《降冪公式、半角公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/23.1.4降冪公式、半角公式（名師：沈家?。┮?、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過讓學(xué)生自己動(dòng)手由二倍角公式的變形推導(dǎo)出降冪公式以及半角公式，并會運(yùn)用公式進(jìn)行靈活變形計(jì)算，在數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理中體會轉(zhuǎn)化與化歸、降元與換元的數(shù)學(xué)思想方法.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過二倍角公式的變形推導(dǎo)出降冪公式，加深理解降元、三角恒等變換的基本思想方法．2．經(jīng)歷二倍角變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，并明確“±”號的選取，進(jìn)一步體會化歸、換元的數(shù)學(xué)思想．3．能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．降冪公式的推導(dǎo)．2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、變形應(yīng)用．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1．降冪公式、半角公式與倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．2．運(yùn)用半角公式時(shí)正負(fù)號的選?。?、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）“倍角”的含義是什么？“倍角”是描述兩個(gè)角之間的關(guān)系，具有相對性.例如：2是的倍角，4是2的倍角，是的倍角．（2）二倍角公式可以怎樣進(jìn)行變形？移項(xiàng)變形得到：、若已知二倍角函數(shù)值，開根號可得到單角函數(shù)值：、若已知單角函數(shù)值，換元后可得到半角函數(shù)值：、2．預(yù)習(xí)自測1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)α是第一象限角時(shí),；②對任意角α,都成立；③半角的正余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.A.0B.2C.1D.3答案：C解析：【知識點(diǎn)】降冪公式、半角公式概念辨析．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過程】當(dāng)α是第一象限角時(shí)，，∴，∴在第一、三象限，故，①錯(cuò)；此式子必須使tan有意義且1+cosα≠0,即：②錯(cuò)；由半角公式推導(dǎo)過程可知③正確．點(diǎn)撥：明確“±”號的選取以及公式適用條件．（2）求的值．答案：．解析：【知識點(diǎn)】降冪公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】．點(diǎn)撥：降元化為特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求值．（3）求值．答案：；；．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】;;．點(diǎn)撥：利用半角公式化為特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求值．（4）已知，則sin=（）A．B．C．D．答案：D．解析：【知識點(diǎn)】半角公式中“±”號的選?。緮?shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】．點(diǎn)撥：明確“±”號選取的原則．(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識回顧（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：（2）二倍角公式的使用條件：①公式中的α∈R.②公式中的（3）運(yùn)用二倍角公式，首先要準(zhǔn)確把握“二倍角”這個(gè)概念，明確“倍角”的相對性，它指的是兩個(gè)角的一個(gè)“倍數(shù)”關(guān)系，不僅僅指2α是α的二倍角，還可以是、的二倍角等等．2．問題探究探究一降冪公式●活動(dòng)①二倍角公式的變形思考1:如何用cos2α表示、？利用二倍角公式進(jìn)行移項(xiàng)變形，由得：、思考2:、這兩個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的)我們稱①②為降冪公式．【設(shè)計(jì)意圖】教師與學(xué)生一起總結(jié)出降冪公式的特點(diǎn),并告訴學(xué)生倍角公式和降冪公式被廣泛用于三角函數(shù)式的化簡、求值、證明．探究二半角公式★▲●活動(dòng)①半角公式的推導(dǎo)思考1：⑴α與有什么關(guān)系?⑵如何建立cosα與的三角函數(shù)之間的關(guān)系？解析：α是的兩倍角；利用降冪公式，將公式中的α用代替即可得cosα與的三角函數(shù)之間的關(guān)系．在降冪公式、以及中，以α代替2α以代替α即得：∴①cos2=②③思考2：上面①②③式還可以怎樣變形處理？結(jié)果還可以變形為:中：并稱之為半角公式(不要求記憶),符號由所在象限決定．觀察上面的①②③式，總結(jié)：用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)．思考3：半角正切公式還有其他的表示式嗎？①②該表達(dá)式中的符號由sinα確定，避免了符號的討論，使用起來非常方便．【設(shè)計(jì)意圖】通過進(jìn)一步的三角恒等變形，培養(yǎng)學(xué)生推導(dǎo)能力，同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識到新公式產(chǎn)生的根源．●活動(dòng)②符號的確定思考1：若給出的角α是某一象限的角時(shí)，怎么確定半角三角函數(shù)表示式前的符號？原則：公式相等的前提條件是左右兩邊符號一致，即左邊的三角函數(shù)值在所在象限的符號就是右邊的符號，根據(jù)下表決定符號：αsincostan第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限思考2：如果沒有給出限定符號的條件，怎么辦？在根號前保留正負(fù)兩個(gè)符號．【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)問題的過程，明確利用半角公式求三角函數(shù)值易錯(cuò)的地方．探究三降冪公式、半角公式的應(yīng)用★▲●活動(dòng)①歸納梳理，理解提升（1）降冪公式：①②（2）半角公式：中：（3）半角公式符號選取原則：左邊的三角函數(shù)值在所在象限的符號就是右邊的符號．【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生歸類整理意識，并能熟練運(yùn)用這些變形公式．●活動(dòng)②鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1.若sin80°=m,則用含m的式子表示cos5°=________．【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】由題意得：sin80°=cos10°=m,∴．【思路點(diǎn)撥】利用半角公式求值，并準(zhǔn)確判斷符號．【答案】．同類訓(xùn)練cosx=,且,則cos=______．答案：解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】∵,∴,是第二象限角，∴．點(diǎn)撥：利用半角公式求值，并準(zhǔn)確判斷符號．例2.求的值．答案：．解析：【知識點(diǎn)】降冪公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】．點(diǎn)撥：降冪化為特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求值．同類訓(xùn)練_________．答案：2．解析：【知識點(diǎn)】倍角公式的靈活運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】．點(diǎn)撥：二倍角公式靈活化簡．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固降冪公式、半角公式，并熟練應(yīng)用．●活動(dòng)③強(qiáng)化提升，靈活應(yīng)用例3已知求．【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】∵∴又∵，∴．∴；；．【思路點(diǎn)撥】利用半角公式時(shí)注意符號取值．【答案】；；2．同類訓(xùn)練化簡：．答案：．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】原式=．點(diǎn)撥：利用半角公式，可避免“±”的討論．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固半角公式，注意靈活選取半角的正切公式．3．課堂總結(jié)知識梳理（1）降冪公式：①②（2）半角公式：中：重難點(diǎn)歸納（1）半角公式符號選取原則：左邊的三角函數(shù)值在所在象限的符號就是右邊的符號．（2）運(yùn)用半角的正切公式，為避免符號的選擇，最好選用后面的兩個(gè)公式．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．下列各式恒成立的是（） 答案：B．解析：【知識點(diǎn)】降冪公式、半角公式以及適用條件．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】A選項(xiàng)中，要求除外，還必須有；B選項(xiàng)中，可以取一切實(shí)數(shù)；C選項(xiàng)中,要求且；D選項(xiàng)中，要求．點(diǎn)撥：明確角α的限制條件．2．設(shè)，化簡的結(jié)果是（）A．B．C．D．答案：C．解析：【知識點(diǎn)】利用半角公式進(jìn)行化簡．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】∵，則，∴．點(diǎn)撥：注意“±”的選?。?．設(shè)．答案：．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】若，則，∴，則．點(diǎn)撥：利用半角公式．4．已知的值．答案：見解題過程．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸、分類討論思想．【解題過程】①當(dāng)α在第三象限時(shí)，此時(shí)，在第二象限，②當(dāng)α在第四象限時(shí)，此時(shí)，在第二象限，點(diǎn)撥：注意對角α的范圍進(jìn)行分類討論．5．利用半角公式，求的值．答案：．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】．點(diǎn)撥：利用半角公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解．6．函數(shù)，的值域是（）A．B．C．D．答案：C．解析：【知識點(diǎn)】降冪公式、兩角差的正弦公式逆用．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】 ∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椋c(diǎn)撥：靈活利用公式進(jìn)行變形化簡．能力型師生共研7．化簡等于（）A．B．2C．2D．答案：B．解析：【知識點(diǎn)】半角公式的逆用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】點(diǎn)撥：使根號下不含三角函數(shù)8．求的值．答案：．解析：【知識點(diǎn)】利用降冪公式、兩角差的余弦公式化簡．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】點(diǎn)撥：統(tǒng)一角、統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，化為特殊角的三角函數(shù)求值．探究型多維突破9．化簡，其中答案：．解析：【知識點(diǎn)】三角函數(shù)式化簡．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】點(diǎn)撥：式中有角α及，可用半角公式把α化為的三角函數(shù)．10．證明：．【知識點(diǎn)】三角函數(shù)式化簡．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】點(diǎn)撥：弦化切，統(tǒng)一三角函數(shù)名，利用半角正切公式化簡．答案：見解題過程．自助餐1．已知α是第三象限角，且，則等于（）A．B．C．D．【知識點(diǎn)】半角的正切公式．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】由α是第三象限角及知,∴.【思路點(diǎn)撥】利用半角的正切公式，切化弦．【答案】D．2．等腰三角形頂角的余弦是，則底角的正弦是_______，正切是_______．【知識點(diǎn)】半角公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想．【解題過程】設(shè)底角為α，則頂角為，而，即，∴，，∴【思路點(diǎn)撥】利用半角公式求解．【答案】；．3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A．1B．C．D．【知識點(diǎn)】降冪公式、輔助角公式．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】由已知得，當(dāng)時(shí)，，，因此的最大值等于．【思路點(diǎn)撥】利用降冪公式、輔助角公式化簡．【答案】C．4．已知，且滿足，則的值為（）．A．B．C．D．【知識點(diǎn)】二倍角公式、降冪公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】降元、化歸思想．【解題過程】.又∵，解得.又，∴.∴．【思路點(diǎn)撥】遇弦化切．【答案】C．5．已知，則．【知識點(diǎn)】倍角公式、升冪公式的運(yùn)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想、分類討論思想．【解題過程】,即,.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式求解值時(shí)注意分