2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題02數(shù)列求通項(xiàng)(累加法、累乘法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題02數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：累加法 2題型二：累乘法 4三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍一、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=二、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：二、典型題型題型一：累加法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；3．（23-24高二下·廣西桂林·階段練習(xí)）在數(shù)列中，.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求的通項(xiàng)公式.4．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前9項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列．(1)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；5．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；6．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)都有，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型二：累乘法1．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；2．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，（，）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（23-24高三上·貴州安順·期末）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；5．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式.6．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）（1）在數(shù)列中，已知，且，求7．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．求的通項(xiàng)公式；9．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；10．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；11．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；12．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．專題02數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：累加法 2題型二：累乘法 6三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍一、累加法（疊加法）若數(shù)列an滿足an+1?an=f(n)(n∈具體步驟：aaa?????????????????????????????????????????a將上述n?(a2整理得：an?二、累乘法（疊乘法）若數(shù)列an滿足an+1an=f(n)(n∈N具體步驟：aaa?????????????????????????????????????????a將上述n?整理得：a二、典型題型題型一：累加法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an【答案】(1)；【分析】（1）當(dāng)n=1時(shí)，求得，當(dāng)n≥3時(shí)，得到2Sn?1=n?1an?1【詳解】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，2S1=2當(dāng)n≥3時(shí)，2S兩式相減可得，n?2a則ana疊加可得，ann?1?而n=1,2時(shí)也符合題意，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為．2．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，a1=2,(1)求an【答案】(1)an【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，求得an+1?a【詳解】（1）因?yàn)閍2?a所以數(shù)列an+1所以an+1當(dāng)n≥2時(shí)，a=2n+2=n當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以an=3．（23-24高二下·廣西桂林·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，.(1)證明：an+1(2)求an【答案】(1)證明見解析(2)a【分析】（1）將已知等式變形為an+2（2）由（1）可得an+1?a【詳解】（1）證明：在數(shù)列an中，an+2=3又a2=2,a1=0故an+1（2）由（1）可得an+1故n≥2時(shí)，a=2a1=0也適合該式，故4．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列an的前9項(xiàng)和S9=45，且a2，(1)若數(shù)列bn滿足b1=a1，2【答案】(1)a【分析】（1）由題意，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式和等比中項(xiàng)的應(yīng)用可得a1=1,d=1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得an【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}由S9=45得，9a由a2,a化簡得d2?a1d=0所以a1故數(shù)列{an}∴b當(dāng)n≥2,n∈N?=n?1當(dāng)n=1時(shí)，b1故bn的通項(xiàng)公式為b5．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+n+4(1)求an，b【答案】(1)an=【分析】（1）直接利用Sn與an的關(guān)系求解an【詳解】（1）由題知，當(dāng)n=1時(shí)，S1當(dāng)n≥2時(shí)，an因?yàn)閍1=3，所以因?yàn)閎n=b則n≥2,=1n=1時(shí)符合，故bn綜上，an=3,n=16．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且對(duì)任意正整數(shù)n都有a(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）利用累加法可求得數(shù)列an【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列an滿足a1=1，且對(duì)任意正整數(shù)n都有a則an+1所以，a2?a1=2，，a4上述n個(gè)等式全加得an+1所以，an+1故當(dāng)n≥2時(shí)，an=nn+12故對(duì)任意的n∈N?，題型二：累乘法1．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）由4Sn=2n+1a【詳解】（1）因?yàn)?Sn=2n+1a因?yàn)?S所以4S兩式相減得4a即2n?3a所以an所以，即，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an又a1=1，所以2．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2(1)求證：數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=6，且，求數(shù)列bn的前n【答案】(1)證明見解析(2)12?【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質(zhì)與an與S（2）借助累乘法可計(jì)算出數(shù)列bn，借助裂項(xiàng)相消法可得T【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列Snn的公差為d，則S4因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，所以Snn=n+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an=2nn∈（2）由（1）可知，當(dāng)n≥2時(shí)，，因?yàn)閎1=6滿足上式，所以．3．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知數(shù)列an中a1=12，a(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)題意，由迭代法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)閍n=n?1n+1an?1（n≥2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，a=n?1當(dāng)n=1時(shí)，a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a4．（23-24高三上·貴州安順·期末）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=1，且(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）構(gòu)造Snan是等差數(shù)列，結(jié)合S【詳解】（1）∵?n∈N?，anS∵a1=1，∴數(shù)列Sn則Sn即2Sn=兩式作差得2a即anan?1=即ana1∵a1=1符合上式，∴5．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a【答案】a【分析】利用項(xiàng)與和的關(guān)系化簡條件式，結(jié)合累乘法求出通項(xiàng).【詳解】因?yàn)閍n當(dāng)n=2時(shí)，可得a2當(dāng)n≥3時(shí)，可得an?1兩式相減得，an?a且，即，所以an且a2=1滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a6．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a【答案】a【分析】利用累乘法求數(shù)列通項(xiàng).【詳解】因?yàn)閍n+1所以，則an+1a故a===3×2所以數(shù)列{an三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=1，，且(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）依題意可得an+2?an+1=【詳解】（1）因?yàn)閍n+2+a所以數(shù)列an+1?an是公差為于是an+1則an?an?1=8a3?a所以an所以an=4n2?4n+12．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a(1)求數(shù)列an【答案】(1)an【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用累加法求出an【詳解】（1）數(shù)列an中，a當(dāng)n≥2時(shí)，a=2+2(1?2n?1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a3．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）（1）在數(shù)列an中，已知，且an+1=【答案】（1）220【分析】（1）利用累加法及等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式即可求解；【詳解】（1）因?yàn)閍n+1=a所以a2?a1=2+1將以上各式相加得a20因?yàn)椋詀20=所以220+1904．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在①當(dāng)n≥2時(shí)，an?an?1=2n?1已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）選條件①，利用累加法求通項(xiàng)公式；選條件②，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式；【詳解】（1）方案一：選條件①．當(dāng)n≥2時(shí)，a=2n?1又a1因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a方案二：選條件②．由數(shù)列an為等差數(shù)列，可設(shè)a則an=kn+b因此an又?jǐn)?shù)列ann為等差數(shù)列，因此b=0，從而又a1=1，所以因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a5．（23-24高二上·河北唐山·期末）數(shù)列an滿足a1=1，a(1)求a3，a(2)證明：數(shù)列an+1【答案】(1)，a4(2)證明見解析【分析】（1）令n=1，n=2，結(jié)合遞推關(guān)系即可求解；（2）利用等差數(shù)列的定義證明即可；【詳解】（1）令n=1，得a3令n=2，得a4（2）an+2所以an+1?a6．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）利用累加法計(jì)算可得；【答案】(1)a【分析】（1）由an=Sn?【詳解】（1）由2Sn=nan整理得：n?1an+1=nan所以n≥2時(shí)，an又n=1時(shí)，2a1=故an10．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知數(shù)列an滿足.(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)題意，由累乘法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由題意，anan?1=n+1n?1所以a=n+1n?1×當(dāng)n=1時(shí)，也滿足a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為11．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）由an=&【詳解】（1）因?yàn)?Sn=3n+2a所以，當(dāng)n≥2時(shí)，6S所以6S所以anan?1=3n?13n?4，an?1累乘得a所以an當(dāng)n=1時(shí)也成立，所以an=3n?112．（2024·廣東深圳·一模）