀察和猜想，同時(shí)經(jīng)過師生共同討論歸納出探索規(guī)律的一般過程：特例研究—初步發(fā)現(xiàn)—提出猜想—驗(yàn)證猜想—結(jié)論表達(dá)—拓展延伸?！镜诹h(huán)節(jié)（一）】鞏固提升1.活動(dòng)內(nèi)容32024的個(gè)位數(shù)字是多少？請參照上面活動(dòng)的四個(gè)階段和解題過程完成。2.活動(dòng)目的設(shè)計(jì)一個(gè)代數(shù)背景的探索規(guī)律問題，目的是通過解決不同類型的問題，讓學(xué)生感受到歸納法在問題解決中的廣泛作用，同時(shí)再一次鞏固問題解決的四個(gè)步驟及歸納策略的一般思路。3.實(shí)際效果學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考后，以小組為單位經(jīng)歷理解問題—擬訂計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧反思等四個(gè)過程，歸納發(fā)現(xiàn)3n的個(gè)位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)，當(dāng)n是4的整數(shù)倍時(shí)，個(gè)位數(shù)字為“1”，即32024的個(gè)位數(shù)字是1。n123456…3n392781243729…個(gè)位數(shù)字397139…【第六環(huán)節(jié)（二）】鞏固提升（可根據(jù)學(xué)生情況確定是否進(jìn)行以下內(nèi)容拓展，或作為課后探究的內(nèi)容）1.活動(dòng)內(nèi)容你還能提出什么問題？可以試著改變長方形的形狀，例如，改為三角形、五邊形……再試一試。2.活動(dòng)目的可研究在m邊形內(nèi)取n個(gè)點(diǎn)分割三角形的個(gè)數(shù)問題。具體的研究方法與剛才長方形的情況相同，仍然用歸納法。11個(gè)點(diǎn)2個(gè)點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)n個(gè)點(diǎn)(2n+1)個(gè)三角形…11個(gè)點(diǎn)2個(gè)點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)n個(gè)點(diǎn)(2n+3)個(gè)三角形…猜想并驗(yàn)證“在m邊形（m≥3且m是整數(shù)）中取n個(gè)點(diǎn)，可分割成(2n+m?2)個(gè)三角形?！蓖ㄟ^更為深入的研究，建立了一個(gè)更一般化的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)給定多邊形邊數(shù)m及點(diǎn)的個(gè)數(shù)n時(shí)，所分割的三角形個(gè)數(shù)就隨之確定。五、教學(xué)反思?xì)w納推理是一種思維過程，它并非表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)結(jié)果上，而是體現(xiàn)在思考與解決問題過程中。學(xué)生只有掌握了歸納推理的一般思維步驟，才能明晰自己接下來應(yīng)該思考什么，研究什么，解決什么。本節(jié)課一開始就提出了跨學(xué)科情境下富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)