福建省永春一中培元季延石光中學(xué)四校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2018屆高三年畢業(yè)班第二次聯(lián)合考試試卷（數(shù)學(xué)理科）2018屆高三年畢業(yè)班第二次聯(lián)合考試試卷（數(shù)學(xué)理科）季延中學(xué)石光中學(xué)組卷學(xué)校：永春一中考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分本試卷分第I卷和第II卷兩部分第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求，每小題選出答案后，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。1.若集合，集合，全集為，則等于A．B．C．D．2.已知是的共軛復(fù)數(shù)，若（其中為虛數(shù)單位），則的虛部為A．B．C．D．3.若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為A. B．C. D.4.在等差數(shù)列中，若，則A.B.C.D.5.四棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，則側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為A.B.C.D.6.學(xué)校體育節(jié)的乒乓球決賽比賽正在進(jìn)行中，小明必須再勝盤才最后獲勝，小杰必須再勝盤才最后獲勝，若兩人每盤取勝的概率都是，則小明連勝盤并最后獲勝的概率是A. B. C. D.7.函數(shù)的定義域是，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則圖象大致是A.B.C.D.8.某同學(xué)想求斐波那契數(shù)列，，，，…（從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和）的前項(xiàng)的和，他設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖，那么在空白矩形框和判斷框內(nèi)應(yīng)分別填入的語句是A．；B．； C．； D．；9.已知曲線：，曲線：，則下面結(jié)論正確的是A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移得到B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移得到C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移得到D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移得到10.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為A．B．C．D．11.已知拋物線，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，若的面積記為,的面積記為,則的最小值是A． B．C. D.12.已知，，若，則的最小值為A．B．C．D．第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的橫線上。13.已知向量與的夾角為，，，則．14.某商場(chǎng)在今年情人節(jié)的促銷活動(dòng)中，對(duì)2月14日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示,后面三組成等差數(shù)列，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2萬元，則12時(shí)至1315.實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是．16.四邊形中，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，為等腰直角三角形，,沿將翻折成三棱錐，，此時(shí)點(diǎn)，，，在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是為.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡各自題目的答題區(qū)域內(nèi)作答。17.（本題滿分10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.（本題滿分12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，過作在,在線段上，且,.求的面積的最大值．19.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，。（Ⅰ）證明：平面面；（Ⅱ）若,若二面角余弦值為，求直線與面所成角的正切值．20．（本題滿分12分）某工廠改造一廢棄的流水線，為評(píng)估流水線的性能，連續(xù)兩天從流水線生產(chǎn)零件上隨機(jī)各抽取件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：記抽取的零件直徑為第一天，直徑/5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100第二天直徑/5860616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11245213421332111100經(jīng)計(jì)算，第一天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差；第二天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差（Ⅰ）現(xiàn)以兩天抽取的零件來評(píng)判流水線的性能.(i)計(jì)算這兩天抽取200件樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）；(ii)現(xiàn)以頻率值作為概率的估計(jì)值，根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率），①；②；③評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為優(yōu)；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為良；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為合格；若全部不滿足，則等級(jí)為不合格，試判斷流水線的性能等級(jí).（Ⅱ）將直徑在范圍內(nèi)的零件認(rèn)定為一等品，在范圍以外的零件認(rèn)定為次品，其余認(rèn)定為合格品.現(xiàn)從件樣本除一等品外的零件中抽取個(gè)，設(shè)為抽到次品的件數(shù)，求的分布列及其期望．附注：參考數(shù)據(jù)：,,；參考公式：標(biāo)準(zhǔn)差.21.（本題滿分12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，交軸于點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于，交軸于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．22.（本題滿分12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：．

永春一中培元中學(xué)永春一中培元中學(xué)季延中學(xué)石光中學(xué)參考答案一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.B2.A3.B4.A5.C6.C7.A8.B9.C10.D11.C12.D二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15.，或 16.三、解答題：（17題10分，1822題各12分，共70分）17.（本題滿分10分）解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；…………1分當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.…………3分a1也滿足an＝n，…………4分故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.…………5分(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．…………6分記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，…………8分B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.…………9分故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.…………10分18.（本題滿分12分）解：（1）由正弦定理可得…………2分化簡(jiǎn)得，…………4分…………6分（2）設(shè)，則…………7分,…………8分…………9分又…………11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).…………12分19.（本題滿分12分）解析：（1），為直角梯形，，.…………………1分即.………………2分又和為面的兩條交線,…………3分面.……………4分又,……………5分.……………………6分（2）設(shè)，易得為等腰直角三角形.取中點(diǎn),中點(diǎn)，連接,,以，，分別為，，軸.則,,,.…………………7分設(shè)，易得面的法向量.…8分設(shè)面的法向量，又，,由，得令則.…………………10分因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?，，解?………………11分則直線與面所成角的正切值為.………12分20.（本題滿分12分）解：（Ⅰ）（i）依題意：200個(gè)零件的直徑平均值為.1分由標(biāo)準(zhǔn)差公式得：第一天：，第二天:，則故……………………4分（注如果寫出不給分）(ii)由（1）可知：，，僅滿足一個(gè)不等式，判斷流水線M的等級(jí)為合格.………6分（Ⅱ）可知200件零件中合格品7個(gè)，次品4個(gè)，的可能取值為0,1,2，則,,，…………………10分的分布列則.……………………12分21.（本題滿分12分）解：(1)∵2a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2，c＝1，b＝eq\r(3).…………3分∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.…………4分設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理，得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.…………5分∵x＝x0是方程的兩個(gè)相等實(shí)根，∴2x0＝－eq\f(8k(y0－kx0),3＋4k2)，…………6分解得k＝－eq\f(3x0,4y0).…………7分∴直線l的方程為y－y0＝－eq\f(3x0,4y0)(x－x0)．…………8分令x＝0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為．又∵eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，∴4yeq\o\al(2,0)＋3xeq\o\al(2,)0＝12.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，eq\f(3,y0))．…………9分又直線l′的方程為y－y0＝eq\f(4y0,3x0)(x－x0)，令x＝0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－eq\f(y0,3))．…………10分∴以AB為直徑的圓的方程為x·x＋(y－eq\f(3,y0))·(y＋eq\f(y0,3))＝0.整理得x2＋y2＋(eq\f(y0,3)－eq\f(3,y0))y－1＝0.令y＝0，得x＝±1，∴以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(1,0)和(－1,0)．…………12分22.（本題滿分12分）解：（Ⅰ）.………………1分當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；……………2分當(dāng)時(shí)，由可得，.若即，則對(duì)于恒成立；…………………3分若即，則由可得，或；由可得；……4分若即，則由可得，或；由可得.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.………5分（Ⅱ）解：當(dāng)，時(shí)，.記，則.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，即方程有兩個(gè)根.也就是直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).…………6分記，則，所以函數(shù)在在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.又，，當(dāng)時(shí)，且.…………………7分所以，