2023屆江西省上饒市高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1上饒市2023屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題卷命題人：吳移東蔣麗玲張金裕董樂(lè)華1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無(wú)效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效.4.本試卷共22題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求出集合A中元素范圍，然后求即可.〖詳析〗，又，.故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B.5 C.3 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出的代數(shù)形式，然后求模即可.〖詳析〗，.故選：A.3.若函數(shù)，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗直接根據(jù)〖解析〗式求解函數(shù)值即可.〖詳析〗由函數(shù)得，.故選：A.4.某單位為了了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對(duì)照表：由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，當(dāng)氣溫為時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（）氣溫x（）181310－1用電量y（度）24343864A.68度 B.66度 C.28度 D.12度〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)樣本中心滿足回歸方程即可解決.〖詳析〗由表中數(shù)據(jù)可知，，所以回歸方程過(guò)，得，即，則回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故選：B.5.已知x和y滿足約束條件，則的最大值是（）A.70 B.80 C.90 D.100〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，再通過(guò)幾何意義平移直線,利用數(shù)形結(jié)合得解.〖詳析〗畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如圖，取得到直線，由，可得，表示直線在軸截距的10倍，聯(lián)立，解得，即，.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先求出直線過(guò)的定點(diǎn)，再通過(guò)定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來(lái)確定直線與圓的位置關(guān)系.〖詳析〗由直線得，令，得，故直線恒過(guò)點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊區(qū)間上的正負(fù)即可結(jié)合圖象，利用排除法求解.〖詳析〗由得，所以為奇函數(shù)，故排除B,又當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)排除A,當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)排除D,故選：C8.雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑等于（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，即可求出，，由等面積法即可求出內(nèi)切圓的半徑.〖詳析〗由雙曲線，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線為，代入中，解出，，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，在中，由等面積法得：所以，解得：.故選：C.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則判斷框中填入的條件可以為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，結(jié)合輸出結(jié)果進(jìn)行判定，即可求解.〖詳析〗框圖首先給累加變量賦值，給循環(huán)變量賦值，判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；依次類推，令，知，判斷框中的條件滿足，執(zhí)行此時(shí)不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是“”故選：D.10.設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由條件求的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求的最大值.〖詳析〗由，可得，由余弦性質(zhì)可得：，，取可得，，解得，取可得，，解得取可得，，解得取可得，，解得，因?yàn)椋?，所以滿足條件的不存在，所以的最大值為.故〖答案〗為：D.11.蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗將三棱錐放入如圖所示長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，由求出，即可求出，再由余弦定理和正弦定理求出的外接圓的半徑為，即可求出該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積〖詳析〗因?yàn)槿忮F的外接球的半徑為3，而，所以為外接球的直徑，如圖，將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體，則，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，所以，解得：，即，設(shè)外接球的球心為，所以，，取的外接圓的半徑為，則，則，所以，則，所以該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積：.故選：D.12.已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先證明函數(shù)為周期函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論.〖詳析〗因?yàn)?，所以函?shù)是周期為的周期函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，令，可得或或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以函?shù)在不存在零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，所以在上共有個(gè)零點(diǎn).故選：B.〖『點(diǎn)石成金』〗對(duì)于具有周期性的函數(shù)的性質(zhì)的研究一般先確定函數(shù)的周期，再研究函數(shù)在一個(gè)周期性質(zhì)，由此解決問(wèn)題.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分.第（13）題－第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第（22）題－第（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把〖答案〗填在答題卡上.13.已知向量，，若三點(diǎn)共線，則______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由三點(diǎn)共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得〖答案〗．〖詳析〗三點(diǎn)共線，與共線，，解得．故〖答案〗為：．14.2022年12月4日是第九個(gè)國(guó)家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨二十大精神，推動(dòng)全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會(huì)同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問(wèn)卷，收獲了有效答卷2000份，先對(duì)其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中______.〖答案〗0.020〖解析〗〖祥解〗根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程求即可.〖詳析〗由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，故〖答案〗為：0.02015.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.〖詳析〗將等式兩邊同時(shí)乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.故〖答案〗為：.16.在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是______.①當(dāng)時(shí)，平面；②當(dāng)時(shí)，與平面所成角的最小值為；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；④滿足到直線的距離與到直線的距離相等的點(diǎn)P恰有兩個(gè).〖答案〗①②③〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，利用向量方法證明，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，判斷①；求時(shí)直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求線面角的正弦值及其最小值，判斷②；由可得三點(diǎn)共線，討論點(diǎn)的位置，確定截面形狀，判斷③；證明點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)拋物線定義確定點(diǎn)的軌跡判斷④.〖詳析〗由已知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，，，因?yàn)?，所以，?duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面；①?duì)，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，，向量為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)與平面所成角為，則，其中，當(dāng)或時(shí)，取最大值，，，所以，所以與平面所成角的最小值為；②對(duì)，對(duì)于選項(xiàng)C，由，可得，，所以，所以三點(diǎn)共線，記與的交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)椋赃^(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不含端點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在線段上取點(diǎn),使得，在線段上取點(diǎn),使得，則，所以四邊形為平行四邊形，所以,因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，故過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，同理可得，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為下圖中的四邊形，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；③正確；由已知點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，含邊界，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，由已知，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，故點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，如下圖所示，故④錯(cuò)誤.故〖答案〗為：①②③.〖『點(diǎn)石成金』〗本題為考查線面垂直的判定，直線與平面的夾角，正方體的截面和空間圖形中的軌跡問(wèn)題，是一道綜合程度較高的試題，需要學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí).三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無(wú)力等，部分人群會(huì)伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時(shí)間個(gè)體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復(fù).某興趣小組為進(jìn)一步了解新型冠狀病毒恢復(fù)所需時(shí)間，隨機(jī)抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.（1）分別估計(jì)男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？（2）完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)？痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計(jì)男性女性總計(jì)附：.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖答案〗（1）男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率分別為：（2）二聯(lián)表見(jiàn)〖解析〗，有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解，（2）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)完成二聯(lián)表，即可計(jì)算,進(jìn)行判斷.〖小問(wèn)1詳析〗由表中數(shù)據(jù)可知：男性患者在三周以及以內(nèi)康復(fù)的人有，女性患者在三周以及以內(nèi)康復(fù)的人有，故男性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為，女性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為〖小問(wèn)2詳析〗二聯(lián)表如下表：痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計(jì)男性7822100女性6436100總計(jì)14258200故故有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗，（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用變形可得，進(jìn)而可證明等差數(shù)列并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，先通過(guò)條件列方程求出，進(jìn)而可求出，再利用并項(xiàng)求和法求和.〖小問(wèn)1詳析〗由得，，又，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；；〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)等比數(shù)列公比為，則，，，，19.如圖，在中，，，D是線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線BD折成，且使得平面平面CBD.（1）證明：平面平面PCB；（2）求點(diǎn)B到平面PCD的距離.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系由余弦定理可求解的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得垂直關(guān)系，由面面垂直的性質(zhì)即可求解，（2）利用等體積法即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗在中，由余弦定理得，故,在中，,,所以，由于,故，所以,由于平面平面CBD，平面平面,平面CBD,所以平面,又平面PCB,所以平面平面PCB，〖小問(wèn)2詳析〗由平面，平面所以,所以,故在中，,則，故,設(shè)B到平面PCD的距離為，則由等體積法得,即20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）a的取值范圍為.〖解析〗〖祥解〗(1)設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求，由此可得切線方程；(2)由已知有兩個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定a的取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的曲線的切線的斜率為，切點(diǎn)為，則，又，所以所以，，所以所求直線方程為；〖小問(wèn)2詳析〗由題意，方程，顯然，，方程等價(jià)于，記，則，令，可得，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)的呈爆炸性增長(zhǎng)，從而，，且，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)以上信息作出函數(shù)的大致圖象如下：方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由已知函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，所以，所以，所以a的取值范圍為.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的關(guān)系的問(wèn)題，再通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象.21.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交不同于點(diǎn)A的P、Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)A，過(guò)點(diǎn)A作線段PQ的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡方程.〖答案〗（1）（2）點(diǎn)的軌跡方程為：除去點(diǎn)〖解析〗〖祥解〗（1）由題意可得，解方程即可得出〖答案〗.（2）則不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程由韋達(dá)定理結(jié)合，化簡(jiǎn)可得，即可求出直線恒過(guò)點(diǎn)則由題知在以為直徑的圓周上，即可求出求點(diǎn)H的軌跡方程.〖小問(wèn)1詳析〗由題意可得，解得，所以橢圓方程為.〖小問(wèn)2詳析〗由題意知，直線的斜率不為0，則不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，化簡(jiǎn)整理得，設(shè)，則，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過(guò)，所以,得，將代入上式，得，得，解得或（舍去）．所以直線的方程為，則直線恒過(guò)點(diǎn)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)做的垂線，垂足為，所以在以為直徑的圓周上，所以點(diǎn)的軌跡方程為：除去點(diǎn)請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.注意所做題目必須與所涂題目一致，并在答題卡選答區(qū)域指定位置答題.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.〖選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線交曲線C于D、E兩點(diǎn)（D在x軸上方），求的值.〖答案〗（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由直線的參數(shù)方程直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時(shí)乘以，再由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）依題意，設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，可得關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合參數(shù)的幾何意義求解．〖小問(wèn)1詳析〗由，消去參數(shù)得，即直線的普通方程為；由，得，，，，即曲線的直角坐標(biāo)方程；〖小問(wèn)2詳析〗依題意，直線，所以,設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，且在軸上方，有，．故，即的值為．〖選修4－5：不等式選講〗23.已知函數(shù)，且的解集為.（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且，求證：.〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）考慮，和三種情況，分別計(jì)算不等式得到〖答案〗.（2）變換，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗函數(shù)，且的解集為，所以，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，，則，解得：.的解集為，且，則；〖小問(wèn)2詳析〗證明：

，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

高考模擬試題PAGEPAGE1上饒市2023屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題卷命題人：吳移東蔣麗玲張金裕董樂(lè)華1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無(wú)效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效.4.本試卷共22題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求出集合A中元素范圍，然后求即可.〖詳析〗，又，.故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B.5 C.3 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出的代數(shù)形式，然后求模即可.〖詳析〗，.故選：A.3.若函數(shù)，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗直接根據(jù)〖解析〗式求解函數(shù)值即可.〖詳析〗由函數(shù)得，.故選：A.4.某單位為了了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對(duì)照表：由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，當(dāng)氣溫為時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（）氣溫x（）181310－1用電量y（度）24343864A.68度 B.66度 C.28度 D.12度〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)樣本中心滿足回歸方程即可解決.〖詳析〗由表中數(shù)據(jù)可知，，所以回歸方程過(guò)，得，即，則回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故選：B.5.已知x和y滿足約束條件，則的最大值是（）A.70 B.80 C.90 D.100〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，再通過(guò)幾何意義平移直線,利用數(shù)形結(jié)合得解.〖詳析〗畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如圖，取得到直線，由，可得，表示直線在軸截距的10倍，聯(lián)立，解得，即，.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先求出直線過(guò)的定點(diǎn)，再通過(guò)定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來(lái)確定直線與圓的位置關(guān)系.〖詳析〗由直線得，令，得，故直線恒過(guò)點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊區(qū)間上的正負(fù)即可結(jié)合圖象，利用排除法求解.〖詳析〗由得，所以為奇函數(shù)，故排除B,又當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)排除A,當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)排除D,故選：C8.雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑等于（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，即可求出，，由等面積法即可求出內(nèi)切圓的半徑.〖詳析〗由雙曲線，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線為，代入中，解出，，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，在中，由等面積法得：所以，解得：.故選：C.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則判斷框中填入的條件可以為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，結(jié)合輸出結(jié)果進(jìn)行判定，即可求解.〖詳析〗框圖首先給累加變量賦值，給循環(huán)變量賦值，判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；依次類推，令，知，判斷框中的條件滿足，執(zhí)行此時(shí)不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是“”故選：D.10.設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由條件求的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求的最大值.〖詳析〗由，可得，由余弦性質(zhì)可得：，，取可得，，解得，取可得，，解得取可得，，解得取可得，，解得，因?yàn)?，所以，所以滿足條件的不存在，所以的最大值為.故〖答案〗為：D.11.蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗將三棱錐放入如圖所示長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，由求出，即可求出，再由余弦定理和正弦定理求出的外接圓的半徑為，即可求出該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積〖詳析〗因?yàn)槿忮F的外接球的半徑為3，而，所以為外接球的直徑，如圖，將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體，則，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，所以，解得：，即，設(shè)外接球的球心為，所以，，取的外接圓的半徑為，則，則，所以，則，所以該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積：.故選：D.12.已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先證明函數(shù)為周期函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論.〖詳析〗因?yàn)?，所以函?shù)是周期為的周期函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，令，可得或或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以函?shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)在不存在零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，所以在上共有個(gè)零點(diǎn).故選：B.〖『點(diǎn)石成金』〗對(duì)于具有周期性的函數(shù)的性質(zhì)的研究一般先確定函數(shù)的周期，再研究函數(shù)在一個(gè)周期性質(zhì)，由此解決問(wèn)題.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分.第（13）題－第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第（22）題－第（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把〖答案〗填在答題卡上.13.已知向量，，若三點(diǎn)共線，則______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由三點(diǎn)共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得〖答案〗．〖詳析〗三點(diǎn)共線，與共線，，解得．故〖答案〗為：．14.2022年12月4日是第九個(gè)國(guó)家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨二十大精神，推動(dòng)全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會(huì)同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問(wèn)卷，收獲了有效答卷2000份，先對(duì)其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中______.〖答案〗0.020〖解析〗〖祥解〗根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程求即可.〖詳析〗由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，故〖答案〗為：0.02015.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.〖詳析〗將等式兩邊同時(shí)乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.故〖答案〗為：.16.在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是______.①當(dāng)時(shí)，平面；②當(dāng)時(shí)，與平面所成角的最小值為；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；④滿足到直線的距離與到直線的距離相等的點(diǎn)P恰有兩個(gè).〖答案〗①②③〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，利用向量方法證明，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，判斷①；求時(shí)直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求線面角的正弦值及其最小值，判斷②；由可得三點(diǎn)共線，討論點(diǎn)的位置，確定截面形狀，判斷③；證明點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)拋物線定義確定點(diǎn)的軌跡判斷④.〖詳析〗由已知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，，，因?yàn)椋?，?duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面；①?duì)，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，，向量為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)與平面所成角為，則，其中，當(dāng)或時(shí)，取最大值，，，所以，所以與平面所成角的最小值為；②對(duì)，對(duì)于選項(xiàng)C，由，可得，，所以，所以三點(diǎn)共線，記與的交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不含端點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在線段上取點(diǎn),使得，在線段上取點(diǎn),使得，則，所以四邊形為平行四邊形，所以,因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，故過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形，同理可得，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面為下圖中的四邊形，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；③正確；由已知點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，含邊界，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，由已知，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，故點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，如下圖所示，故④錯(cuò)誤.故〖答案〗為：①②③.〖『點(diǎn)石成金』〗本題為考查線面垂直的判定，直線與平面的夾角，正方體的截面和空間圖形中的軌跡問(wèn)題，是一道綜合程度較高的試題，需要學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí).三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無(wú)力等，部分人群會(huì)伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時(shí)間個(gè)體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復(fù).某興趣小組為進(jìn)一步了解新型冠狀病毒恢復(fù)所需時(shí)間，隨機(jī)抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.（1）分別估計(jì)男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？（2）完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)？痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計(jì)男性女性總計(jì)附：.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖答案〗（1）男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率分別為：（2）二聯(lián)表見(jiàn)〖解析〗，有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解，（2）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)完成二聯(lián)表，即可計(jì)算,進(jìn)行判斷.〖小問(wèn)1詳析〗由表中數(shù)據(jù)可知：男性患者在三周以及以內(nèi)康復(fù)的人有，女性患者在三周以及以內(nèi)康復(fù)的人有，故男性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為，女性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為〖小問(wèn)2詳析〗二聯(lián)表如下表：痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計(jì)男性7822100女性6436100總計(jì)14258200故故有95%的把握認(rèn)為患者性別與痊愈快慢有關(guān)18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗，（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用變形可得，進(jìn)而可證明等差數(shù)列并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，先通過(guò)條件列方程求出，進(jìn)而可求出，再利用并項(xiàng)求和法求和.〖小問(wèn)1詳析〗由得，，又，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；；〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)等比數(shù)列公比為，則，，，，19.如圖，在中，，，D是線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線BD折成，且使得平面平面CBD.（1）證明：平面平面PCB；（2）求點(diǎn)B到平面PCD的距離.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系由余弦定理可求解的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得垂直關(guān)系，由面面垂直的性質(zhì)即可求解，（2）利用等體積法即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗在中，由余弦定理得，故,在中，,,所以，由于,故，所以,由于平面平面CBD，平面平面,平面CBD,所以平面,又平面PCB,所以平面平面PCB，〖小問(wèn)2詳析〗由平面，平面所以,所以,故在中，,則，故,設(shè)B到平面PCD的距離為，則由等體積法得,即20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）a的取值范圍為.〖解析〗〖祥解〗(1)設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求，由此可得切線方程；(2)由已知有兩個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定a的取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的曲線的切線的斜率為，切點(diǎn)為，則，又，所以所以，，所以所求直線方程為；〖小問(wèn)2詳析〗由題意，方程，顯然，，方程等價(jià)于，記，則，令，可得，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函