安徽省級(jí)示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，選擇題第1至第3頁(yè)，非選擇題第4至第6頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1.答題前、務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致.2.答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法即可得到，再利用交集含義即可.【詳解】由，，則，故選：C.2.不等式的解集為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】移項(xiàng)、通分，再轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元二次不等式，解得即可.【詳解】不等式，即，等價(jià)于，解得或，所以原不等式的解集為或.故選：A3.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積”，如圖所示，作“大斜”上的高，則，現(xiàn)已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，則“高”=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)大斜邊上的高為，根據(jù)題意給的面積公式和，建立關(guān)于h的方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又小斜，大斜，中斜，所以，設(shè)大斜邊上的高為，則，所以，解得，即大斜邊上的高為.故選：A4.設(shè)與是兩個(gè)向量，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得，根據(jù)，得，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】由得，則，由得，則，則，故是的既不充分也不必要條件，故選：D.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)的單調(diào)性判斷，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)樵诘谝幌笙逓樵龊瘮?shù)，，所以，因?yàn)樵诘谝幌笙逓樵龊瘮?shù)，，所以，所以，故選：B.6.定義在上的滿足對(duì)，關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意，對(duì)化簡(jiǎn)得，即，畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.【詳解】關(guān)于的方程可化簡(jiǎn)為，即有7個(gè)不同的根，畫(huà)出的圖象，觀察可以看出當(dāng)有4個(gè)不同的根，故只需有3個(gè)不同的根即可，所以.故選：A.7.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得到，再由及二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，則.故選：D8.已知函數(shù)的反函數(shù)為，那么在上的最大值與最小值之和為（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】首先得到的單調(diào)性和奇偶性，從而得到其反函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，因?yàn)榫鶠樯系膯握{(diào)增函數(shù)，則也為上的增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的反函數(shù)也為定義域上的奇函數(shù)、增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因，則，即其最大值與最小值之和為.故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.以下運(yùn)算中正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷A；根據(jù)根式性質(zhì)以及指數(shù)運(yùn)算判斷B；指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷C；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確，故選：ACD.10.下面結(jié)論正確的有（）A.若，為銳角三角形的兩內(nèi)角，則有B.C.，D.，【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式判斷A，利用誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式判斷B，利用和差角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：依題意可得，則，又在上單調(diào)遞增，所以，即，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.若當(dāng)時(shí)，，則D.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求出的解析式，求出，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間判斷A；代入驗(yàn)證是否為對(duì)稱軸判斷B；當(dāng)時(shí)，利用周期得，結(jié)合圖象得，求出的取值范圍，判斷C；根據(jù)圖象變換求出，根據(jù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象，得到取值范圍，判斷D.【詳解】的最小正周期為，由題圖可得，所以，，，得，又，所以，所以，對(duì)于A，，由，，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，利用周期得，，結(jié)合函數(shù)圖象，可知，若，，解得，故C正確，對(duì)于D，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象,再將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到的圖象，故.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，得號(hào)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)中參數(shù)的確定：由函數(shù)的最值可確定的值；由函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及最高、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得最小正周期，進(jìn)而可求得的值；由函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)或最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)可得的值．函數(shù)的單調(diào)性利用換元法可解決.考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題為選考題，請(qǐng)考生任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分.）12.已知實(shí)數(shù)x滿足，則______.【答案】7【解析】【分析】首先求出范圍，方程化簡(jiǎn)得，再利用基本不等式鏈即可得到答案.【詳解】，故，方程化簡(jiǎn)得，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；則方程的解為.故答案為：7.13.在邊長(zhǎng)為2的正中，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與AB邊相切的圓上，滿足.則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】建系設(shè)點(diǎn)，，，，用坐標(biāo)表示，求出，借助三角函數(shù)求取值范圍.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)，，，，因?yàn)椋?，即，，因?yàn)?，所以的取值范圍是，故答案為?14.在四面體ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD為直角三角形，.若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，M，N分別是AB和BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面，則面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】依題意，該四面體為正方體的一部分，所以外接球?yàn)檎襟w的外接球，結(jié)合過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面為圓面，求出半徑即得答案.【詳解】由面BCD，，所以該四面體四個(gè)面都是直角三角形，則球O為該四面體還原成正方體的外接球，故球心O為AC的中點(diǎn)，且球的半徑.過(guò)球心作，垂足為，其中，，，又直角三角形，所以，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的球的截面面積的最小時(shí)，面，又截面為圓面，則圓面對(duì)應(yīng)半徑，此時(shí)截面的面積為，故答案為：.15.某超市舉行有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，參加活動(dòng)的顧客依次回答三個(gè)問(wèn)題.不管答對(duì)或者答錯(cuò)，三題答完活動(dòng)結(jié)束.規(guī)定每位顧客只能參加一次活動(dòng).已知每位顧客第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為，第三題答對(duì)的概率為，若答對(duì)兩題，則可獲得價(jià)值100元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)三題，則可獲得價(jià)值200元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)的題數(shù)不夠2題，則不能獲獎(jiǎng).假設(shè)顧客是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲，乙兩名顧客參加該活動(dòng)，則兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)應(yīng)的概率即可求解.【詳解】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為：甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答對(duì)2題且乙答對(duì)3題，或甲答對(duì)3題且乙答對(duì)2題，又每位顧客答對(duì)2題的概率為，每位顧客答對(duì)3題的概率為，所以兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為：.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）16.如圖所示，在單位圓中，，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)M，作交角的終邊于點(diǎn)T.（1）請(qǐng)根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式推導(dǎo)正弦的三倍角公式（僅用含的式子表示）；（2）請(qǐng)根據(jù)三角形面積公式及扇形面積公式證明【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦和正弦公式展開(kāi)即可；（2）利用即可證明.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】證明，即證,根據(jù)，，，，因?yàn)?，則，即，所以原不等式成立.17.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知：，（1）求b和角B；（2）求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）對(duì)由正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)求出，即得角B，對(duì)由正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)求得；（2）由（1）得，借助與正弦定理邊化角以及三角恒等變換得，結(jié)合角A范圍，求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由得，即，，即，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所以，由得，即，解得或（舍），故?【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，解得，所以，則，解得，即的取值范圍為18.如圖，在矩形中，，，，，直線與垂直，垂足為點(diǎn).（1）求的值；（2）若，將用基底線性表示，并求出的最大值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）依題意，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）根據(jù)、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即可得到，同理可得，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，求出、，即可得到，再表示出，換元，利用函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，即，因?yàn)?，所以，則.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，同理，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，又、不共線，所以，解得，所以，又，，所以，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，則，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值.（選考題）（17分）（請(qǐng)考生從181，182兩題中任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分.）【選考人教版——立體幾何】19.如下左圖，矩形中，，，.過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交對(duì)角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，形成四面體，如下右圖.（1）求四面體外接球的體積；（2）求證：平面平面；（3）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將沿翻折過(guò)程中，直線能否平行于面.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角的大小；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）不能，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知四面體外接球的半徑，即可求出外接球的體積；（2）依題意，，即可得到平面，從而得證；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可證明平面，再假設(shè)平面，即可得到平面平面，由面面平行的性質(zhì)得到，推出矛盾，即可得解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，所以四面體外接球的半徑，所以四面體外接球的體積；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，所以即，在中，，所以，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，易知，且，平面，平面，所以平面，假設(shè)平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，事實(shí)上，而，所以，即點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，所以在將沿翻折過(guò)程中，直線不能平行于面.【選考北師大版——統(tǒng)計(jì)和概率】20.在我們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色，但過(guò)度使用會(huì)對(duì)我們的身心健康造成諸多危害.一城市的某愛(ài)心機(jī)構(gòu)建議市民應(yīng)合理使用，可以嘗試設(shè)定使用時(shí)間限制，多參加戶外活動(dòng)，與人面對(duì)面交流，讓生活更加豐富多彩.為了更好地做好該項(xiàng)宣傳工作，做到宣傳的全面有效，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)選擇了100位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：（1）請(qǐng)估計(jì)這100位市民的平均年齡，結(jié)果請(qǐng)保留整數(shù)（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）請(qǐng)估計(jì)該市市民中的一位市民年齡位于區(qū)間的概率；（3）現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，若抽取的2人的年齡差大于10，則代表該機(jī)構(gòu)宣傳工作做得全面，獲得好評(píng).方案一：從6人中按照不放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為；方案二：從6人中按照有放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為；假設(shè)獲得好評(píng)的概率大的方案較好，請(qǐng)比較上述兩種方案哪種更好，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）方案一較好，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出年齡位于區(qū)間的頻率，即可得解；（3）首先求出年齡位于區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，由古典概型的概率公式求出概率，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】這位市民的平均年齡為：，即這位市民的平均年齡約為；【小問(wèn)2詳解】這位市民的年齡位于區(qū)間的頻率為，故估計(jì)該市市民中的一位市民年齡位于區(qū)間的概率為；【小問(wèn)3詳解】參與調(diào)查的為市民中年齡在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，年齡在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，按照分層抽樣的方法抽取人，則年齡在區(qū)間內(nèi)的應(yīng)抽取人，設(shè)為，，，；年齡在區(qū)間內(nèi)的應(yīng)抽取人，設(shè)為，；方案一：從人中按照不放回抽樣抽取人，所有可能出現(xiàn)的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，共種；則人的年齡差大于的有，，