163二次根式的加減（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》16.3二次根式的加減知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一可合并的二次根式●●可合并的二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是可以合并的二次根式．◆1、可合并的二次根式的識別：將每個二次根式化為最簡二次根式，再看這些二次根式的被開方數(shù)是否相同，相同就是可合并的二次根式，否則就不是可合并的二次根式．◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法與合并同類項(xiàng)類似，將可合并的二次根式根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)與被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律,即m(a≥0).【注意】◎1、幾個二次根式是否可以合并，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號前的系數(shù)無關(guān).◎2、被開方數(shù)不相同的的二次根式不能合并，例如2+3為最終的結(jié)果，而不能錯誤地合并為知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二二次根式加減●●二次根式加減法法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變．◆1、二次根式的加減法的解題步驟:①“化”：將所有二次根式化成最簡二次根式②“找”：找出被開方數(shù)相同的最簡二次根式③“并”：將被開方數(shù)相同的最簡二次根式合并成一項(xiàng).◆2、整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律以及去括號、添括號法則在二次根式加減運(yùn)算中同樣適用.知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三二次根式混合運(yùn)算●●二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算．◆1、二次根式的混合運(yùn)算順序：二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．◆2、實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運(yùn)算.題型一可合并的二次根式的識別題型一可合并的二次根式的識別【例題1】1．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8解題技巧提煉判斷可合并的二次根式是否合并的前提條件是都化為最簡二次根式，看它們的被開方數(shù)是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.【變式11】（2022秋?靜安區(qū)校級期中）下列二次根式中，不能與2合并的是（）A．12 B．2a2(a≠0) C．【變式12】（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列各式中，可以與27合并的二次根式的是（）A．18 B．12 C．0.3 D．20【變式13】（2022春?東莞市校級期中）下列各組二次根式中，能進(jìn)行合并的是（）A．6和3 B．8和2 C．12和2 D．18和27【變式14】（2022秋?閔行區(qū)期中）下列各組二次根式中，可合并的二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．?13與23 D．題型二根據(jù)可合并的二次根式的概念求字母的值題型二根據(jù)可合并的二次根式的概念求字母的值【例題2】（2022春?泰州月考）兩個最簡二次根式b?a3b和22b?a+2是可合并，則a+2b的值為解題技巧提煉根據(jù)可合并的二次根式的概念求待定字母的值時，可根據(jù)“被開方數(shù)相同”建立方程或方程組，有時還需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式檢驗(yàn)是否符合“最簡二次根式”的身份.【變式21】（2022春?藁城區(qū)校級期中）如果最簡二次根式a+2與12能夠合并，那么a的值為（）A．1 B．2 C．4 D．10【變式22】（2022秋?蕭縣期中）若最簡二次根式a+2與2a?3是可以合并的二次根式，則a的值為（）A．5 B．13 C．﹣2 D．【變式23】（2022秋?揭陽期中）若兩個最簡二次根式32m+5與24m?4A．35 B．57 C．523 D．514【變式24】（2022秋?新城區(qū)月考）已知二次根式32?a與8化成最簡二次根式后．被開方數(shù)相同，則符合條件的正整數(shù)a有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式25】（2022春?趙縣月考）已知最簡二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x?4ab有意義的x【變式26】已知最簡根式3a+24a+3b和最簡根式b+42a?b+6的被開方數(shù)相同，求a2023﹣b20題型三二次根式的加減運(yùn)算題型三二次根式的加減運(yùn)算【例題3】計(jì)算：（1）5+20?45；（3）32x?58x+718x．解題技巧提煉二次根式加減運(yùn)算的技巧：將每個二次根式都化為最簡二次根式，若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，則先化成假分?jǐn)?shù)；若含有小數(shù)，則要化成分?jǐn)?shù)，進(jìn)而化為最簡二次根式.若原式中有括號，要先去括號，再應(yīng)用加法交換律、結(jié)合律將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對頂角、鄰補(bǔ)角等定義計(jì)算.【變式31】（2022春?沂水縣期中）下列計(jì)算正確的是（）A．8?2=2 B．2+3=【變式32】（2022?橋西區(qū)校級模擬）75?12=abA．6 B．9 C．12 D．27【變式33】（2022?保定一模）計(jì)算：12?27=2a+b3=c3，則aA．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5【變式34】（2022秋?商水縣月考）如圖，數(shù)軸上表示1和2的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是C，設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則x+2A．1?2 B．1+2 C．2?【變式35】計(jì)算下列各式：（1）5?6?（3）27a?a3a+3【變式36】計(jì)算下列各題：（1）(32+12)?(12+27)題型四二次根式的混合運(yùn)算題型四二次根式的混合運(yùn)算【例題4】（2022秋?方城縣月考）計(jì)算：（1）(?3)2×（﹣1）2018+（2）42（18?6）?解題技巧提煉1、進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．③實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運(yùn)算.2、二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．【變式41】（2022秋?長安區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．23+32=55 B．23×32C．55?23=32 D．30÷（【變式42】（2022?市南區(qū)校級一模）計(jì)算（48?12）A．3 B．1 C．3 D．23【變式43】（2022?市南區(qū)校級二模）計(jì)算125×A．95 B．25+45 C．6+45 D．125【變式44】（2022春?東莞市月考）計(jì)算：(3+2)【變式45】（2022春?藁城區(qū)校級月考）計(jì)算：（1）54?(23+21（3）(32?26)×(?32【變式46】（2021秋?吳江區(qū)月考）計(jì)算：（1）4?（?12）﹣1+20210﹣|3?2|；（2）12?（2題型五二次根式的化簡求值題型五二次根式的化簡求值【例題5】（2022秋?青浦區(qū)校級期中）先化簡再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy解題技巧提煉1、二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．2、二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分分，避免互相干擾．【變式51】（2021春?鄂州期中）化簡求值：x1x+4y?x2【變式52】（2021春?紅安縣期中）先化簡，再求值：2x?xy?(yy=x?3【變式53】（2021秋?啟東市期末）（1）先化簡，再求值：(x+2x2【變式54】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）先化簡，再求值x?yx+y+x?2xy【變式55】（2022秋?虹口區(qū)校級月考）先化簡，再求值：4a?b其中a＝1，b＝2．題型六整體思想在二次根式求值中的巧用題型六整體思想在二次根式求值中的巧用【例題6】（2022春?巴東縣校級月考）已知a＝3+22，b＝3﹣22，則a2b﹣ab2的值為（）A．1 B．17 C．42 D．﹣42解題技巧提煉當(dāng)有關(guān)字母的已知條件比較復(fù)雜且不易求出字母的值，直接代入比較繁瑣時，一般要先對已知條件和待求問題進(jìn)行變形整理，然后利用整體代入的方法進(jìn)行求值.【變式61】（2022春?東莞市月考）已知a＝2+3，b＝2?（1）a2﹣b2；（2）a2+2ab+b2．【變式62】（2022秋?武侯區(qū)校級月考）已知a=2?12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【變式63】（2022秋?虹口區(qū)校級月考）已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+b【變式64】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知x?1x=5，那么x【變式65】（2022秋?錦江區(qū)校級期中）我們已經(jīng)知道(13+3)(13?3)=4，因此將813?3分子、分母同時乘“13+（1）請仿照上面方法化簡a，b；（2）求代數(shù)式2a2﹣5ab+2b2的值．題型七二次根式的運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用題型七二次根式的運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用【例題7】（2022春?孝義市期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（）A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2解題技巧提煉利用二次根式的加減法運(yùn)算倆解決生活中的問題，應(yīng)先認(rèn)真分析題意，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和結(jié)果的要求.【變式71】（2022春?高青縣期末）一個三角形的三邊長分別為5x5，12（1）求它的周長（要求結(jié)果化簡）；（2）請你給出一個適當(dāng)?shù)膞的值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形的周長．【變式72】學(xué)校要在一塊長方形的土地上進(jìn)行綠化，已知這塊長方形土地的長a＝510m，寬b＝415m（1）求該長方形土地的面積．（精確到0.01）（2）若綠化該長方形土地每平方米的造價為180元，那么綠化該長方形土地所需資金為多少元？【變式73】（2021秋?長安區(qū)期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為128米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為（13+1）米，寬為（13（1）長方形ABCD的周長是米；（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果均化為最簡二次根式）【變式74】（2022秋?洛寧縣月考）如圖，有一張長為162cm，寬為82cm的長方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形．（1）若小正方形的邊長為2cm，則制作成的無蓋長方體盒子的體積是多少？（2）求這個長方體盒子的側(cè)面積．題型八二次根式的規(guī)律探究題題型八二次根式的規(guī)律探究題【例題8】（2021秋?蓮池區(qū)期中）下面是曉明的探究過程，請你補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：a1=1特例2：a2=1特例3：a3=13+2特例4：a4=1特例5：（填寫一個符合上述運(yùn)算特征的例子）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：．（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律，求a1+a2+a3+…+a20的值．解題技巧提煉二次根式的規(guī)律探究題主要探究數(shù)式，算法，算理的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于觀察并分析題中所給的運(yùn)算過程，準(zhǔn)確推理，合理猜想，得出一般的規(guī)律，然后進(jìn)行論