第03講基本不等式及其應(yīng)用（秋季講義）（人教A版2019）（原卷版）

第03講基本不等式及其應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一基本不等式1．均值定理均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正實數(shù))，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，式中等號成立.此定理又稱均值不等式或基本不等式.2．基本不等式推廣：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算術(shù)平均值，eq\r(ab)叫做幾何平均值.3．基本元素為ab，a+b，a2+b2；其中一個為定值，都可以求其它兩個的最值.4．利用基本不等式求最值的條件(1)“一正”：即求最值的兩式必須都是正數(shù).(2)“二定”：要求和a+b的最小值，則乘積ab須是定值；要求乘積ab的最大值，則和a+b須是定值.特殊情況下，至少要求各項的和、積是一個可化簡的定式.(3)“三相等”：只有滿足不等式中等號成立的條件，才能使式子取到最大或最小值.(4)“四同時”：多次使用基本不等式時，需同時滿足每個等號成立的條件.【題型1基本不等式鏈】【例1.1】（2324高一上·河南·階段練習(xí)）若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中不恒成立的是（

）A．a(chǎn)2+b2≥2ab B．a(chǎn)+b≥2ab【例1.2】（2324高一上·上?！て谥校┤魧崝?shù)a、b滿足b>a>0，下列不等式中恒成立的是（

）A．2a+b2≥2C．2a+b2<2【變式1.1】（2024高一·全國·課后作業(yè)）若a,b∈R+，則在①ba+ab≥2，②1A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1.2】（2024高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，則下列不等式成立的是（

A．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)+b+c≥2 D．【題型2由基本不等式比較大小】【例2.1】（2324高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算【例2.2】（2324高一上·江蘇淮安·期中）已知實數(shù)a，b，c滿足c?b=a+2a?2，c+b=2a2+2a+2a，且a>0，則A．b>c>a B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【變式2.1】（2324高一上·遼寧朝陽·期中）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（a<b），其全程的平均時速為v，則（

）A．v=a+b2 B．v=a+b2ab C．【變式2.2】（2324高一下·四川眉山·開學(xué)考試）阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個支點(diǎn)，我就能撬起整個地球！”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買12g黃金，售貨員先將6g的砝碼放在天平左盤中，取出xg黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將6g的砝碼放在天平右盤中，取A．x+y>12 B．x+y=12 C．x+y<12 D．以上選項都有可能模塊二模塊二基本不等式的應(yīng)用1．最值定理最值定理：兩個正數(shù)的乘積為常數(shù)，則兩數(shù)相等時，它們的和取得最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)，則兩數(shù)相等時，它們的乘積取得最大值.即已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．2．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型3直接法求最值】【例3.1】（2324高一下·湖南邵陽·期末）函數(shù)y=x10?x(0≤x≤10)A．4 B．5 C．6 D．8【例3.2】（2324高一上·北京·期中）如果m>0，那么m+4m的最小值為（A．2 B．22 C．4 D．【變式3.1】（2324高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）若a,b都是正數(shù)，則ab+4bA．1 B．2 C．3 D．4【變式3.2】（2324高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）已知10>x>0，則2?x10?x的最小值為（A．?3 B．?2 C．?1 D．0【題型4配湊法求最值】【例4.1】（2324高三下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知a>1，則a+4aa?1的最小值是（A．9 B．10 C．12 D．6【例4.2】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）當(dāng)x>12時，函數(shù)A．92 B．4 C．5 【變式4.1】（2324高一下·浙江·期中）若實數(shù)x>2y>0，則3yx?2y+xA．23 B．23?1 C．2【變式4.2】（2425高二上·云南昆明·開學(xué)考試）已知a>b>0，則a+4a+b+A．3102 B．4 C．23【題型5巧用“1”的代換求最值】【例5.1】（2425高三上·江西·開學(xué)考試）已知x,y為正實數(shù)，且x+y=1，則x+2y+1xy的最小值為（

A．22+1 B．22?1 C．【例5.2】（2324高二下·遼寧遼陽·期末）已知xy+5=5y(x>0,y>0)，則y+25x的最小值為（A．25+4 B．8 C．2【變式5.1】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=2，則x+6y+6xy的最小值為（

A．12 B．3+22 C．252 【變式5.2】（2324高二下·江西九江·期末）已知a>0,b>0，且a+b=ab，則ab+1+ba+1A．9 B．12 C．16 D．20【題型6和積互化求最值】【例6.1】（2324高二下·湖北武漢·期末）已知x>0,y>0，且滿足3x+4A．xy的最小值為48 B．xy的最小值為1C．xy的最大值為48 D．xy的最大值為1【例6.2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1A．2?2 B．2+2 C．4+22【變式6.1】（2324高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，a+b=1，求下列代數(shù)式的最小值(1)1a+2(2)1a【變式6.2】（2324高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）若a>0,b>0，且ab=a+b+8(1)求ab的取值范圍；(2)求a+4b的最小值，以及此時對應(yīng)的a的值.【題型7利用基本不等式證明不等式】【例7.1】（2425高一上·上?！て谥校┮阎猘、b、c、d∈R，證明下列不等式，并指出等號成立的條件：(1)a2(2)a2【例7.2】（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）已知a>0,b>0,a+b=1，求證:(1)1a(2)1+1【變式7.1】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）（1）已知x、y都是正數(shù)，求證：x+yx（2）已知a>0，b>0，c>0，求證：bca【變式7.2】（2324高三上·陜西西安·階段練習(xí)）證明下列不等式(1)已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求證：1a(2)已知x>0，y>0，z>0，求證：yx【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】【例8.1】（2324高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)x>1,y>12，不等式x2a2A．2 B．4 C．142 D．【例8.2】（2324高一上·河北滄州·階段練習(xí)）若存在正實數(shù)x，y滿足于4y+1x=1，且使不等式x+A．?4,1 B．?1,4C．?∞,?4∪【變式8.1】（2324高一上·河南信陽·期中）已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值及此時x，y的取值；(2)不等式2x+y2≥mx+2y【變式8.2】（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【題型9利用基本不等式解決實際問題】【例9.1】（2324高二下·江西·期末）某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A,B,C三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹?郁金香?月季（其中B,C區(qū)域的形狀?大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)x的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【例9.2】（2324高一上·甘肅臨夏·期末）某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價為150元/平方米，屋頂和地面的造價費(fèi)用合計為5800元，如果墻高為3米，且不計房屋背面的費(fèi)用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少元？【變式9.1】（2324高一上·重慶·階段練習(xí)）為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張面積為36000cm2的矩形海報紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形），為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)DC=x(1)將四個宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫出x的范圍；(2)為充分利用海報紙空間，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸（AD和CD分別為多少時），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時宣傳欄的最大面積．【變式9.2】（2324高一上·江蘇南通·期中）第十九屆亞運(yùn)會于2023年9月23日在杭州舉辦，本屆亞運(yùn)會吉祥物是一套名為“江南憶”的三個機(jī)器人模型，三個機(jī)器人模型分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某公益團(tuán)隊聯(lián)系亞運(yùn)會組委會計劃舉辦一場吉祥物商品展銷會，成套出售“江南憶”，將所獲利潤全部用于體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查：每套吉祥物紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為60元，浮動價格=5銷售量（單位：元，其中銷售量單位為：萬套）.而當(dāng)每套吉祥物售價定為x(1)每套吉祥物紀(jì)念品售價為125元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套吉祥物紀(jì)念品售價為多少元時，單套吉祥物的利潤最大？并求出最大值.一、單選題1．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若0<x<4，則2x4?x有（

A．最小值0 B．最大值2C．最大值22 2．（2024·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+13．（2425高三上·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知a>b≥0且6a+b+2a?b=1A．12 B．83 C．16 D．4．（2324高一上·上海寶山·階段練習(xí)）某城市為控制用水，計劃提高水價，現(xiàn)有以下四種方案，其中提價最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提價p%，再提價q% B．先提價qC．分兩次，都提價p2+q5．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣?1<m<2} B．{m∣m<?1或m>2}C．{m∣?2<m<1} D．{m∣m<?2或m>1}6．（2324高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖，某燈光設(shè)計公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形ABCD(AB>AD)的周長為4，沿AC折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)B′位置，AB′交DC于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)△ADP的面積最大時用電最少，則用電最少時，AB

A．54 B．2 C．32 7．（2024·山東淄博·二模）記maxx,y,z表示x,y,z中最大的數(shù)．已知x,y均為正實數(shù)，則maxA．12 B．1 C．2 8．（2324高二下·山西臨汾·期末）已知a>b>0，1a?b+1a+b=4，且5a?4b≥mA．?∞,52 B．?∞,2二、多選題9．（2425高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）下面的結(jié)論中正確的是（

）A．若ac2B．若a>b>0，m>0，則a+mC．若a>0，b>0，a+b=1aD．若a>2b>0，則a10．（2324高一上·福建泉州·期中）已知x>1,y>1，且不等式x2y?1+y2A．2 B．3 C．4 D．511．（2425高二上·安徽·開學(xué)考試）已知正數(shù)a，b滿足4a+b+ab=12，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為4 B．4a+b的最小值為8C．a(chǎn)+b的最小值為3 D．1a+1+三、填空題12．（2425高一上·全國·課堂例題）設(shè)a，b為正數(shù)，則a2+b22，a+b2，13．（2324高一下·陜西西安·開學(xué)考試）已知正實數(shù)x，y滿足x+y=2xy，則2x+y的最小值為.14．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2四、解答題15．（2324高一上·甘肅慶陽·期末）已知a>0