必修二課后作業(yè)第一章　立體幾何初步124第2課時

第2課時兩平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二面角及其平面角的概念，能確定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定義及兩個平面垂直的判定定理．知識點一二面角思考1觀察教室內(nèi)門與墻面，當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．?dāng)?shù)學(xué)上，用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？答案二面角．思考2平時，我們常說“把門開大一點”，在這里指的是哪個角大一點？答案二面角的平面角．梳理(1)二面角的概念①定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．②相關(guān)概念：(ⅰ)這條直線叫做二面角的棱；(ⅱ)每個半平面叫做二面角的面．③畫法：④記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角①定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．②表示方法：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA?α，OB?β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知識點二平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時鉛錘線與地面什么關(guān)系？答案都是垂直．梳理兩面垂直的定義及判定(1)平面與平面垂直①定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．②畫法：③記作：α⊥β.(2)判定定理文字語言如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直圖形語言符號語言l⊥α，l?β?α⊥β類型一面面垂直的判定例1如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD.證明如圖，連結(jié)AC，與BD交于點F，連結(jié)EF.因為F為平行四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，所以F為AC的中點．又E為SA的中點，所以EF為△SAC的中位線，所以EF∥SC.又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.又EF?平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD.反思與感悟(1)面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．(2)面面垂直的定義也是證明面面垂直的基本方法，只需要證明兩個平面構(gòu)成的二面角為直二面角即可．跟蹤訓(xùn)練1如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC.證明由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.類型二與面面垂直有關(guān)的探索性問題例2如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).在CD上確定一點E，使得平面PBE⊥平面PAB.解取CD的中點E，連結(jié)PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.所以當(dāng)E為CD的中點時，平面PBE⊥平面PAB.反思與感悟存在性問題是將傳統(tǒng)意義上指定線線、線面、面面位置關(guān)系的證明，變成開放性和探究性問題．需要先找到相應(yīng)的點、線、面之間平行與垂直關(guān)系再進(jìn)行證明，但也可能不存在對應(yīng)的點、線、面平行與垂直關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．(1)證明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)證明取AB的中點H，連結(jié)GH，F(xiàn)H，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC.∵GH?平面BCD，BD?平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理，F(xiàn)H∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF?平面FHG，∴GF∥平面BCD.(3)解取線段AE的中點R，DC的中點M，DB的中點S，連結(jié)MS，RS，BR，DR，EM，則MS綊eq\f(1,2)BC.又RE綊eq\f(1,2)BC，∴MS綊RE，∴四邊形MERS是平行四邊形，∴RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點，∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE.∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS?平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面有________個．答案無數(shù)解析由面面垂直的判定定理知，所有過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．2．下列說法中正確的是________．(填序號)①若平面α和平面β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β；②若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β；③若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β；④若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.答案③解析①中，α與β還可能平行或相交且不垂直，所以①不正確；因為由平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，得α⊥β，所以②④不正確，③正確．3．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有________對．答案5解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．4.如圖所示，在三棱錐D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是________．(填序號)①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.答案③解析由AB＝CB，AD＝CD，E為AC的中點知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，從而AC⊥平面BDE，故③正確．5.如圖所示，在圓錐PO中，AB是⊙O的直徑，C是上的點，D為AC的中點．證明：平面POD⊥平面PAC.證明如圖所示，連結(jié)OC，因為OA＝OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因為OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.證明兩個平面垂直的主要途徑(1)利用面面垂直的定義．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．課時作業(yè)一、填空題1．在空間四邊形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列判斷正確的是________．(填序號)①平面ABC⊥平面ADC; ②平面ABC⊥平面ADB；③平面ABC⊥平面DBC; ④平面ADC⊥平面DBC.答案④解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.2．下列命題：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是________．(填序號)答案②④解析①不符合二面角定義；③從運(yùn)動的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．3.如圖所示，已知PA垂直于圓O所在平面．AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中面面垂直的共有______對．答案3解析∵PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，PA?平面PAB，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC.又BC?平面PCB，∴平面PCB⊥平面PAC.∴共3對．4.如圖，已知三棱錐P—ABC的所有棱長都相等，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中正確的是________．(填序號)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.答案①②④解析如圖所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴①正確．∵BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴②④正確．5．以下角：①異面直線所成的角；②直線和平面所成的角；③二面角的平面角．可能為鈍角的有________個．答案1解析異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，直線和平面所成角的范圍為[0°，90°]，二面角的平面角的范圍為[0°，180°]，只有二面角的平面角可能為鈍角．6．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫做x，y，z關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個平面α，β，γ關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是________．答案平行解析由平面與平面的位置關(guān)系及兩個平面平行、垂直的定義、判定定理知，平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．7．已知α，β是兩個不同的平面，m，n分別是平面α與平面β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________.(用序號表示)答案①③④?②(或②③④?①)解析當(dāng)m⊥α，m⊥n時，有n∥α或n?α.∴當(dāng)n⊥β時，α⊥β，即①③④?②.當(dāng)α⊥β，m⊥α?xí)r，有m∥β或m?β.∴當(dāng)n⊥β時，m⊥n，即②③④?①.8．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一個)答案垂直解析如圖，在正方體中，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD?平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.9．如圖，在三棱柱A1B1C1—ABC中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是________．(填序號)①CC1與B1E是異面直線；②直線AC⊥平面ABB1A1；③直線A1C1與平面AB1E不相交；④∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角．答案④解析CC1與B1E都在平面BB1C1C內(nèi)，即①不正確；若AC⊥平面ABB1A1，則AC⊥AB，與△ABC是正三角形矛盾，即②不正確；若直線A1C1與平面AB1E不相交，則A1C1∥平面AB1E，取B1C1的中點E1，則A1E1∥平面AB1E，又A1C1∩A1E1＝A1，于是平面A1B1C1∥平面AB1E，這與平面A1B1C1和平面AB1E都過點B1矛盾，所以③不正確；由已知可得AE⊥平面BCC1B1，所以∠B1EB是二面角B1—AE—B的平面角，即④正確．10.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析連結(jié)AC.∵底面各邊都相等，∴AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答題11.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.12.如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，SD⊥平面ABCD，AD⊥CD，BC⊥BD，∠BAD＝60°，SD＝AD＝AB，E是SB的中點．求證：(1)BC⊥DE；(2)平面SBC⊥平面ADE.證明(1)∵SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥SD.又∵BC⊥BD，SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SBD，∵DE?平面SBD，∴BC⊥DE.(2)∵SD＝AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴SD＝BD，∵E為SB的中點，∴DE⊥SB，又∵BC⊥DE，SB∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC，又DE?平面ADE，∴平面SBC⊥平面ADE.13.如圖所示，三棱臺DEF—ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.證明因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四邊形E