《空間向量與立體幾何》知識要點(diǎn)整合復(fù)習(xí)課件

北師大版同步教材精品課件《空間向量與立體幾何》知識要點(diǎn)整合知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)如果向量a,b,c是空間三個(gè)不共面的向量,p是空間任意一個(gè)向量,那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)l∥m或l與m重合l∥m或或與重合l⊥ml⊥m知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn),是直線l的單位方向向量,點(diǎn)A是直線l上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l的距離為點(diǎn)P到平面α的距離,等于點(diǎn)P與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)A連線所得向量,在平面α的單位法向量方向上所作投影向量的長度,即知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識要點(diǎn)整合一、空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算的知識和方法與平面向量及其運(yùn)算類似,是平面向量的拓展.主要考查空間向量的共線、共面以及數(shù)量積運(yùn)算,是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ).常見內(nèi)容如下:(1)空間向量的線性運(yùn)算,主要包括向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算;(2)空間向量基本定理主要用來解決三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面問題;(3)空間向量的數(shù)量積可用來解決立體幾何中的夾角、長度、垂直等問題.例(1)在空間四邊形O-ABC中,其對角線為OB,AC,M是OA的中點(diǎn),G為△ABC的重心,用基向量表示向量(2)已知三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).①求以為邊的平行四邊形的面積;,且a分別與垂直,求向量a的坐標(biāo).;②若解析(1)連接AG并延長交BC于點(diǎn)D.利用三角形重心性質(zhì)化簡.(2)①利用數(shù)量積求出角A的余弦值,再根據(jù)面積公式計(jì)算.②設(shè)a=(x,y,z),利用向量數(shù)量積為0,解方程組求解.答案(1)如圖,連接AG并延長交BC于點(diǎn)D.所以D為BC的中點(diǎn),所以.一、空間向量及其運(yùn)算知識要點(diǎn)整合因?yàn)镚為△ABC的重心,所以.又因?yàn)?所以.因?yàn)镸為OA的中點(diǎn),所以.所以.(2)①由題意,可得,所以,所以.所以以為邊的平行四邊形的面積為.一、空間向量及其運(yùn)算知識要點(diǎn)整合②設(shè)a=(x,y,z),由題意,得解得或所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1).一、空間向量及其運(yùn)算知識要點(diǎn)整合例2已知a=(5,3,1),b=(-2,t,解析根據(jù)a·b<0解不等式即可,但需要考慮a與b反向這種特殊情況.),若a與b的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.答案由已知a·b=.因?yàn)閍與b的夾角為純角,所以a·b<0,即,所以.若a與b的夾角為180°,則有a·b<0,但不滿足題意,此時(shí)存在λ<0,使a=λb,即(5,3,1)=,所以所以.故t的范圍是.一、空間向量及其運(yùn)算知識要點(diǎn)整合二、空間向量與空間位置關(guān)系把向量作為工具來研究幾何,真正使幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合,給立體幾何的研究帶來了極大的便利,使得不論證明平行還是垂直,只需進(jìn)行簡單的運(yùn)算就可解決問題.用向量的坐標(biāo)解決空間位置關(guān)系時(shí),可按以下三個(gè)步驟來解題:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)向量結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.知識要點(diǎn)整合求解此類問題常用的技巧,是在正方體、直棱柱等較為規(guī)則的幾何體中建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,通過確定點(diǎn)的坐標(biāo),找到問題求解時(shí)涉及的向量的坐標(biāo),并將立體幾何問題中的幾何語言轉(zhuǎn)化成向量問題中對應(yīng)的語言,再借助向量的運(yùn)算和性質(zhì)完成幾何問題的證明或計(jì)算.二、空間向量與空間位置關(guān)系知識要點(diǎn)整合例3已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD:(2)若點(diǎn)E,F分別在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,問點(diǎn)F在何處時(shí),EF⊥AD？解析(1)建系,轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量垂直.(2)設(shè)出點(diǎn)F坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量數(shù)量積為0,解方程即可.二、空間向量與空間位置關(guān)系答案

(1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OA=1,OA1=a,則A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,a),C(-1,0,0),D(0,-1,0),O1(-1,0,a).則=(1,-1,-a),=(0,0,-a).設(shè),

知識要點(diǎn)整合二、空間向量與空間位置關(guān)系分別是平面O1DC和平面ABCD的一個(gè)法向量.由得令,則,而故m·n=0,即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直,故平面O1DC⊥平面ABCD..(2)由(1)可知,,.設(shè),則,故點(diǎn)F的坐標(biāo)為.所以.EF⊥AD,解得.故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí),有EF⊥AD.知識要點(diǎn)整合二、空間向量與空間位置關(guān)系例4如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.解析(1)建系,轉(zhuǎn)化為證明答案(1)如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AD=a,AB=b.,可得結(jié)論.(2)轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量數(shù)量積為0.知識要點(diǎn)整合二、空間向量與空間位置關(guān)系則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因?yàn)镸,N分別為AB,PC的中點(diǎn),所以.所以,.所以.又因?yàn)槠矫鍼AD,所以MN∥平面PAD.知識要點(diǎn)整合二、空間向量與空間位置關(guān)系(2)由(1)知P(0,0,a),C(b,a,0),,D(0,a,0).所以,,.設(shè)平面PMC的法向量為,則所以令,則.設(shè)平

面PDC的法向量為則所以令,則.因?yàn)?所以.所以平面PMC⊥平面PDC.知識要點(diǎn)整合三、空間向量與空間角空間角包括三種角,即線線角、線面角、二面角.利用空間向量求空間角,避免了利用傳統(tǒng)方法求角時(shí)先進(jìn)行角的確定,然后求角的弊端,只需要準(zhǔn)確求解直線的方向向量和平面的法向量,代入公式求角即可,大大體現(xiàn)了向量法的簡捷之處.主要考查角度有:(1)利用向量求異面直線所成的角(或其三角函數(shù)值):(2)利用向量求直線與平面所成的角(或其三角函數(shù)值);(3)利用向量求二面角的平面角(或其三角函數(shù)值).知識要點(diǎn)整合例5如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)求證:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的平面角的正弦值.三、空間向量與空間角解析(1)首先由已知條件推出B1C1⊥平面ABB1A1,從而推出B1C1⊥BE,然后結(jié)合已知條件,利用線面垂直的判定定理即可使問題得證.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,然后求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與相關(guān)向量,求得平面EBC與平面ECC1的法向量,最后利用向量的夾角公式求解即可.知識要點(diǎn)整合答案(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,(2)由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,|

|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).三、空間向量與空間角平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.知識要點(diǎn)整合三、空間向量與空間角設(shè)平面EBC的法向量為,則即所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的,則即所以可取m=(1,1,0).于是.所以,二面角B-EC-C1的平面角的正弦值為.法向量為知識要點(diǎn)整合三、空間向量與空間角例6如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).求:(1)異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解析建系,轉(zhuǎn)化為求方向向量與方向向量、方向向量與法向量的夾角問題求解.答案如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,連接OB,OO1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以O(shè)B,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).知識要點(diǎn)整合三、空間向量與空間角(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以,從而,故.因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以,因此.設(shè)n=(x,y,z)為平面即不妨取.設(shè)直線CC1與平面AQC1所,則,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.AQC1的一個(gè)法向量,則成的角為知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離

知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離例7如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的投影恰為AC的中點(diǎn)D,又知BA1⊥AC1.解析(1)取AB的中點(diǎn)E,則可以DE,DC,DA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積可得AC1⊥CB,結(jié)合BA1⊥AC1,根據(jù)線面垂直判定定理可得證.(2)由可求出,點(diǎn)A1的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面A1AB的一個(gè)法向量n,再利用計(jì)算即可.(1)求證:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距離.知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離答案(1)如圖,取AB的中點(diǎn)E,因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),則DE∥BC.因?yàn)锽C⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,則以DE,DC,DA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),,,,由,知AC1⊥CB.又BA1⊥AC1,CB∩BA1=B,從而AC1⊥平面A1BC.知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離(2)由,結(jié)合圖得.設(shè)平面A1AB的法向量為,又,則取z=1,則,易證得CC1∥平面A1AB,所以CC1到平面A1AB的距離.則CC1到平面A1AB的距離為C1到平面A1AB的距離,因?yàn)?知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離例8

如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=(1)求證:CD⊥AB;(2)若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),求點(diǎn)M到平面ACD的距離;(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成的角為60？若存在,求出的值;若不,AB⊥BC.如圖(2)所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如圖(3)).存在,請說明理由.知識要點(diǎn)整合四、空間向量與空間距離解析(1)利用已知數(shù)量關(guān)系及勾股定理逆定理可知CD⊥BD.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知CD⊥平面ABD,從而CD⊥AB.(2)以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的一個(gè)法向量n,利用計(jì)算即可.(3)假設(shè)在線段BC上存在,點(diǎn)N滿足題意,設(shè),考慮根的情況即可.方程答案(1)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=,AB⊥