專題06函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（5個(gè)考點(diǎn)梳理10題型解讀提升訓(xùn)練）

專題06函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【清單01】單調(diào)性的定義與證明1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間I是y＝f(x)的增區(qū)間I是y＝f(x)的減區(qū)間圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的提醒：(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用符號(hào)“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號(hào)”或“和”連接．2．證明函數(shù)單調(diào)性的定義法：【清單02】函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，存在x0∈A，使得對(duì)于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最大值，記為；設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，存在x0∈A，使得對(duì)于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最小值，記為【清單03】函數(shù)的平均變化率1.函數(shù)單調(diào)性與平均變化率2.利用平均變化率證明單調(diào)性（1）?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．（2）步驟：設(shè)元算差求比定號(hào)結(jié)論【清單04】函數(shù)的奇偶性.1.函數(shù)的奇偶性及函數(shù)圖像的對(duì)稱性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)并且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.提醒：(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?.②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?.【清單05】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．即“奇同偶反”.2.提醒：函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【考點(diǎn)題型一】判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】（2324高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】已知f（g（x））求解析式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由配湊法可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）在上單調(diào)遞減.證明如下：令，則，，即，所以在上單調(diào)遞減.【變式11】（2324高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用函數(shù)單調(diào)性定義可判斷得結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A：任取，則，又，所以，即，所以函數(shù)在為減函數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B：任取，則，又，所以，即，所以函數(shù)在為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：任取，則，又，所以，即，所以函數(shù)在為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：任取，則，又，所以，即，所以函數(shù)在為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A.【變式12】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）下列函數(shù)中，滿足“對(duì)于任意，都有”的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】因?yàn)椤皩?duì)于任意，都有”，所以在上單調(diào)遞增.A：反比例函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故A不符合題意；B：一次函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B不符合題意；C：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C符合題意；D：對(duì)勾函數(shù)在和上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：C【變式13】（多選）（2324高一上·四川綿陽(yáng)·期中）已知函數(shù)，則（

）A．B．若，則或C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、分段函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，由，若，則，解得，不合題意，若，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，的值域是，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)?，故D正確.故選：AD.【變式14】（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義，推理論證即可.（2）利用（1）的結(jié)論，利用單調(diào)性求出函數(shù)值域.【詳解】（1）函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，而，所以函數(shù)的值域?yàn)?【考點(diǎn)題型二】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)求在上的值域【答案】(1)在上單調(diào)遞減；證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)條件，利用單調(diào)性的定義即可證明結(jié)果；（2）利用單調(diào)性求最值，即可得到值域.【詳解】（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，故在上單調(diào)遞減.（2）在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故值域?yàn)?【變式21】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】和【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】分離常數(shù)即可求解.【詳解】，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和故答案為：和【變式22】（2324高一·上?！ふn堂例題）試討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在，，上單調(diào)遞增.【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義討論即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，任取，則,當(dāng)時(shí)，得，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，得，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，得，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.綜上：函數(shù)在，，上單調(diào)遞增.【變式23】（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）已知函數(shù)，,根據(jù)圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間．．【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，即可根據(jù)圖象求解單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)圖象如圖所示．由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【變式24】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：①對(duì)任意；②當(dāng)時(shí)，.(1)求在實(shí)數(shù)集R上的解析式；(2)在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；(3)寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)、【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、由奇偶性求函數(shù)解析式、畫(huà)出具體函數(shù)圖象【分析】（1）令，則有，即可結(jié)合函數(shù)性質(zhì)計(jì)算出時(shí)解析式，再計(jì)算出即可得；（2）結(jié)合所得解析式即可畫(huà)出；（3）由圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，則，又對(duì)任意，則，即當(dāng)時(shí)，，有，故，即；（2）如圖：（3）由圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：、1,+∞.【考點(diǎn)題型三】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在集合內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得的單調(diào)性，則，解之即可求解.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).要使在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式31】（2324高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)，求解參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，則，即.故選：C.【變式32】（2324高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可判斷在單調(diào)遞減，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到或，從而求出的取值范圍.【詳解】由任意，都有，知在單調(diào)遞減，要使在單調(diào)遞減，則或，即或.故選：A.【變式33】（2223高一下·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨假設(shè)，則，可得，即，可知函數(shù)在R上遞減，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.【變式34】（2223高一上·河北保定·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸與的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，圖象開(kāi)口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：.【考點(diǎn)題型四】應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解不等式、比較大小【例4】（2324高一下·山東淄博·期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解分段函數(shù)不等式【分析】分，和進(jìn)行不等式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，得，所以；當(dāng)時(shí)，，，得，所以；當(dāng)時(shí)，，，得，所以無(wú)解；綜上所述，不等式的解集為.故答案為：【變式41】（2324高一上·山東德州·階段練習(xí)）已知為上的增函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以由，得：，即，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.【變式42】（2324高一上·重慶南岸·期中）定義在上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，②在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性比較大小.【詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，，又函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，故選：B.【變式43】（2223高一上·北京·期中）已知函數(shù)，若，比較：（填“=、>、<、、”）【答案】【分析】法一：利用作差法即可得解；法二：利用函數(shù)的單調(diào)性亦可得解.【詳解】法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?法二：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所?故答案為：.【變式44】（2324高一上·四川遂寧·期末）已知函數(shù)在上有定義，且．若對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，均有恒成立，則不等式的解集是．【答案】【分析】由題意易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，討論與大小關(guān)系，再結(jié)合，利用單調(diào)性即可列出不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意給定的實(shí)數(shù)，均有恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，又不等式，所以當(dāng)，即時(shí)，，則，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，，則，解得，故；綜上，不等式的解集為.故答案為：.【考點(diǎn)題型五】應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求最值【例5】（2324高一上·河南安陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，且.(1)求.(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù).(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值為，最小值為【分析】（1）由題意列式計(jì)算，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知函數(shù)，且，故，則（2）證明：由（1）知，任取且，則，因?yàn)榍遥傻?，則，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).（3）函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【變式51】（2324高一上·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的最大值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、對(duì)勾函數(shù)求最值【分析】首先將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.【詳解】，設(shè)，而在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則.所以函數(shù)的最大值為.故答案為：【變式52】（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析(2)最大值；最小值【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)的單調(diào)性，從而可求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，從而可求出在區(qū)間上的最大值和最小值，從而求解.【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：由題意知的定義域?yàn)椋?，且，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）知在上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【變式53】（2324高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)在單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）先轉(zhuǎn)化，判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋驗(yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增.定義法證明如下：任取，，則，，所以，故在單調(diào)遞增.（2）由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【變式54】（1011高一上·陜西寶雞·期中）已知函數(shù)，(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增(3)最大值為4，最小值為.【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、畫(huà)出具體函數(shù)圖象、求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)作出圖象即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)得到分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）由分段函數(shù)的單調(diào)性和圖象可得；【詳解】（1）圖象如下：

（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，可得在時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，可得函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）由圖象可得當(dāng)時(shí)，最大值為，當(dāng)時(shí)，最小值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為.【考點(diǎn)題型六】函數(shù)奇偶性的判斷【例6】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)【答案】(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)(5)非奇非偶函數(shù)(6)奇函數(shù)(7)偶函數(shù)(8)非奇非偶函數(shù)【分析】利用奇偶函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故為奇函數(shù).（2）的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故為偶函數(shù).（3）的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（4），的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（5）因?yàn)椋?，即函?shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（6）由，得，且，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以.又，所以是奇函數(shù).（7）對(duì)于函數(shù)，因?yàn)?，所以，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，所以，，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（8）因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).【變式61】（2324高一上·天津·期中）下列在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)特征逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，在和單調(diào)遞減，不是定義域的減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域，又因?yàn)?，所以在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)特征可知，為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，定義域，又因?yàn)?，所以在定義域內(nèi)是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域，為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式62】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形得到，從而得到為奇函數(shù)，其他選項(xiàng)不合要求.【詳解】因?yàn)?，所以，由于定義域?yàn)?，又，故為奇函?shù)，故為奇函數(shù)，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：C．【變式63】（2324高一下·遼寧·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則有（

）A．是奇函數(shù)， B．是奇函數(shù)，C．是偶函數(shù)， D．是偶函數(shù)，【答案】C【分析】利用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，由解析式計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式為，定義域?yàn)椋裕詾榕己瘮?shù)；又，所以C正確.故選：C【變式64】（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，令，對(duì)于A，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是奇函?shù)，所以A正確，對(duì)于B，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為偶函?shù)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，，所以為非奇非偶函?shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，故選：AD【考點(diǎn)題型七】由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值、解析式【例7】（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函數(shù)滿足：．(1)求的解析式；(2)若為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求在R上的解析式．【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)類型求解析式、由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的解析式【分析】（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式.（2）由（1），利用奇函數(shù)定義求出函數(shù)的解析式.【詳解】（1）依題意，設(shè)，由，得，整理得，于是，解得，，所以的解析式為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由為定義在R上的奇函數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，，所以在R上的解析式為.【變式71】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】由題意計(jì)算可得，運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意可得，即有【變式72】（2324高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，為偶函數(shù)，則.【答案】0【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.取，得，所以.故答案為：0【變式73】（2425高一上·湖南邵陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).結(jié)合以上推廣，現(xiàn)有函數(shù)，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【分析】結(jié)合題意計(jì)算可得函數(shù)fx=x3-3【詳解】由fx=x3-則，故為奇函數(shù)，故函數(shù)fx=x3-，，又，.故答案為：.【變式74】（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求，的解析式．【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，通過(guò)解方程組進(jìn)行求解即可.【詳解】∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，∴，，又，①用代替上式中的，得，即．②聯(lián)立①②得，．【考點(diǎn)題型八】抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題【例8】（2324高一上·廣東珠?！て谀┮阎x在上的函數(shù)滿足，，且.(1)求的值；(2)判斷的奇偶性，并證明.【答案】(1)(2)為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用賦值法結(jié)合已知條件可求解；（2）令，結(jié)合條件和函數(shù)奇偶性定義判斷.【詳解】（1）令，得，令，得，因?yàn)?，所以，，令，得，即，因?yàn)?，所以，所?（2）為偶函數(shù).證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù).【變式81】（2324高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】通過(guò)對(duì)的賦值，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念逐項(xiàng)判斷額.【詳解】由題意知，在函數(shù)中，2023，當(dāng)時(shí)，，解得，若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則該函數(shù)的圖象必過(guò)原點(diǎn)，即有，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)法得到，故A錯(cuò)誤.在函數(shù)中，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【變式82】（多選）（2324高二下·山東威?！て谀┮阎x在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．在R上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，，；B選項(xiàng)，先賦值得到，令得，故B正確；C選項(xiàng)，令，且，當(dāng)時(shí)，，故，從而在R上單調(diào)遞增；D選項(xiàng)，先變形得到，又，故，由函數(shù)單調(diào)性得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，中，令，且，故，即，當(dāng)時(shí)，，故，即，故在R上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD【變式83】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知是奇函數(shù)，定義域是，是偶函數(shù)，定義域是．設(shè)，則為函數(shù)．【答案】奇【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、抽象函數(shù)的奇偶性【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷【詳解】因?yàn)閥=fx是奇函數(shù)，定義域是R，y則的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f-x所以，所以為奇函數(shù)，故答案為：奇.【變式84】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，滿足，且，.(1)求，；(2)判斷的奇偶性，并證明；【答案】(1)，；(2)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；【分析】（1）利用賦值法即求；（2）由題可得，即證；【詳解】（1）取，得，即，所以，因?yàn)椋郑?，可得；?）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，取，得，移項(xiàng)得，所以函數(shù)是奇函數(shù).【考點(diǎn)題型九】由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【例9】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)；證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，利用，求得，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（2）由（1）知，利用函數(shù)單調(diào)性的定義及判定方法，即可求解.任取，且，【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，可得，解得，即，可得，所以，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.（2）解：由（1）知，函數(shù)，任取，且，則，因?yàn)榍?，可得且，所以，即，所以函?shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù).【變式91】（2324高一上·安徽·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，有,進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以,解得,經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，故選：B.【變式92】（2324高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，得到，顯然，由圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到，解得，所以，滿足要求，得到.故選：A.【變式93】（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.【變式94】（2324高一上·天津·期中）若函數(shù)為奇函數(shù),則【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)題目給出的函數(shù)為奇函數(shù)，運(yùn)用奇函數(shù)的概念，由，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為奇函數(shù)，所以恒成立，即，解得.【考點(diǎn)題型十】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例10】（2324高一上·天津·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并且滿足下列條件：①；②對(duì)任意，都有；③當(dāng)時(shí)，.(1)證明：為奇函數(shù).(2)解不等式.(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）用賦值法先求出，再令即可得證；（2）先證明函數(shù)在上是減函數(shù)，再求得，最后將不等式轉(zhuǎn)化為求解即可；（3）將題意轉(zhuǎn)化為，恒成立即可.【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，故.令，則，故.故為奇函數(shù).（2）任取，且.由題意，，，故，即，又，故在上為減函數(shù).因?yàn)?，所以，，故即，即，化?jiǎn)可得，解得.（3）由（2）知在上為減函數(shù)，故在上最大值為.