2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點專題專題11解三角形學(xué)案文含解析

PAGE專題11解三角形1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinQUOTE=cosQUOTE;(4)cosQUOTE=sinQUOTE.2.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.3.三角形中的不等關(guān)系(1)在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(2)A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.1.判定三角形形態(tài)的兩種常用途徑2.解三角形的“口訣”斜三角形把我問,兩個定理有區(qū)分;余弦定理多見邊,正弦定理角必現(xiàn);邊邊角,解難辨,正弦值,先計算;遇到邊角關(guān)系時,正弦定理化邊角.1.化簡丟解【案例】T4在推斷三角形的形態(tài)時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,2.未留意隱含條件導(dǎo)致增解【案例】T9用余弦定理求邊長時,往往會求得兩個值,此時應(yīng)留意題目條件中對邊長的限制,對求得的值進(jìn)行檢驗,3.忽視已知條件【案例】T10,審題不細(xì),題設(shè)是銳角三角形,簡單解題失誤.考向一三角形基本量的計算【典例】(2024·全國Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,則tanB= ()A.QUOTE B.2QUOTE C.4QUOTE D.8QUOTE考向二求三角形邊角比值或求范圍【典例】(2024·全國Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC①,cosA=-QUOTE,則QUOTE= ()A.6 B.5 C.4 D.3①利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系②余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設(shè)AB邊上的高為h,則h= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=2a,且a,b,c成等差數(shù)列,則cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.已知銳角△ABC外接圓的半徑為2,AB=2QUOTE,則△ABC周長的最大值為 ()A.4QUOTE B.6QUOTE C.8QUOTE D.12QUOTE4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形態(tài)為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形5.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=2A,則b的取值范圍為()A.(0,4) B.(2,2QUOTE)C.(2QUOTE,2QUOTE) D.(2QUOTE,4)6.在高辨別率遙感影像上,陰影表現(xiàn)為低亮度值,其分布范圍反映了地物成像時遮光狀況的二維信息,可以通過線段AB長度(如圖:粗線條部分)與建筑物高度的幾何關(guān)系來確定地表建筑物的高度數(shù)據(jù).在不考慮太陽方位角對建筑物陰影影響的狀況下,太陽高度角、衛(wèi)星高度角與建筑物高度、線段AB的關(guān)系如圖所示,在某時刻測得太陽高度角為β,衛(wèi)星高度角為α,陰影部分長度為L,由此可計算建筑物的高度為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE7.在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2QUOTE+QUOTE,則△ABC為 ()A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.銳角非等邊三角形 D.鈍角三角形8.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=QUOTE,b=2,△ABC的面積等于2QUOTE,則△ABC外接圓的面積為________.

9.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,c=2QUOTE,cosA=QUOTE,且b<c,則b=______.

10.已知△ABC是銳角三角形,若A=2B,則QUOTE的取值范圍是________.

11.如圖,四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,CD=3,∠ABC=90°,∠BCD=120°,則AD的長為______.

12.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=sin2A.①Q(mào)UOTE的值為________;

②若a>c,則b的取值范圍是________.

專題11解三角形///真題再研析·提升審題力///考向一C設(shè)AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×QUOTE=9,所以c=3,cosB=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以tanB=4QUOTE.考向二A由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推論可得-QUOTE=cosA=QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×4=6,故選A.///高考演兵場·檢驗考試力///1.D因為a=2,b=3,c=4,所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,則sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,則h=ACsinA=bsinA=3×QUOTE=QUOTE.2.Da,b,c成等差數(shù)列?2b=a+c,又c=2a,所以b=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.B因為銳角△ABC外接圓的半徑為2,AB=2QUOTE,所以QUOTE=2R,即QUOTE=4,所以sinC=QUOTE,又C為銳角,所以C=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=4,所以a=4sinA,b=4sinB,c=2QUOTE,所以a+b+c=2QUOTE+4sinB+4sin(QUOTE-B)=6sinB+2QUOTEcosB+2QUOTE=4QUOTEsinQUOTE+2QUOTE,所以當(dāng)B+QUOTE=QUOTE即B=QUOTE時,a+b+c取得最大值4QUOTE+2QUOTE=6QUOTE.4.C因為c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=QUOTE或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.5.C由銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=2A,得0<2A<QUOTE,A+B=3A,所以QUOTE<3A<π,所以QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<cosA<QUOTE,因為a=2,B=2A,由正弦定理得QUOTE=QUOTEb=2cosA,即b=4cosA,所以2QUOTE<4cosA<2QUOTE,則b的取值范圍為(2QUOTE,2QUOTE).6.B如圖所示:由于CD⊥BD,tanα=QUOTE,所以在Rt△ACD中,tanα=QUOTE.在Rt△BCD中,tanβ=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE,解得x=QUOTE,所以y=QUOTE.7.A將已知等式2acosB=c,利用正弦定理化簡得:2sinAcosB=sinC,因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,因為A與B都為△ABC的內(nèi)角,所以A-B=0,即A=B,已知其次個等式變形得:sinAsinB(2-cosC)=QUOTE(1-cosC)+QUOTE=1-QUOTEcosC,-QUOTE[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-QUOTEcosC,所以-QUOTE(-cosC-1)(2-cosC)=1-QUOTEcosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,整理得:cos2C-2cosC=0,即所以cosC=0或cosC=2(舍去),所以C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.8.【解析】由QUOTE×2c·sinQUOTE=2QUOTE,解得c=4.所以a2=22+42-2×2×4cosQUOTE=12.解得a=2QUOTE.所以2R=QUOTE=4,解得R=2.所以△ABC外接圓的面積為4π.答案:4π9.【解析】在△ABC中,由余弦定理得4=b2+12-2×2QUOTEb×QUOTE,所以b2-6b+8=0,所以b=2或b=4,因為b<c,所以b=2.答案:210.【解析】因為A=2B,所以由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cosB,因為當(dāng)C為最大角時,C<QUOTE,A+B=3B>QUOTE,B>QUOTE,當(dāng)A為最大角時,A<QUOTE,2B<QUOTE,B<QUOTE,所以QUOTE<B<QUOTE,可得:QUOTE<cosB<QUOTE,故QUOTE∈(QUOTE,QUOTE).答案:(QUOTE,QUOTE)11.【解析】連接AC,設(shè)∠ACB=θ,則∠ACD=120°-θ,如圖:故在Rt△ABC中,sinθ=QUOTE,cosθ=QUOTE,因為cosQUOTE=-QUOTEcosθ+QUOTEsinθ=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,又因為在△ACD中,由余弦定理有cosQUOTE=QUOTE=QUOTE,解得AD2=65-12QUOTE,即AD=QUOTE答案:QUOTE