湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷

武漢市常青聯(lián)合體2023—2024學年度第二學期期末考試高一數(shù)學試卷命題學校：武漢市關(guān)山中學命題教師：田艷審題教師：陳長西考試時間：2024年6月28日15：0017：00試卷滿分：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的模為（）A.B.C.5D.32.已知平面向量的夾角為，則（）A.2B.C.D.3.在一次數(shù)學測試中，高一某班40名學生成績的平均分為82，方差為10.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學成績的是（）A.100B.85C.65D.554.為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，下列說法中正確的個數(shù)是（）①若，則②若，則③若，則④若，則A.1B.2C.3D.45.已知棱長為1的正方體中，分別為和的中點，則到平面的距離為（）A.B.C.D.6.已知在中，滿足，點在邊上，且平分，，則的最大值為（）A.3B.1C.D.47.已知為三角形內(nèi)一點，且滿足和，則角為（）A.B.C.D.8.在正三棱錐中，分別為的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分.9.已知為虛數(shù)單位，以下說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若為純虛數(shù)，則實數(shù)D.復(fù)數(shù)滿足，則10.在中，角所對的邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則滿足條件的三角形有2個D.若不是直角三角形，則11.已知正方體的棱長為分別為的中點，且與正方體的內(nèi)切球（為球心）交于兩點，則下列說法正確的是（）A.線段的長為B.三棱錐的體積為C.過三點的平面截正方體所得的截面面積為D.設(shè)為球上任意一點，則的范圍為三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.某歌手在一次比賽中評委給分為（十分制）則該歌手得分的第七十五百分位數(shù)是__________.13.如圖所示，是的中點，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點，且，則當時，的范圍是__________.14.已知在三角形中，角的對邊分別為，且，角為銳角，向量與共線，且，則三角形的周長為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知向量（1）若與垂直，求的值；（2）若與共線，求的值.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面，點為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.17.（15分）已知在中，角的對邊分別為，且（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.18.（17分）隨著社會的進步?科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存?分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用.某市環(huán)衛(wèi)局在A?B兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：住戶編號123456A小區(qū)（分鐘）220185220225205235B小區(qū)（分鐘）205195245235225215（1）分別計算小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；以及兩個小區(qū)抽取的一共12戶每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于5位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？（3）市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個月，根據(jù)實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值得進行推廣？19.（17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求三棱錐的體積；（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，請求出的長度，若不存在，請說明理由.武漢市常青聯(lián)合體2023—2024學年度第二學期期末考試高一數(shù)學答案一，單選題1.A2.C3.D4.B5.C6.A7.B8.D二，多選題9.CD10.BD11.ABD三，填空題12.13.14.四，解答題15.【詳解】（1），，.與垂直，.（2）由（1）知，，得.16.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，由于分別為的中點，故，且，又，可得，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）因為底面底面，又平面，平面.又平面.為的中點，，又平面平面，直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角，由底面底面可得，，為等腰直角三角形，且平分，，所以直線與平面所成的角為.17.【詳解】（1）故得所以，即.由正弦定理，得，顯然，所以，所以.因為，所以.（2）由題設(shè)及（1）可知，的面積為銳角三角形，，解得，又，18.【詳解】（1）（分鐘），（分鐘），總體的平均數(shù)，總體的方差（2）①按照方案，A小區(qū)一月至少需要5名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費用是元，每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要220分鐘進行垃圾分類，一月需要（分鐘），小區(qū)一月平均需要分鐘的時間用于生活垃圾分類，一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算標準，每月按照28天作為計算標準，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于5名普通居民對生活垃圾分類的效果，小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），則每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），③根據(jù)上述計算可知，按照每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費來說，選擇A方案惠民力度大，但需要住戶平時做好生活垃圾分類事項；如果對于高檔小區(qū)的居民來說，可以選擇方案，這只是方便個別高收入住戶，綜上，選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動及素質(zhì)的提升.19.【詳解】（1）如圖所示，連接，由題意可知面，四邊形是菱形.面，，又是中點，是正三角形，，顯然面，面，面，，在菱形中，有，而分別是線段的中點，則，面，面；（2）方法一：如圖所示，取的中點，連接，過作交于，過作分別交的延長線于，易知