河北省2024-2025學年高三上學期11月階段調(diào)研檢測二數(shù)學試題

絕密★啟用前河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢測二數(shù)學本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集，，則集合（）A. B.C. D.2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.3.若事件，發(fā)生的概率分別為，，，則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充分且必要 D.既不充分又不必要4.球是棱長為1的正方體的外接球，則球的內(nèi)接正四面體體積為（）A. B. C. D.5.某同學擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，統(tǒng)計出結(jié)果的平均數(shù)為2，方差為0.4，可判斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.46.已知，，且，則的最小值為（）A.13 B. C.14 D.7.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，，則一定正確的是（）A.的周期為2 B.圖象關(guān)于直線對稱C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，當最大時在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.933二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.若，則（）A. B.C. D.10.已知平面內(nèi)點，，點為該平面內(nèi)一動點，則（）A.，點的軌跡為橢圓 B.，點的軌跡為雙曲線C.，點的軌跡為拋物線 D.，點的軌跡為圓11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點，且，，，則（）A.當時，直線與所成角的余弦值為B.當時，四面體的體積為C.當且面時，D.當時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.雙曲線：的左焦點為，右頂點為，點到漸近線的距離是點到漸近線距離的2倍，則的離心率為______.13.已知數(shù)列滿足，其前100項中某項正負號寫錯，得前100項和為，則寫錯的是數(shù)列中第______項.14.如右圖所示，中，，是線段的三等分點，是線段的中點，與，分別交于，，則平面向量用向量，表示為______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.17.（15分）已知函數(shù).（1）當時，求的圖象在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.18.（17分）橢圓：左右頂點分別為，，且，離心率.（l）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切，且與相交于、兩點，求面積的最大值.19.（17分）（1）在復數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）設(shè)，且，證明：；（3）設(shè)復數(shù)數(shù)列滿足：，且對任意正整數(shù)，均有.證明：對任意正偶數(shù)，均有.河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢測數(shù)學參考答案與解析1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C【解析】因為正四面體可以補形為正方體，可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球，正方體棱長為1，則體積為1，可得正四面體體積為正方體體積去掉四個角上的四面體體積，即.故選C.5.【答案】B【解析】不妨設(shè)五個點數(shù)為，由題意平均數(shù)為2，方差為0.4，知.可知五次的點數(shù)中最大點數(shù)不可能為4，5，6.五個點也不可能都是2，則五個點數(shù)情況可能是3，3，2，1，1，其方差為，不合題意.若五個點數(shù)情況為3，2，2，2，1，其方差為，符合題意，其眾數(shù)為2.故選B.6.【答案】A【解析】，，又，且，，當且僅當，解得，時等號成立，故的最小值為13.故選A.7.【答案】D【解析】為奇函數(shù)，得，即，則為奇函數(shù)，故C錯誤；且圖象關(guān)于點中心對稱，故B錯誤；可知，函數(shù)周期為4，故A錯誤；，又圖象關(guān)于點中心對稱，知，所以，得關(guān)于點對稱，則關(guān)于點對稱，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選D.8.【答案】B【解析】【法一】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因為，可得，又由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，且滿足，且，可得，即，且，當時，，解得，所以；當時，，解得，所以；當時，，解得，此時解集為空集，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.所以，得解得令，，共有467個零點.故選B.【法二】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因為，可設(shè)，則，又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，可得，所以，則由圖象性質(zhì)，可知，得，即.或者，得，即.所以最大為，得.，解得.令，共有467個零點.故選B.9.【答案】AC【解析】令，則，故A正確；由二項式定理，則，故B錯誤；令，則，則，故C正確；令，則，又，所以，得，故D錯誤.故選AC.10.【答案】AD【解析】由橢圓的定義知A正確；線段的長度與線段的長度的差為，則的軌跡應(yīng)為雙曲線靠近點的一支，故B錯誤；設(shè)點，由得，整理得，即，當時，，得或，故曲線與軸有三個交點，軌跡不為拋物線，故C錯誤；由得，整理得即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選AD.11.【答案】ACD【解析】由題意可知是邊長為6的等邊三角形，，，.時，為的中點，取得，為直線與所成角或其補角，又，，.則，故A正確；在中，，，得，，且，則四面體的體積為.，為的中點，為的中點，故四面體體積為四面體體積的四分之一，得四面體體積為，故B錯誤；對于CD選項：【法一】當時，取的中點，則，過作交于，此時為的中點，所以面面，得面，所以，故C正確；當時，，在面內(nèi)過作交于，則面，面，故此時得到的，中，，由余弦定理得，，，得，則，故D正確.故選ACD.【法二】則以為坐標原點，過點與垂直的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，，，，，，得，，，對于C，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，可取.面時，得，解得.故C正確.對于D，，由得，，.故D正確.故選ACD.12.【答案】213.【答案】38【解析】，則其前100項和為某項正負號寫錯后得前100項和為，說明某正項寫成了負數(shù)，又，，故寫錯的數(shù)為75，令，解得.故寫錯的是數(shù)列中第38項.14.【答案】【解析】【法一】與交于，可設(shè)，解得，，得.同理得，所以.【法二】過點作交于點，，得，同理過點作的平行線可得，，.【法三】設(shè)，，則，得，又因為，，所以.故，，解得，，則.同理可得，【法四】特殊三角形法設(shè)是底為12，高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直角坐標系，得，，，，，，得直線：，：，：，解得，，得，，，設(shè)，，解得，，所以.15.解：（1），由余弦定理得，，，.又，.（2）因為的面積為，即，.由余弦定理得.解得.所以周長為.16.解：（1）【法一】證明：如圖所示，取中點，為等邊三角形，，又面垂直于底面，交線為，得面，又面.底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，得面，面，所以.【法二】取中點，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，則，得面，又因為，，，可設(shè)，則以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，，得，，所以，得.（2）【法一】由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，，，，；設(shè)平面的一個法向量為，則，，可?。辉O(shè)平面的一個法向量為，則，即，可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.【法二】不妨設(shè)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，底面為直角梯形，，，所以面，又，得面，面，得面面，交線為，取的中點，則，等邊邊長為2，則，，則面，則點到面的距離等于點到面的距離為，因為面，面，，均為直角三角形，，得，，.作，可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.17.解：（1）當時，函數(shù)，得，則，所以的圖象在點處的切線方程為.（2）因為當時，，，.所以在上單調(diào)遞增，又，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上所述：單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由，且，得單調(diào)遞增，所以在上恒成立，又由題意恒成立，得，即恒成立，得恒成立，設(shè)，得，0極大值所以當時，最大為.所以恒成立，得.綜上，若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.18.解：（1）由題意，得，.又的離心率為，得，所以，則，得橢圓的方程為.（2）【法一】由題意當直線斜率不存在時，直線方程為，易得，此時.當直線斜率存在時，方程可設(shè)為，與拋物線聯(lián)立得整理得由.聯(lián)立，得，又，整理得且得設(shè)，，則，.得又點到直線距離為，由二次函數(shù)性質(zhì)知當（滿足）時，取得最大值為，綜上所述，得的面積的最大值為.【法二】由題意知直線斜率不為0，故方程可設(shè)為，與拋物線聯(lián)立得，直線與拋物線相切得，聯(lián)立，得，且.設(shè)，則，.又與軸交于點，則又，，當（此時，符合）時，取得最大值為綜上所述，得的面積的最大值為.【法三】由題意可設(shè)直線的切點為，則切線方程為當切點為原點時，易得當切點不是原點時，聯(lián)立整理得，得設(shè)，則，.得又點到直線距離為，當時（滿足），面積最大.綜上所述，得的面積的最大值為.【法四】設(shè)直線的切點為，即，則切線方程