2024高考數學二輪專題復習備考訓練3計數原理二項式定理含解析

PAGE備考訓練3計數原理、二項式定理一、單項選擇題1．山城農業(yè)科學探討所將5種不同型號的種子分別試種在5塊并成一排的試驗田里，其中A，B兩型號的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗田里，且均不能試種在兩端的試驗田里，則不同的試種方法數為()A．12B．24C．36D．482.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式中，有理項共有()A．1項B．2項C．3項D．4項3．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參與社會實踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必需有班級要去，則不同的安排方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種4．在某班進行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位男生，2位女生，假如2位女生不能連著出場，且男生甲不能排在第一個出場，那么不同出場依次的排法種數為()A．12B．24C．36D．605．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x2)－\f(1,2)x))n的綻開式中只有第5項的二項式系數最大，則綻開式的第4項為()A．7x6B．－7xC.eq\f(35,8)xD．－eq\f(7,4)x76．《紅海行動》是一部現代化海軍題材影片，該片講解并描述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成A，B，C，D，E，F六項任務，并對任務的依次提出了如下要求，重點任務A必需排在前三位，且任務E，F必需排在一起，則這六項任務完成依次的不同支配方案共有()A．240種B．188種C．156種D．120種7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項系數的和為2，則該綻開式中常數項為()A．－40B．－20C．20D．408．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的綻開式中，x的指數是整數的項數是()A．2B．3C．4D．5二、多項選擇題9．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的綻開式中，有()A．含x的項B．含eq\f(1,x2)的項C．含x4的項D．含eq\f(1,x4)的項10．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是()A．若隨意選擇三門課程，選法總數為Aeq\o\al(3,7)B．若物理和化學至少選一門，選法總數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)C．若物理和歷史不能同時選，選法總數為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)11．[2024·山東日照質量檢測]把四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)種B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種D．18種12．[2024·山東聊城質量檢測]已知(1＋3x)n的綻開式中，后三項的二項式系數的和等于121，則綻開式中二項式系數最大的項為()A．Ceq\o\al(8,16)(3x)8B．Ceq\o\al(7,16)(3x)7C．Ceq\o\al(8,15)(3x)8D．Ceq\o\al(7,15)(3x)7三、填空題13．[2024·山東濟南質量評估]在(2x－y)5的綻開式中，含x3y2項的系數為________．(用數字作答)．14．[2024·山東濟寧質量檢測]在(x－eq\r(2)y)8的綻開式中，含x4y4項的系數是________．15．為了迎接植樹節(jié)的到來，某班現從6名男班委和4名女班委中選取3人，參與義務植樹活動，若男、女班委至少各有一人，則不同選法的種數為________．16．已知(2－x2)(1＋ax)3的綻開式的全部項系數之和為27，則實數a＝________，綻開式中含x2的項的系數是________．備考訓練3計數原理、二項式定理1．解析：因為A，B兩型號的種子試種方法數為2×2＝4，所以一共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)試種方法．答案：B2．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x，令6－eq\f(3,2)r為整數，求得r＝0,2,4,6，共計4項．故選D.答案：D3．解析：滿意題意的不同的安排方案有以下三類：①三個班中只有一個班去甲工廠有Ceq\o\al(1,3)×32＝27(種)方案；②三個班中只有兩個班去甲工廠有Ceq\o\al(2,3)×3＝9(種)方案；③三個班都去甲工廠有1種方案．綜上可知，共有27＋9＋1＝37(種)不同方案．故選C.答案：C4．解析：依據題意，分兩種狀況探討：①第一個出場的是女生，則其次個出場的是男生，以后的出場依次隨意排，排法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；②第一個出場的是除甲之外的剩余2位男生中的1位，將剩下2位男生排好，有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)種狀況，排好后，有3個空位可選，在其中任選2個支配2位女生，有Aeq\o\al(2,3)種狀況，則此時的排法有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24(種)，則不同出場依次的排法種數為36＋24＝60.故選D.答案：D5．解析：由二項式系數的性質，知n＝8，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x2))8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))rCeq\o\al(r,8)x，∴綻開式中第4項T4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3Ceq\o\al(3,8)x＝－7x.答案：B6．解析：因為任務A必需排在前三位，任務E，F必需排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆綁后分類探討．當A在第一位時，將E，F捆綁與B，C，D全排，排法有Aeq\o\al(4,4)，而E，F排法有Aeq\o\al(2,2)，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種；當A在其次位時，第一位只能是B，C，D中的一個，E，F只能在A的后面，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種；當A在第三位時，分兩種狀況：①E，F在A之前，此時應有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，②E，F在A之后，此時應有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種，故A在第三位時有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝36種．綜上，共有48＋36＋36＝120種不同的支配方案．故選D.答案：D7．解析：令x＝1，則(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式的通項Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)·25－rx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，對應的常數(－1)2Ceq\o\al(2,5)·23x·eq\f(1,x)＝80，令5－2r＝－1，得r＝3，對應的常數(－1)3Ceq\o\al(3,5)·22eq\f(1,x)·x＝－40，故所求綻開式中常數項為80－40＝40.答案：D8．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,24)(eq\r(x))24－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,24)x，∴當r＝0,6,12,18,24時，x的指數是整數，故x的指數是整數的有5項，故選D.答案：D9．解析：二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·35－r·(－2)r·x10－3r，r＝0,1,2,3,4,5，故綻開式中含x的項為x10－3r，結合所給的選項，知A、B、C的項都含有，故選ABC.答案：ABC10．解析：對于A，若隨意選擇三門課程，選法總數為Ceq\o\al(3,7)，錯誤；對于B，若物理和化學選一門，有Ceq\o\al(1,2)種方法，其余兩門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(2,5)種選法；若物理和化學選兩門，有Ceq\o\al(2,2)種選法，剩下一門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(1,5)種選法，由分步乘法計數原理知，總數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)，錯誤；對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)(種)，正確；對于D，有3種狀況：①只選物理且物理和歷史不同時選，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)種選法；②選化學，不選物理，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)種選法；③物理與化學都選，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)種選法，故總數為Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)＝6＋10＋4＝20(種)，錯誤．故選ABD.答案：ABD11．解析：依據題意，四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中，且沒有空盒，三個盒子中有1個盒子中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，則分兩步進行分析：解法一①先將四個不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法；②將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種放法．則不允許有空盒子的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36種．解法二①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的盒子中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種狀況；②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個盒子中，有Aeq\o\al(2,2)種放法，則不允許有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝36種，故選B、C.答案：BC12．解析：由已知得Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝121，則eq\f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負值)，所以綻開式中二項式系數最大的項是T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8.答案：CD13．解析：(2x－y)5的綻開式的通項公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r(－y)r，要求含x3y2項的系數，令5－r＝3，解得r＝2.(2x－y)5的綻開式中x3y2項的系數為：Ceq\o\al(2,5)23(－1)2＝10×8＝80.答案：8014．解析：(x－eq\r(2)y)8的綻開式中：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x