數(shù)學(xué)示范教案：第二章第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例（第二課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例第二課時(shí)eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析向量與物理學(xué)天然相聯(lián)．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)等有著天然的聯(lián)系，將向量這一工具應(yīng)用到物理中，可以使物理題解答更簡捷、更清晰．并且向量知識(shí)不僅是解決物理許多問題的有利工具，而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題，可使我們對物理問題的認(rèn)識(shí)更深刻．物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究．用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)．(1）力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它們的合成與分解就是向量的加、減法,運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成;(2）動(dòng)量是數(shù)乘向量；（3）功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積．用向量知識(shí)研究物理問題的基本思路和方法．(1）通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題；（2)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;（3)利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題，并獲得這個(gè)向量的解；(4)利用這個(gè)結(jié)果，對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識(shí)圓滿解決物理問題．教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實(shí)原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型．例如,物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型．同時(shí)，注重向量模型的運(yùn)用,引導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)中的一些物理和幾何問題．這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用．三維目標(biāo)1．通過力的合成與分解的物理模型,速度的合成與分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟，明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進(jìn)一步加深對所學(xué)向量的概念和向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)．2．通過對具體問題的探究解決,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用．養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)物理及其他科目中的數(shù)學(xué)及思考領(lǐng)悟各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):1。運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對物理中力的作用、速度的分解進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算。2。歸納利用向量方法解決物理問題的基本方法．教學(xué)難點(diǎn)：將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程））導(dǎo)入新課思路1。(章頭圖引入)章頭圖中，道路、路標(biāo)體現(xiàn)了向量與位移、速度、力等物理量之間的密切聯(lián)系．章引言說明了向量的研究對象及研究方法．那么向量究竟是怎樣應(yīng)用于物理的呢?它就像章頭圖中的高速公路一樣，是一條解決物理問題的高速公路．在學(xué)生渴望了解的企盼中，教師展示物理模型,由此展開新課．思路2.(問題引入)你能舉出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，學(xué)生很容易就舉出來．進(jìn)一步，你能舉出應(yīng)用向量來分析和解決物理問題的例子嗎?你是怎樣解決的?教師由此引導(dǎo)：向量是有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，對向量在物理中的研究,有助于進(jìn)一步加深對這方面問題的認(rèn)識(shí)．我們可以通過對下面若干問題的研究，體會(huì)向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新課．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例）)例1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？活動(dòng)：這個(gè)日常生活問題可以抽象為如圖1所示的數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)來思考探究這個(gè)數(shù)學(xué)問題．這樣物理中力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力)，就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋．圖1在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體，在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來動(dòng)態(tài)地觀察｜F｜、｜G|、θ之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響．由學(xué)生獨(dú)立完成本例后,與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟，也可以由學(xué)生自己完成，還可以用信息技術(shù)來驗(yàn)證．用向量解決物理問題的一般步驟是：①問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；③參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；④問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．解：不妨設(shè)｜F1｜＝|F2|,由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道coseq\f(θ，2）＝eq\f(\f（1,2）｜G|,|F1｜）?｜F1｜＝eq\f（|G｜，2cos\f(θ，2））。點(diǎn)評：本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，學(xué)生也會(huì)有兩人共提一個(gè)旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．本例的關(guān)鍵是作出簡單的受力分析圖，啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋，這就是本例活動(dòng)中所完成的事情．教學(xué)中要充分利用好這個(gè)模型，為解決其他物理問題打下基礎(chǔ)．得到模型后就可以發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)很簡單的向量問題，這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn)。變式訓(xùn)練某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛，感到風(fēng)從正南方向吹來,而當(dāng)其速度變?yōu)?0km/h時(shí)，他又感到風(fēng)從西南方向吹來，求實(shí)際的風(fēng)向和風(fēng)速．解：如圖2所示．設(shè)v1表示20km/h的速度，在無風(fēng)時(shí)，此人感到的風(fēng)速為－v1，實(shí)際的風(fēng)速為v,那么此人所感到的風(fēng)速為v＋(－v1)＝v－v1。圖2令eq\o(AB,\s\up6(→))＝－v1，eq\o（AC，\s\up6（→））＝－2v1，實(shí)際風(fēng)速為v?！遝q\o(DA，\s\up6(→）)＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o（DB，\s\up6(→）），∴eq\o(DB,\s\up6（→))＝v－v1,這就是騎車人感受到的從正南方向吹來的風(fēng)的速度．∵eq\o(DA，\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6(→))＝eq\o(DC，\s\up6（→）)，∴eq\o(DC,\s\up6(→））＝v－2v1。這就是當(dāng)車的速度為40km/h時(shí)，騎車人感受到的風(fēng)速．由題意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，∴△DCA為等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°?！郉A＝DC＝eq\r(2）BC＝20eq\r(2).∴|v|＝20eq\r(2）km/h.答：實(shí)際的風(fēng)速v的大小是20eq\r（2）km/h，方向是東南方向.例2如圖3所示，利用這個(gè)裝置（沖擊擺）可測定子彈的速度，設(shè)有一砂箱懸掛在兩線下端，子彈擊中砂箱后，陷入箱內(nèi)，使砂箱擺至某一高度h。設(shè)子彈和砂箱的質(zhì)量分別為m和M，求子彈的速度v的大小．圖3解：設(shè)v0為子彈和砂箱相對靜止后開始一起運(yùn)動(dòng)的速度,由于水平方向上動(dòng)量守恒，所以m|v｜＝（M＋m)|v0|。①由于機(jī)械能守恒，所以eq\f(1,2）(M＋m）veq\o\al（2,0）＝（M＋m)gh.②聯(lián)立①②解得|v｜＝eq\f（M＋m，m）eq\r（2gh）.又因?yàn)閙相對于M很小，所以|v|≈eq\f（M，m)eq\r（2gh），即子彈的速度大小約為eq\f（M,m）eq\r(2gh)。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）1．一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行,已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過eq\r(3）小時(shí)，該船實(shí)際航程為(A．2eq\r（15)kmB．6C。eq\r（84)kmD．8km答案：B點(diǎn)評：由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，所以要通過作高來求．2．如圖4,已知兩個(gè)力的大小和方向，則合力的大小為________N；若在圖示坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示合力F，則F＝________。圖4答案：eq\r（41）（5，4)3．一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，而該船實(shí)際航行的方向與水流方向成30°角，答案：如圖5所示,設(shè)eq\o(OA,\s\up6（→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6（→))表示船垂直于對岸的速度，eq\o（OC,\s\up6（→））表示船的實(shí)際速度,∠AOC＝30°，｜eq\o(OB,\s\up6（→）)|＝5km/h。圖5因?yàn)镺ACB為矩形，所以｜eq\o(OA，\s\up6(→))|＝｜eq\o(AC,\s\up6（→)）|·cot30°＝|eq\o(OB，\s\up6(→））|·cot30°＝5eq\r（3)≈8.66km/h，｜eq\o(OC，\s\up6（→))|＝eq\f（｜\o（OA，\s\up6(→））｜,cos30°）＝eq\f(5\r(3）,\f（\r(3）,2))＝10km/h.答：水流速度為8.66km/h,船的實(shí)際速度為10km/h.點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,畫出向量圖，在直角三角形中解出．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)1．與學(xué)生共同歸納總結(jié)利用向量解決物理問題的步驟．①問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;③參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；④問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．2．與學(xué)生共同歸納總結(jié)向量在物理中應(yīng)用的基本題型．①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成與分解對應(yīng)相應(yīng)向量的加減；③)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量，沖量ΔtF也是數(shù)乘向量；④功是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））1．課本習(xí)題2.5A組3、4，B組12．歸納總結(jié)物理學(xué)中哪些地方可用向量．eq\o（\s\up7(）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想)）1．本教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：由于本節(jié)重在解決兩個(gè)問題，一是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；二是如何用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象．因此本教案設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也就放在怎樣讓學(xué)生探究解決這兩個(gè)問題上．而把這個(gè)探究的重點(diǎn)又放在這兩個(gè)中的第一個(gè)上，也就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析物理現(xiàn)象、準(zhǔn)確把握物理量之間的相互關(guān)系．通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題,然后利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題．2．經(jīng)歷是最好的老師．充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題的過程，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟思想方法的最好載體．學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動(dòng)越多，解決實(shí)際問題的方法就越恰當(dāng)而簡捷．教科書中對本節(jié)的兩個(gè)例題的處理方法，都不是先給出解法，而是先進(jìn)行分析,探索出解題思路，再給出解法，就足以說明這一點(diǎn)．3．突出數(shù)形結(jié)合的思想．教科書例題都是先畫圖進(jìn)行分析的，本教案的設(shè)計(jì)中也突出了這一點(diǎn)．讓學(xué)生在活動(dòng)的時(shí)候就先想到畫圖，并在這個(gè)活動(dòng)中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,體會(huì)數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用,體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性．eq\o(\s\up7(),\s\do5（備課資料）)一、向量與重心問題假如有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1,M2，它們的質(zhì)量分別是m1，m2，由物理學(xué)知識(shí)，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心M在線段M1M2上，并且分此線段為與質(zhì)量成反比例的兩部分，即eq\f(M1M,MM2)＝eq\f(m2,m1)，或m1eq\o(M1M，\s\up6（→）)＝m2eq\o（MM2,\s\up6（→）).現(xiàn)設(shè)點(diǎn)M1、M2、M,對應(yīng)的向量分別是r1、r2、r，則上式可以寫成m1(r－r1)＝m2(r2－r）．所以r＝eq\f(m1r1＋m2r2，m1＋m2)，點(diǎn)M處的質(zhì)量為m1＋m2。現(xiàn)求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心問題．三個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1、M2、M3的質(zhì)量分別是m1、m2、m3，所對應(yīng)的向量分別是r1、r2、r3，我們可設(shè)M1，M2的重心在點(diǎn)D處，該處對應(yīng)的向量為rD＝eq\f（m1r1＋m2r2，m1＋m2），該點(diǎn)的質(zhì)量為m1＋m2，然后求點(diǎn)D與點(diǎn)M3的重心M所對應(yīng)的向量r，易得r＝eq\f（m1r1＋m2r2＋m3r3,m1＋m2＋m3).二、備用習(xí)題1．作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2,｜F1｜＝5，｜F2|＝3,夾角為60°，則F1＋F2的大小為________．答案:72．一條漁船距對岸為4km，現(xiàn)正以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際航程為答案：解:如圖7所示,設(shè)eq\o(AB，\s\up6(→）)表示船垂直于對岸的速度,則eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6（→))＝eq\o（AC,\s\up6（→）），圖7知eq\o（AC，\s\up6(→))就是漁船實(shí)際航行的速度．因?yàn)楹叫械臅r(shí)間為4÷2＝2(h），所以在Rt△ABC中,|Aeq\o(B,\s\up6（→))|＝2km/h，|eq\o（AC，\s\up6（→))|＝8÷2＝4km/h,則|Beq\o（C,\s\up6（→）)|＝2eq\r(3)km/h.答：河水的流速為2eq\r(3)km/h.3．在半徑為15cm的均勻鐵板上,挖出一個(gè)圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板中心相距8cm，圓洞的半徑是答案：解：如圖8所示,建立平面直