江西省重點中學協(xié)作體高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷

江西省重點中學協(xié)作體2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復數(shù)的共軛復數(shù)滿足，則在復平面內對應的點的坐標為（）A． B． C． D．3．酒駕最新標準規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，達到及以上認定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（）A．6 B．7 C．8 D．94．若，則（）A． B．1 C． D．5．已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，則（）A．51 B．48 C．36 D．336．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．2 C． D．47．已知定義域為的函數(shù)滿足：，，且，則下列說法不正確的是（）A． B．是奇函數(shù)C．若，則D．是奇函數(shù)8．我國南北朝時期的著名數(shù)學家祖暅原提出了祖明原理：“具勢既同，則積不容異．”意思是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．因此運用祖暅原理計算球的體積時，我們可以構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②，用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即，則．現(xiàn)將雙曲線與直線圍成的圖形繞軸旋轉一周后得一個旋轉體，類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9．下列命題正確的是（）A．已知由一組樣本數(shù)據(jù)，得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有B．某學校高三年級學生有男生500人，女生400人，為了獲得該校高三全體學生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了容量為180的樣本，經(jīng)計算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則抽取的樣本的方差為43C．已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)D．若隨機變量，且，則10．已知數(shù)列的前項和為，則下列選項正確的是（）A． B．數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列C． D．的最大整數(shù)的值為811．已知正方體邊長為2，動點滿足，則下列說法正確的是（）A．當時，則直線平面B．當時，的最小值為C．當時，的取值范圍為D．當，且時，則點的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．已知平面內非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為______．13．已知雙曲線的左焦點為，過原點且斜率為的直線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的離心率為______．14．已知函數(shù)相鄰兩零點的距離為，且，將圖像向左平移個單位長度，再將所得圖像上的所有點保持縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后得到函數(shù)的圖像．若存在非負實數(shù)使得，在內恰好有8個零點，則所有符合條件的值組成的集合為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題13分）如圖，在三棱錐中，平面平面，點為的重心，．（1）若平面，求的長度；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值．16．（本小題15分）在中，內角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．17．（本小題15分）某數(shù)學興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區(qū)印有從10個數(shù)字1，2，中隨機抽取的3個不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎，中獎規(guī)則為：每張彩票只能中獎一次（按照最高獎勵算）若3個數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中三等獎；若3個數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中二等獎；若3個數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時，中一等獎；其他情況不中獎．（1）在一張彩票中獎的前提下，求這張彩票是一等獎的概率；（2）假設每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．18．（本小題17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓雉曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，阿波羅尼斯圓指的是己知動點與兩定點的距離之比且是一個常數(shù)，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的上頂點與右頂點，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，過點斜率分別為的直線與橢圓的另一個交點分別為，且滿足，試探究面積是否存在最大值，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．19．（本小題17分）已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，證明：對任意，存在唯一實數(shù)，使得江西省重點中學協(xié)作體2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案CDBACBDA1．【答案】C【解析】由，則．2．【答案】D【解析】由，則，則在復平面內對應的點的坐標為．3．【答案】B【解析】由．即，兩邊取對數(shù)可得，．4．【答案】A【解析】，即，則．5．【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，由是與的等比中項得，解得（舍）或，則，則．6．【答案】B【解析】由題意知點在曲線上，則圓心到直線的距離，即，所以的最小值2．7．【答案】D【解析】由得，所以，故是奇函數(shù)，故B正確；由是奇函數(shù)得，令，由可得，又，得，故A正確；由得，所以，故是偶函數(shù)，所以D錯誤；由題意得，令得，當時，，所以C正確．8．【答案】A【解析】已知直線與雙曲線的交點為，則用垂直于軸的平面截旋轉體的截面為圓面，截面圓的半徑為，截面面積為，又直線與雙曲線的漸近線的交點為，所以是用垂直于軸的平面截兩條漸近線繞軸旋轉得到的旋轉體的截面面積，用垂直于軸的平面去截旋轉體，所得圓環(huán)的面積為，所以構造底面半徑為1，高為4的圓柱的截面面積為，體積為，又繞軸旋轉得到的旋轉體（兩個圓錐）的體積為，所以根據(jù)祖暅原理得旋轉體的體積為．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．題號91011答案BDABDBC9．【答案】BD【解析】對于A，這組數(shù)據(jù)不一定有，故A錯誤；對于，樣本均值樣本方差：．故B正確對于C，將這原來的30個數(shù)從小到大排列為，則，所以原來的分位數(shù)為，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)為，則，以剩下28個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由于互不相同，所以C不正確；對于D，，則，故D正確．綜上，正確選項為BD．10．【答案】ABD【解析】由題設可得，，即，又，即，所以，數(shù)列是首項為2且公比為2的等比數(shù)列．所以B正確．所以，，即．則，所以A正確．所以，，又符合上式，則，即．故C錯誤．，，所以D正確．11．【答案】BC【解析】對于A，由于時，則，此時為的中點，直線不會垂直平面，故A錯誤；對于，在上取點，使，在上取點，使，因為，即，故點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內，如圖：連接交于，此時三點共線，取到最小值即的長，由于，則，故，即此時的最小值為，B正確；對于C，當時，可得點的軌跡在平面內（包括邊界），所以的取值范圍為，C正確；對于D，當時，可得點的軌跡在內（包括邊界），由于平面平面，故，又平面，故平面平面，故，同理可證平面，故平面，設與平面交于點，由于，為邊長為的正三角形，則點到平面的距離為，若，則，即點落在以為圓心，為半徑的圓上，點到三邊的距離均為，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，又，其軌跡長度為3倍的弧長：，故D錯誤．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】【詳解】設與的夾角為，因為，即，又，則，即．13．【答案】【詳解】，又，，則．14．【答案】【詳解】由題意可知，即，，則，所以．故．則，令，此時，而，則上述方程在實數(shù)范圍內一定有兩個異號的根，不妨設，①當時，，此時無解，對于在內有6個零點，內都有8個零點，內有10個零點，則或；②當時，，此時在內有6個零點，在內有8個零點，在內有9個零點，故；③當時，，此時，令，又，則，故在內有6個零點，在內有8個零點，在內有10個零點，故；故．四、解答題：本大題共5小題，共77分．15．【解】（1）連接并延長與交于點，連接，所以平面平面．因為平面平面所以又因為為的重心，所以．所以．所以，即．所以在中，，則．（2）設為的中點，連接．因為平面平面又因為所以，且平面平面，所以平面，如圖所示，分別以為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，所以，因為，所以又因為，所以，所以．所以，又因為．不妨設平面的法向量，所以所以，可取設直線與平面所成的角為，所以．16．【解】（1）由正弦定理可得，又，則，，即，又，則．（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，即又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．則，又，則．17．【解】（1）若獲得三等獎則可能是出現(xiàn)：①2，4，8，10中出現(xiàn)3個；②2，4，8，10中出現(xiàn)2個，1，5，7出現(xiàn)1個；③2，4，8，10中出現(xiàn)1個，1，5，7出現(xiàn)2個；則獲得三等獎的概率，若獲得二等獎則可能是出現(xiàn)：①中出現(xiàn)2個，五個中出現(xiàn)1個；②中出現(xiàn)1個，1、2、4、7、8五個中出現(xiàn)2個；則獲得二等獎的概率，若獲得一等獎則可能是出現(xiàn)：①一個7，3、9中出現(xiàn)1個，4、8中出現(xiàn)1個；②一個7，一個6，2、4、8、10四個中出現(xiàn)1個；則獲得一等獎的概率，所以隨機抽取一張彩票，則這張彩票中獎的概率．所以已知一張彩票中獎，且是一等獎的概率為（2）一張彩票的獎金的取值可能為0、2、3、10元，由題可知不中獎的概率為其分布列為：02310所以，所以要盈利，則又，所以的最小值為2．18．【解】：（1）方法一：設，上頂點，右頂點，由題意知：整理可得：，又．，解得．則橢圓方程為．方法二：圓心在兩定點所在直線上，，又且圓心為則橢圓方程為（2）由題可知，直線的斜率顯然存在設，則解得：，則，又整理可得，即，即或，當時直線過點，不合題意，此時點到直線的距離為，又，當時面積取得最大值，最大值為2，此時，存在最大值為2，此時直線方程為．19．【解】（1），則，①當時，，令，則；令，則．即的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．②當時，，則的單調遞增區(qū)間為．③當時，則，令，則或；令，則．即的單調