河南省周口市恒大中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．2．在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則＝（）A． B． C． D．23．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中，）.如圖所示，設(shè)點(diǎn)、、是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，、和、是“果圓”與軸和軸的交點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則，的值分別為（）A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，44．函數(shù)在處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．5．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．不確定6．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．38．函數(shù)+m在[0，2]上的最小值是2-e，則最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二．多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知直線l：，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．直線l在y軸上的截距是2 B．直線l的斜率為C．直線l不經(jīng)過(guò)第三象限 D．直線l的一個(gè)方向向量為10．將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如下圖所示，該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．11．在正方體中，若棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確結(jié)論的是（

）A．面 B．面面C．點(diǎn)F到面的距離為定值 D．直線與面所成角的正弦值為定值第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍是.13．已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為14．在圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則a的取值范圍為．四、解答題（共5小題，共計(jì)77分.）15．（13分）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（15分）已知光線經(jīng)過(guò)已知直線和的交點(diǎn)M，且射到x軸上一點(diǎn)后被x軸反射．(1)求反射光線所在的直線的方程．(2)求與距離為的直線方程．17．（15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.18．（17分）已知拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線的中心，而焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的方程；（2）若雙曲線的離心率，求雙曲線的漸近線方程和準(zhǔn)線的方程.19．（17分）如圖，點(diǎn)M是圓上任意點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)軸，交軌跡于點(diǎn)（點(diǎn)在軸的右側(cè)），直線與交于（不過(guò)點(diǎn)）兩點(diǎn)，且直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線具備以下哪個(gè)性質(zhì)？證明你的結(jié)論？①直線恒過(guò)定點(diǎn)；②m為定值；③n為定值．參考答案：1．C【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得的值.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)得到答案.【詳解】由韋達(dá)定理得，由等比數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B3．A【詳解】由題意知，，，∴.又，∴，.∴，.故選：A.4．B【分析】求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，則，可得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，傾斜角為.故選：B.5．A【分析】畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，所以，，，故選：A

6．C【分析】依題意，求出導(dǎo)函數(shù)，可求得極值點(diǎn)分別為或，再分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極小值的定義，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，則恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.7．D【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的最值問(wèn)題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.8．B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定出函數(shù)的最小值，結(jié)合題意，求得參數(shù)的值，并將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求得函數(shù)的最大值.【詳解】，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值，根據(jù)題意有，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以其最大值是2，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題目.9．ACD【分析】根據(jù)直線的截距，斜率，方向向量等特征直接判斷.【詳解】對(duì)于A，直線方程可變?yōu)椋鼐嗍?，故A正確；對(duì)于B，斜率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直線方程可知，故直線l不經(jīng)過(guò)第三象限，故C正確；對(duì)于D，該直線的一個(gè)方向向量為，與平行，故D正確；故選：ACD10．ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得的值，再結(jié)合題目的條件可求出，利用分組求和法求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，且，，對(duì)于A,可得，所以，解得或（舍去），所以選項(xiàng)A是正確的；對(duì)于B,又由，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由，所以選項(xiàng)C是正確的；對(duì)于D，由這個(gè)數(shù)的和為，則所以選項(xiàng)D是正確的，故選：ACD.11．ABC【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用共線向量可表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量判斷線面垂直、面面平行、求解點(diǎn)到面的距離和直線與平面所成角的方法依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意知：，，，，，，，，設(shè)，，即，，設(shè)，，即，.對(duì)于，，，，，，，又平面，，平面，正確；對(duì)于，平面，為平面的一個(gè)法向量，，，，，，又平面，，平面，平面平面，正確；對(duì)于，，點(diǎn)到面的距離，為定值，正確；對(duì)于，幾何體為正方體，平面，是平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，不是定值，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系、角度和距離的相關(guān)問(wèn)題的辨析，由于本題建立空間直角坐標(biāo)系較為簡(jiǎn)單，所以采用空間向量法來(lái)進(jìn)行判斷是比較快速的方式.12．【分析】直接根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，列不等式組，即可解出m的范圍.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可得：，解得.故答案為：.13．【分析】利用數(shù)列中和之間的關(guān)系，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列中和之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線距離；根據(jù)已知可確定，由此構(gòu)造方程求得的取值范圍.【詳解】由圓的方程知其圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則；圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得：或，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)圓上點(diǎn)到直線距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓上點(diǎn)到直線距離為，確定圓心到直線距離與滿足.15．(1)(2)【分析】（1）利用遞推式得出是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出，進(jìn)而求解即可.（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）由，得，又，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，①得，②①－②得，故．16．(1)；(2)或.【分析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件及直線的點(diǎn)斜式即得；（2）根據(jù)平行線間距離公式即得.【詳解】（1）由，可得，即，又，所以，所以反射光線所在的直線的斜率為，故反射光線所在的直線的方程，即；（2）由題可設(shè)所求直線方程為，則，解得或，所以與距離為的直線方程為或.17．（1）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)化簡(jiǎn)，構(gòu)造，并判斷出單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得的單調(diào)性；(2)在上恒成立，即，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)化簡(jiǎn)，構(gòu)造，判斷出單調(diào)性和值域，分，和三類，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，得出的取值范圍．【詳解】解：（1）.令，，則，所以在上單調(diào)遞增，，即.故在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增.（2），，令，，，故在上，，單調(diào)遞減，易得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得，故.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意.當(dāng)時(shí)，則存在，使得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，解得，即.綜上，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查學(xué)生邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（1）；（2）漸近線方程為：，準(zhǔn)線方程為：.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知雙曲線的左頂點(diǎn)為；所以拋物線為開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）因?yàn)殡p曲線的方程為，由離心率為即，進(jìn)而求得的值，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，漸近線方程和準(zhǔn)線方程.【詳解】（1），，∴由題意設(shè)拋物線的方程為，則（2）因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率，所以所以，得，，所以所以漸近線方程為.準(zhǔn)線方程為:.19．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，進(jìn)而根據(jù)橢圓的