251直線與圓的位置關(guān)系（第1課時）（教學(xué)設(shè)計）高二數(shù)學(xué)選擇性（人教A版2019）

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第1課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標理解直線和圓的三種位置關(guān)系．會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．會用代數(shù)法來判斷直線與圓的位置關(guān)系．能解決直線與圓位置關(guān)系的求切線方程、求弦長等綜合問題．教學(xué)重難點重點：會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，會用代數(shù)法來判斷直線與圓的位置關(guān)系．難點：能解決直線與圓位置關(guān)系的求切線方程、求弦長等綜合問題.學(xué)情分析與教材分析學(xué)情分析：學(xué)生剛剛學(xué)完直線的方程與性質(zhì)及圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系即為學(xué)生的眼前問題，而且有直線與直線位置關(guān)系研究的經(jīng)驗，學(xué)生應(yīng)該可以想到“聯(lián)立求解”的方法，通過分析交點個數(shù)研究直線與圓的位置關(guān)系，但是數(shù)形結(jié)合的方法需要教師的點撥，求弦長問題需要強化練習(xí)。教材分析：本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系。學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、點與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入新知教師：古詩里描寫道：“海上生明月，天涯共此時?！保鷦拥孛枥L了月出的絢麗景象。大家有沒有想過，在月出的過程中，其實也蘊含了有趣的數(shù)學(xué)知識。把太陽看作一個圓，海天交線看作一條直線，那么在日出的過程中，體現(xiàn)了直線和圓的哪些位置關(guān)系？學(xué)生：思考并回顧初中知識，馬上得出答案回顧初中知識，我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點．教師：教師針對學(xué)生的不同答案作出適時評價，并指出這是從形的角度給出的判定方法.設(shè)計意圖：直線與圓的位置關(guān)系在現(xiàn)實生活中有非常多的實例，通過日出的圖象來引入本節(jié)課的內(nèi)容，直觀且自然，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于實際生活的.教師：在前面平面解析幾何學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了：①直線的方程，圓的方程；②用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，請思考：類比用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，如何利用直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的三種位置關(guān)系呢？學(xué)生：類比思考，帶著問題進入本屆新課.新課探究回顧：在本章2.3.1的學(xué)習(xí)中，我們是如何用方程定量計算研究兩條直線的位置關(guān)系的？學(xué)生：回顧所學(xué)知識，翻閱相關(guān)筆記，得出答案聯(lián)立兩條直線方程，構(gòu)成方程組，方程組解的個數(shù)即可得到兩直線交點的個數(shù)，從而得出兩條直線位置關(guān)系.探究：類比以上方法，得出如何用方程定量計算研究直線與圓的的位置關(guān)系的方法.師生：類比探究，與同桌進行討論，得出答案，教師巡視，適當提示.聯(lián)立直線方程和圓的方程，構(gòu)成方程組，代入消元得到一個一元二次方程，計算?，即可判斷方程解的個數(shù)，從而可以得出直線與圓交點的個數(shù)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.應(yīng)用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.預(yù)設(shè)：聯(lián)立直線與圓的方程，得消去，得，所以方程③有兩個解，直線與圓有兩個公共點所以，直線與圓相交的位置關(guān)系為：相交．教師：以上判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，稱之為代數(shù)法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?師生：共同分析，已判斷直線與圓有兩個交點，若能求出兩個交點坐標，利用兩點間的距離公式即可求得弦長.學(xué)生：根據(jù)共同分析的思路進行自主求弦長.預(yù)設(shè)：解方程，得，．把，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個交點是，．因此所求弦長．師生：共同總結(jié)，1、代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟：①聯(lián)立：將直線方程和圓的方程聯(lián)立②消元：消元得到一元二次方程③算?：計算一元二次方程的?，得出?的正負性④定論：根據(jù)?的正負性，下結(jié)論2、代數(shù)法計算弦長：計算出直線與圓的兩個交點坐標，直接用兩點間的距離公式求弦長即可跟蹤練習(xí)：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：聯(lián)立直線與圓的方程，得消去，得，所以所以，直線與圓相交，有兩個公共點，它們位置關(guān)系為：相交.解方程③得，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個交點是，．因此所求弦長．新課探究思考：觀看以下動畫，思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？學(xué)生：觀看動畫，思考分析，尋找其他方法判斷直線與圓的位置關(guān)系.教師：將以上動畫的三個瞬間定格如下：再次思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？d:圓心到直線的距離，r：圓的半徑學(xué)生：自主分析總結(jié)，并得出結(jié)論：應(yīng)用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．學(xué)生：根據(jù)剛剛的探究，思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.預(yù)設(shè)：圓的方程可化為，因此圓心的坐標為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．教師：以上判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，稱之為幾何法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?知識小貼士：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧師生：根據(jù)垂徑定理，可以構(gòu)造一個直角三角形，然后利用勾股定理即可求得弦長.學(xué)生：根據(jù)共同分析的思路進行自主求弦長.預(yù)設(shè)：解如圖，由垂徑定理，得，解得師生：共同總結(jié)，1、幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟：①算r：將圓的方程化為標準方程得圓心坐標和半徑r.②算d：計算圓心到直線的距離d，③下結(jié)論：根據(jù)d與r的大小關(guān)系，下結(jié)論2、幾何法計算弦長：借助垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求弦長即可跟蹤練習(xí)：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：圓的方程圓心的坐標為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個公共點．由垂徑定理，得．思考：與初中的方法比較，你認為用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系有什么優(yōu)點？學(xué)生：回顧初中知識，并比較總結(jié)，得出結(jié)論：用方程判斷是定量計算分析，若相交或相切可以直接求出交點（切點）坐標追問：例1中兩種解法（代數(shù)法和幾何法）的差異是什么？學(xué)生：相互討論和探討，得出結(jié)論：解法1，即代數(shù)法是直接運用直線和圓的方程組成的方程組，有無實數(shù)解的情況判斷直線圓位置關(guān)系，完全代數(shù)的方法，比較容易想到，計算量比較大.解法2，即幾何法是利用圖形中的相關(guān)幾何量(圓心到直線的距離，圓的半徑)的大小比較，判斷直線與圓位置關(guān)系.利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算.例2過點作圓的切線，求切線的方程．師生：共同分析，設(shè)切線方程為：，因為相切，聯(lián)立消元后的一元二次方程只有個解，即，從而求出學(xué)生：根據(jù)剛剛的共同分析，思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.預(yù)設(shè)：設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2．因為直線與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因為方程①只有一組解，所以．解得或．因此，所求切線的方程為，或．教師：以上求切線方程的方法為：代數(shù)法師生：共同總結(jié)，1、代數(shù)法求圓外一點的切線方程：①設(shè)斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點斜式寫出直線的方程:y?y③聯(lián)立算?：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，計算?；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程2、注意事項：①過圓外一點的切線一定會有兩條②若解方程?=0只有一個解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點作圓的切線，求切線的方程．師生：共同分析，設(shè)切線方程為：，因為相切，圓心到直線的距離d=r，從而求出學(xué)生：根據(jù)剛剛的共同分析，思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.預(yù)設(shè)：設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即．由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得或．因此，所求切線的方程為，或．師生：共同總結(jié)，1、幾何法求圓外一點的切線方程：①設(shè)斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點斜式寫出直線的方程:y?y③算d和r：計算圓心到直線的距離d和圓的半徑r；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程；2、注意事項：①過圓外一點的切線一定會有兩條②②若解方程d=r只有一個解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點作圓的切線，用兩種方法求切線的方程．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：法一：1°當切線的斜率不存在時，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2．因為直線與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因為方程①只有一組解，所以．解得．因此，所求切線的方程為，或．法二：1°當切線的斜率不存在時，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得．因此，所求切線的方程為，或．能力提升題型一：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)（值）范圍例題1已知直線方程,圓的方程.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點?法一：將直線代入圓的方程,得,∴當,即時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點;當,即時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點;當,即時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.法二：已知圓的方程可化為(x2)2+(y1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線的距離.∴當,即時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點;當,即時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點;當,即時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點.方法總結(jié)：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)（值）范圍代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，利用?>0（相交）、?<0（相離）、?=0（相切）建立不等式（方程）即可解出參數(shù)的范圍（值）幾何法：求圓心到直線的距離d和圓心半徑r，利用d<r（相交）、d>r（相離）、d=r（相切）建立不等式（方程）即可解出參數(shù)的范圍（值）題型二：求過圓上一點的圓的切線方程例題2已知過點P(2,2)的直線l與圓相切,求直線l的方程.法一：圓的圓心坐標，半徑，又，所以，易知在圓上，且直線l與圓相切所以，所以所以，所求切線方程為：，即法二：圓的圓心坐標，半徑，設(shè)過點的直線的斜率為，（1）當k不存在時，直線l為：，易知與圓不相切，不符合題意；（2）當k存在時，則直線方程，即，由于直線和圓相切，故，得，所以，所求切線方程為：，即方法總結(jié):求過圓上一點P的圓C的切線方程法一：先判斷點P在圓上，則點P為切點；然后用切點和圓心坐標，求直線PC的斜率；然后利用切線與直線PC垂直，求出切線斜率；最后用點斜式即可求切線方程.法二：設(shè)切線的斜率為k，點斜式寫出切線方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用點斜式即可求切線方程.注意：若方程無解，則說明切線斜率不存在.題型三：過圓內(nèi)一定點動直線被圓截的最短弦長問題例題3已知圓，直線.求直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.預(yù)設(shè)：直線，可化為，聯(lián)立解得故直線恒過定點.由，配方得，所以圓心，半徑為，直線恒過定點，當直線時，直線被圓截得的弦長最短.因為直線的斜率為，故直線的斜率為，解得.此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為.方法總結(jié)：過圓內(nèi)一定點動直線被圓截的最短、最長弦長問題先求動直線的定點坐標，若定點在圓內(nèi)，則該動直線被圓截的弦長有最大值和最小值：最大值：當動直線同時過定點和圓心時，弦長最長，為直徑；最小值：當定點為弦的中點時，即定點與圓心的連線與動直線垂直時弦長最短，結(jié)合垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，勾股定理可求最短弦長.課堂小結(jié)隨堂限時小練1．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【詳解】圓，即，其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系為相切.故選：C2．若圓被直線平分，則（

）A．2 B． C． D．【詳解】由題意得圓心在直線上，則，解得.選D.3．已知圓與直線交于，兩點，則經(jīng)過點，，三點的圓的標準方程為．【詳解】聯(lián)立直線和圓，解得，設(shè)圓的標準方程為，則有，解得，所以圓的標準方程為.4．已知圓，則圓在點處的切線方程為．【詳解】因為點在圓上，又的圓心為，所以，易知，直線PC與所求切線垂直，所以所求切線的斜率為：，所以圓在點處的切線方程為，即．5．過點M（2，4）向圓引切線，求其切線的方程．【詳解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故點M在圓外．當切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故，解得．所以切線方程為24x－7y－20＝0．又當切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2．6．直線與圓交于兩點，則弦的長（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑，因為到直線的距