黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷含答案

階段測(cè)試卷（三）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮搝干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選譯題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)東后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直接求解.【詳解】由拋物線方程可知，故準(zhǔn)線方程為：.故選：B.2.若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出，即可得解.【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為6，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合利用勾股定理求解點(diǎn)到x軸的距離.詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)作平面，垂足為，則軸，在坐標(biāo)平面內(nèi)，過(guò)作軸，與軸交于，由，則，，由，平面，平面，則軸平面，平面，則軸，故即點(diǎn)到x軸的距離，則.故選：D.4.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線和曲線方程在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得.設(shè)，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：C.5.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的方程可求得，計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】由雙曲線，可得，所以，所以雙曲線的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；虛軸長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；離心率，故D正確.故選：D.6.分別是拋物線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A.5 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】首先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和到軸的距離之和的最小值，再根據(jù)拋物線的定義最小，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，無(wú)論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，所以的最小值和到軸的距離之和的最小值和到準(zhǔn)線的距離之和減去最小，根據(jù)拋物線的定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為.故選：D7.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù)．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合離心率，代入運(yùn)算求解．【詳解】焦點(diǎn)在軸上的橢圓中，，，所以．由題意得，即，即，解得．故選：A．8.雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線l過(guò)點(diǎn)且平行于C的一條漸近線，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè)Px,y，通過(guò)題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計(jì)算即可得出答案．【詳解】設(shè)Px,y，由對(duì)稱性可知P點(diǎn)在x軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在x設(shè)F1?c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，直線的方程為，①由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②由點(diǎn)Px,y在雙曲線上，得，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，即，因此，所以離心率．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓的方程為，圓的方程為，其中a，．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系可能為（）A.外離 B.外切 C.內(nèi)含 D.內(nèi)切【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】由題意可得圓心，半徑，圓心，半徑，則，所以兩圓不可能內(nèi)含．故選：ABD．10.已知曲線的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓B.當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓C.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓及圓的方程判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線是，故A正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示一個(gè)圓，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD11.已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為 B.的周長(zhǎng)為12C.的最小值為3 D.的最大值為16【答案】BD【解析】【分析】由題，利用離心率公式、橢圓的定義和基本不等式即可一一判斷．【詳解】橢圓，則對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C：的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】利用空間距離公式及二次函數(shù)知識(shí)求解.【詳解】.當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值是.故答案為：.13.設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點(diǎn)N，且，則______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)離心率公式求出，畫出草圖，結(jié)合雙曲線定義可解．【詳解】如圖，畫出草圖．由的離心率為，且，可得，解得.因?yàn)?，所以由雙曲線的定義，可得.故答案為：．14.已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________，內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，將點(diǎn)代入得出方程，用公式求出離心率；第二空，畫出圖形，直角三角形中用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因?yàn)?為三角形周長(zhǎng)，為內(nèi)切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被直線平分.（1）求圓的一般方程；（2）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程求定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得圓心，利用兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，建立等量關(guān)系，代入圓的方程，可得答案.【小問(wèn)1詳解】直線恒過(guò)點(diǎn).因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè).因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以的軌跡方程為.16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求的方程；（2）不過(guò)點(diǎn)的直線與交于橫坐標(biāo)不相等的A，B兩點(diǎn)，且，若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及得到，，，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程，進(jìn)而即可得證．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸，開(kāi)口朝右的拋物線，此時(shí)，則曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)，解得，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，所以直線的方程為，令，解得．故點(diǎn)為定點(diǎn)，坐標(biāo)為．17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．（1）求直線\到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；（3）過(guò)的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由橢圓的定義可求出的最大值，從而可得周長(zhǎng)最大值.（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系列出三角形面積的關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出最大值．【小問(wèn)1詳解】依題意，，且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，而，則，周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)直線方程為，，由消去得：，顯然，，，因此面積，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值3.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過(guò)定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積.19.過(guò)雙曲線（常數(shù)）上任意一點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)E，作軸，交x軸于點(diǎn)F，得到矩形AEOF，則它的面積S＝k，k是與點(diǎn)A位置無(wú)關(guān)的常數(shù)，試把這個(gè)結(jié)論推廣到一般雙曲線，并證明你的推廣．【答案】答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】類比題目結(jié)論，從曲線上取一點(diǎn)，作兩條漸近線的平行線，圍成的四邊形面積為常數(shù).證明時(shí)設(shè)所取點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算面積為常數(shù).【詳