高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題04點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題04點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點到平面的距離 2題型二：利用向量法求點到平面的距離 5三、專項訓(xùn)練 8一、必備秘籍1、等體積法求點到平面的距離（1）當(dāng)點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達(dá)到目的時，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點，如當(dāng)線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點2、利用向量法求點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.二、典型題型題型一：等體積法求點到平面的距離1．（23·24高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，邊長為1的正方形中，分別是的中點，沿把這個正方形折成一個四面體使三點重合，重合后的點記為.則在四面體中，點到平面的距離為.

2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如圖，已知點P在圓柱的底面圓O的圓周上，，圓O的直徑，圓柱的高．(1)求圓柱的體積；(2)求點A到平面的距離．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如圖，已知長方體中，，，連接，過B點作的垂線交于E，交于F．

(1)求證：平面；(2)求點A到平面的距離；4．如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；(2)求點到面的距離.5．（23·24高二上·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示的五邊形中是矩形，，沿折疊成四棱錐.(1)從條件①；②；③中任選兩個作為補(bǔ)充條件，證明：平面平面：(2)在（1）的條件下，求點到平面的距離.6．（23·24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，其中，，底面，，為的中點，為的中點.

(1)證明：直線平面；(2)求點到平面的距離.7．（23·24高二上·上海楊浦·期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,求到平面的距離.題型二：利用向量法求點到平面的距離1．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，N是的中點，P是的中點，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（23·24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面面，.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.3．（23·24上·滄州·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，，，且底面，若邊上存在異于的一點，使得直線．

(1)求的最大值；(2)當(dāng)取最大值時，求異面直線與所成角的余弦值；(3)當(dāng)取最大值時，求點到平面的距離．4．（23·24上·北辰·期中）如圖，且且且平面．(1)若為的中點，為的中點，求證：平面；(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求點到平面的距離．5．（重慶市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點到平面的距離．三、專項訓(xùn)練一、單選題1．（23·24高二上·陜西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．2．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．3．（23·24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．4．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點分別為棱的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．（23·24上·紹興·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的三等分點靠近C點，則點E到平面BDF的距離為（

）A． B． C． D．6．（23·24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，點B到平面的距離為（

）

A． B． C． D．7．（23·24高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．8．（23·24高二上·吉林長春·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（

）

A． B． C． D．9．（23·24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，點D是的中點，點E是平面的中心，則點E到平面的距離為（

）A． B． C． D．二、填空題10．（23·24高二上·寧夏固原·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為.

11．（23·24高二上·山西太原·階段練習(xí)）如下圖所示，在平行六面體中，各棱長均為2，已知，，則點A到平面的距離.

12．（23·24高二上·安徽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點，則平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值為.

13．（23·24高二上·天津西青·階段練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體，點是棱的中點，點到直線的距離為．

三、解答題14．（23·24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，為等邊三角形（如圖1所示）．沿著折起，點折起到點的位置，使得側(cè)面底面．是棱的中點（如圖2所示）．

(1)求證：；(2)求點與平面的距離．15．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知一個組合體由一個圓錐與一個圓柱構(gòu)成（圓錐底面與圓柱上底面重合.平面為圓柱的軸截面），已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8.(1)求這個組合體的體積(2)設(shè)為半圓弧的中點，求到面的距離.18．（23·24高二上·北京通州·期中）如圖，在正方體中，分別是棱，，，的中點.

(1)求證：四點共面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.

專題04點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點到平面的距離 2題型二：利用向量法求點到平面的距離 10三、專項訓(xùn)練 16一、必備秘籍1、等體積法求點到平面的距離（1）當(dāng)點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達(dá)到目的時，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點，如當(dāng)線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點2、利用向量法求點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.二、典型題型題型一：等體積法求點到平面的距離1．（23·24高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，邊長為1的正方形中，分別是的中點，沿把這個正方形折成一個四面體使三點重合，重合后的點記為.則在四面體中，點到平面的距離為.

【答案】【詳解】由題意，折疊后的四面體如圖所示，

因為正方形邊長為，分別是的中點，所以，即，又平面，所以平面，同時由，得，又，所以，，設(shè)到平面的距離為，則，即，解得.故答案為：.2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如圖，已知點P在圓柱的底面圓O的圓周上，，圓O的直徑，圓柱的高．(1)求圓柱的體積；(2)求點A到平面的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知可得，圓柱的底面半徑，圓柱的高，圓柱體積為：；（2）設(shè)點到平面的距離為，在等腰中，由，則，為直徑，，在中，，則，由底面，底面,所以，又，平面，所以平面，平面，故，，，由等體積法，得，解得：．即點到平面的距離為．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如圖，已知長方體中，，，連接，過B點作的垂線交于E，交于F．

(1)求證：平面；(2)求點A到平面的距離；【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，平面，平面，得，又（已知），平面，平面，，所以平面，得.同理，平面，得.因為平面，平面，，，，所以平面.（2）因為平面，所以點A到平面的距離等于點B到平面的距離，設(shè)為d，因為，，即，，所以，.故點A到平面的距離等于.4．如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；(2)求點到面的距離.【答案】(1)答案見詳解(2)【詳解】（1）∵∥,平面，平面，∴∥平面（2）連接,設(shè)點到面的距離為，由已知可得,由正方體的性質(zhì)可知平面,則,∵，∴，解得，即點到面的距離為.

5．（23·24高二上·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示的五邊形中是矩形，，沿折疊成四棱錐.(1)從條件①；②；③中任選兩個作為補(bǔ)充條件，證明：平面平面：(2)在（1）的條件下，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）選條件①②：證明：由題意知，，，所以，在中，，，則，，又因為為矩形，，則，所以，在中，，由余弦定理可得，解得，所以，即，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.選條件①③：證明：由題意知，，，所以，在中，，，則，，又因為為矩形，，則，所以，又，所以，即，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.選條件②③：證明：由題意知，，，所以，在中，，，，由余弦定理可得，解得，所以，即，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）因為，平面，平面，所以平面，又，所以點到平面的距離等于點到平面的距離.由（1）知，平面，，又，，所以，，所以，即，所以，在中，，，則，所以在中，由余弦定理得，則，所以，設(shè)點到平面的距離為，則點到平面的距離也為，由可得，即，解得，故點到平面的距離為.6．（23·24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，其中，，底面，，為的中點，為的中點.

(1)證明：直線平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：

如上圖，取中點，連接、，∵為的中點，為的中點，為的中點，∴在矩形中，在中，又∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，又∵平面，平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面.（2）解：

如上圖，連接，由題意，，，，∵底面，平面，平面，∴，則是等腰直角三角形，∴，∵矩形中，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，則是直角三角形，，∴.∵底面，∴是三棱錐的高.∵底面是矩形，∴.∵點到平面的距離就是三棱錐的高，∴由得：，即，解得：，即點到平面的距離為.7．（23·24高二上·上海楊浦·期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接,如圖:因為,四邊形為菱形,所以,又為棱的中點,所以,因為,所以,因為平面,平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）因為平面,平面,所以平面,則到平面的距離即為點到平面的距離,設(shè)點到平面的距離為,因為,,平面,,四邊形為菱形,所以,解得,即到平面的距離為.題型二：利用向量法求點到平面的距離1．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，N是的中點，P是的中點，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，以A為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，，所以平面的一個法向量，所以，即點A到平面的距離為．故選：D.2．（23·24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面面，.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點，連接，由題意可知：，則∥，且，則為為平行四邊形，由，所以四邊形為矩形，可知，則，又因為，可知，即，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）如圖所示，以為原點，分別為軸、軸，過作垂直平面的直線，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以到平面的距離為.3．（23·24上·滄州·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，，，且底面，若邊上存在異于的一點，使得直線．

(1)求的最大值；(2)當(dāng)取最大值時，求異面直線與所成角的余弦值；(3)當(dāng)取最大值時，求點到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，則，．因為，所以，即．即，當(dāng)時，的最大值為．（2）由（1）可知，當(dāng)取最大值時，，，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，則，，因為，，，所以，取，則，，所以，所以，因為到平面的距離等于在上的射影長，所以．4．（23·24上·北辰·期中）如圖，且且且平面．(1)若為的中點，為的中點，求證：平面；(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）取GD中點為Q，連接NQ，MQ.因為的中點，為的中點，Q為GD中點，由三角形及梯形中位線定理，可得.又注意到，平面EDC，平面EDC，平面MNQ，，則平面平面.又平面MQN，則平面.（2）因平面ABCD，平面ABCD，則，又，則如圖建立以D為原點的空間坐標(biāo)系.則..設(shè)平面和平面的法向量分別為.則，取；，取.設(shè)平面和平面夾角為，則.則平面和平面夾角的正弦值為.（3）由（2），設(shè)，其中，則又由題可得，平面的一個法向量可取.結(jié)合直線與平面所成的角為，則.則，.設(shè)平面法向量為，則.取，則點到平面的距離.5．（重慶市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：以A為坐標(biāo)原點，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．∵，，，，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，設(shè)面的法向量為，∵，，∵，，∴，令，則，，∴，設(shè)到面的距離為d，∴.

三、專項訓(xùn)練一、單選題1．（23·24高二上·陜西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．點到平面的距離為．故選：D.2．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意易知直線面，所以到面的距離即為直線到平面的距離.建立如圖所示坐標(biāo)系，則：

，，，，,所以設(shè)面的法向量，則：，即取，則，所以所以到面的距離.故選：D3．（23·24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，所以直線到平面的距離為.故選：D.

4．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點分別為棱的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，解得，所以平面的一個法向量為，所以點到平面的距離.故選：D.

5．（23·24上·紹興·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的三等分點靠近C點，則點E到平面BDF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以點到平面的距離為.故選：A6．（23·24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，點B到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】

由題意得點到平面距離為三棱錐的高，設(shè)點到平面距離為，取中點，連接，因為為長方體，所以，所以，，，，所以，，解得.故選：D.7．（23·24高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以點到平面的距離為，因為，所以，，因為為棱的中點，且平面，則易知，則，則，設(shè)點到平面的距離為，則，即，即，解得．故選：D.8．（23·24高二上·吉林長春·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

取中點，連結(jié)，根據(jù)題意，平面，平面，所以平面平面，因為，所以，又平面平面，平面所以平面，且由題意可知，，則，即為直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，且，即，.故選：B9．（23·24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，點D是的中點，點E是平面的中心，則點E到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，連接，則點在上，再連接交于點，則為的中點，因為為的中點，可得，因為平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離等價于點到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，由，即，由，可得,又由，，所以，所以為直角三角形，所以，所以，即點到平面的距離為.故選：D.

二、填空題10．（23·24高二上·寧夏固原·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為.

【答案】/【詳解】如圖所示，

設(shè)到平面的距離為h，由得，所以，因為正方體的棱長為1，所以，，，所以是等邊三角形，所以，所以，即到平面的距離為.故答案為：.11．（23·24高二上·山西太原·階段練習(xí)）如下圖所示，在平行六面體中，各棱長均為2，已知，，則點A到平面的距離.

【答案】/【詳解】取的中點，記為，連接，如下圖：

在中，，，且為中點，所以，同理可得：，由，則，且，因為，平面，所以平面在中，由余弦定理可得：，由，，解得，在中，，所以，易知，三棱錐的體積，在中，由余弦定理可得：，則，，設(shè)到平面的距離為，.故答案為：.12．（23·24高二上·安徽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點，則平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值為.

【答案】【詳解】

連接相交于點，點為底面的中心，取中點為，連接，則，因為平面平面ABCD，則平面，以點為原點，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，且底面ABCD邊長為2，是等邊三角形，則，，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，，所以，且平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值即為點到平面的距離，則.故答案為：.13．（23·24高二上·天津西青·階段練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體，點是棱的中點，點到直線的距離為．

【答案】/【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為2，所以，，，所以直線方向向量，又，，所以在上的投影長為，所以點到直線的距離為

故答案為：.三、解答題14．（23·24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，為等邊三角形（如圖1所示）．沿著折起，點折起到點的位置，使得側(cè)面底面．是棱的中點（如圖2所示）．

(1)求證：；(2)求點與平面的距離．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）如圖，取AB中點O，連接交于,

∵為等邊三角形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，∴，又∵,，∴.∴，又∵平面,平面,，∴平面，∵平面，∴.（2）設(shè)點與平面的距離為，∵ABCD是正方形，△PAB為等邊三角形，∴,，又∵平面平面，平面，平面平面，故⊥平面，而平面，所以，，∴在中，，∴,則易得，由（1）知，平面，∴為三棱錐的高，∴又∵，得.故點與平面的距離為.15．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知一個組合體由一個圓錐與一個圓柱構(gòu)成（圓錐底面與圓柱上底面重合.平面為圓柱的軸截面），已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8.(1)求這個組合體的體積(2)設(shè)為半圓弧的中點，求到面的