第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式-綜合檢測(cè)3（拔尖卷）（解析版）

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，，則有A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q【試題來源】廣東省佛山市南海區(qū)獅山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期階段一（月考）【答案】B【分析】利用作差法可判斷兩者的大小關(guān)系．【解析】，故，故選B．2．已知x>0，y>0，且xy=10，則的最小值為A．2 B．3C．4 D．6【試題來源】廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解【解析】因?yàn)閤>0，y>0，且xy=10，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，故選C3．若不等式的解集為空集，則的取值范圍是A． B．，或C． D．，或【試題來源】北京市通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)2021-2022學(xué)年高一10月診斷【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，從而即可求出的取值范圍．【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榭占?，所以，所以．故選C．4．今有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不等，其余均精確．現(xiàn)將一物體放在左、右托盤各稱一次，稱量結(jié)果分別為和，設(shè)該物體的真實(shí)質(zhì)量為，則A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊(cè)學(xué)習(xí)幫手第二章（第一課時(shí)）【答案】B【分析】設(shè)天平的兩臂的長(zhǎng)度分別為和，得到且，且，結(jié)合基本不等式，即可求解．【解析】設(shè)天平的兩臂的長(zhǎng)度分別為和，若兩次稱量結(jié)果分別為，則有且，且，兩式聯(lián)立可得，即，又由，可得，則．故選B．5．已知，，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市尚志中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】D【分析】令求，再利用不等式的性質(zhì)求的取值范圍．【解析】令，所以，即，所以，故．故選D6．若，且，則的取值范圍A． B．C． D．【試題來源】安徽省六安市霍邱縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次段考【答案】D【分析】化簡(jiǎn)整理式子可得，再利用基本不等式即可求解．【解析】由，且，則，即，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，解得．故選D7．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，那么不等式成立的的范圍是A． B．C． D．【試題來源】福建省廈門第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一9月數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題【答案】C【分析】根據(jù)不等式可求出，然后結(jié)合的含義即可求出的范圍．【解析】由，得，又表示不大于x的最大整數(shù)，所以．故選C．8．若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是A． B．C．或 D．或【試題來源】湖南省部分學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考【答案】D【分析】令，解得或．對(duì)兩個(gè)根進(jìn)行分類討論，即，，三種情況，求出解集后，再讓解集中含有兩個(gè)整數(shù)，即可得到答案；【解析】令，解得或．當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，不等式無解，所以不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，則，解得．綜上，的取值范圍是或．故選D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列四個(gè)命題正確的有A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】遼寧省沈陽市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次段考【答案】BD【分析】A．舉反例說明該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由不等式的乘法性質(zhì)得該選項(xiàng)正確；C．符合不能確定，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．利用作差法判斷得該選項(xiàng)正確．【解析】A．若，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．若，則，由不等式的乘法性質(zhì)得該選項(xiàng)正確；C．若，則符號(hào)不能確定，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．若，則，則，所以該選項(xiàng)正確．故選BD.10．下列選項(xiàng)中正確的有A．不等式恒成立 B．，則C．的最小值為1 D．存在a，使得不等式【試題來源】福建省福州第三中學(xué)（濱海校區(qū)）2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式的條件即可判斷A、C、D；利用作差法即可判斷B．【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，又因，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得不等式成立，故D正確．故選BD．11．若不等式的解集是，則以下正確的有A．a(chǎn)＜0 B．C． D．的解集為（﹣2，）【試題來源】江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一元二次不等式的性質(zhì)可求解．【解析】不等式的解集是，開口向下，故A正確；，是方程的個(gè)兩根，，故B正確；根據(jù)對(duì)稱軸和可推出，帶入選項(xiàng)中的式子可得，故C正確；，是方程的個(gè)兩根，，當(dāng)，，故解得，D錯(cuò)誤；故選ABC12．下列說法正確的有A．的最小值為2B．函數(shù)的最小值為2C．若正數(shù)x?y滿足，則的最小值為3D．設(shè)x?y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為【試題來源】黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】CD【分析】A．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值不可能是2，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．沒有實(shí)數(shù)解，所以等號(hào)不能成立，所以函數(shù)的最小值不是2，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．利用基本不等式求出的最小值為3．所以該選項(xiàng)正確；D．求出，故的最大值為，所以該選項(xiàng)正確．【解析】A．，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值不可能是2，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．函數(shù)，但是沒有實(shí)數(shù)解，所以等號(hào)不能成立，所以函數(shù)的最小值不是2，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．由題得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．所以該選項(xiàng)正確；D．，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，所以該選項(xiàng)正確．故選CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則的取值范圍為___________．【試題來源】福建省福州第三中學(xué)（濱海校區(qū)）2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得；【解析】：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，則的取值范圍為，故答案為.14．關(guān)于x的不等式x2+ax+a≤1對(duì)一切x∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍為___________．【試題來源】廣西崇左市高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】【分析】原不等式可化為，設(shè)，則由題意可得，從而可求得a的取值范圍【解析】原不等式可化為，設(shè)，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+ax+a≤1對(duì)一切x∈（0，1）恒成立，所以，即解得，所以a的取值范圍為，故答案為.15．已知，，均為正數(shù)，則的最大值為___________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊(cè)學(xué)習(xí)幫手第二章（第二課時(shí)）【答案】【分析】先利用基本不等式判斷出，即可求出的最大值．【解析】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．所以，所以，的最大值為．故答案為．16．若關(guān)于的不等式組無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【試題來源】上海市奉賢中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】【分析】先求得不等式的解集，再結(jié)合題意，即可得答案．【解析】不等式，所以，解得，因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以．故答案為四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知關(guān)于x的不等式ax2+4ax-3<0．（1）若a=1，求不等式的解集∶（2）若不等式的解集是R，求a的取值范圍．【試題來源】廣西崇左市高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】（1）；（2）【分析】（1）由a=1，得到不等式x2+4x-3<0，然后利用一元二次不等式的解法求解；（2）根據(jù)不等式的解集是R，利用判別式法求解．【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式為x2+4x-3<0，，則相應(yīng)方程有兩個(gè)根，，所以不等式的解集是；（2）因?yàn)椴坏仁降慕饧荝，當(dāng)時(shí)，不等式為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上：求a的取值范圍．18．（12分）（1）若，試比較與的大小；（2）已知，．求的取值范圍．【試題來源】廣西壯族自治區(qū)桂林市桂林中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用作差法，即可比較代數(shù)式的大?。?）利用不等式的性質(zhì)求的取值范圍即可．【解析】（1）由題設(shè)，，所以．（2）由題設(shè)，，而，所以．19．（12分）已知，，均為正數(shù)，且，求證：（1）；（2）．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊(cè)學(xué)習(xí)幫手第二章（第二課時(shí)）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）利用基本不等式直接證明即可．（2）利用基本不等式直接證明即可．【解析】證明：（1）因?yàn)?，，均為正?shù)，，所以，，，三式相乘，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）因?yàn)椋?，均為正?shù)，，所以，，，三式相加，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．20．（12分）已知函數(shù)．（1）關(guān)于x不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)（1）中m取值范圍為集合A，又集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【試題來源】遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集為空集的條件列出不等式即可求解作答；（2）由（1）并結(jié)合確定，求出集合B即可列出不等式作答．【解析】（1）因的解集為空集，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為；（2）由（1）知，，因，顯然，，即在內(nèi)存在數(shù)在集合B中，于是得，，因此有，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21．（12分）某電動(dòng)摩托車企業(yè)計(jì)劃在2021年投資生產(chǎn)一款高端電動(dòng)摩托車．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，生產(chǎn)該款電動(dòng)摩托車需投入設(shè)備改造費(fèi)1000萬元，生產(chǎn)該款電動(dòng)摩托車x萬臺(tái)需投入資金）萬元，且，生產(chǎn)1萬臺(tái)該款電動(dòng)摩托車需投入資金3000萬元；當(dāng)該款電動(dòng)摩托車售價(jià)為5000（單位∶元臺(tái)）時(shí)，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的該款摩托車能全部銷售完．（1）求m的值，并寫出2021年該款摩托車的年利潤(rùn)Z（單位∶萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位∶萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)2021年該款摩托車的年產(chǎn)盤x為多少時(shí)，Z年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（年利潤(rùn)=銷售所得-投入資金-設(shè)備改造費(fèi)）【試題來源】廣東省佛山市南海區(qū)獅山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期階段一（月考）【答案】（1），；（2），此時(shí)．【分析】（1）由題設(shè)中的生產(chǎn)1萬臺(tái)該款電動(dòng)摩托車需投入資金3000萬元可求，利用銷售額減去成本可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式可求年利潤(rùn)最大值以及何時(shí)取最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故．（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上的最大值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)?，故，此時(shí)．答：當(dāng)2021年該款摩托車的年產(chǎn)盤萬臺(tái)時(shí)，Z年利潤(rùn)最大且最大年利潤(rùn)為．22．（12分）已知函數(shù)過點(diǎn)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式：．【試題來源】黑龍江省大慶鐵人中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】（1）；（2）答案見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，由待定系數(shù)法和二次