2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十?dāng)?shù)系的擴(kuò)充(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.復(fù)數(shù)i-2的虛部是 ()A.i B.-2 C.1 D.2【解析】選C.因?yàn)閕-2=-2+i,所以虛部是1.2.若復(fù)數(shù)8i-ai2的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)a= ()A.8 B.4 C.0 【解析】選A.先將復(fù)數(shù)中i2化為-1,得8i-ai2=a+8i,因此,實(shí)部是a,虛部是8,實(shí)部與虛部相等,所以a=8.3.若復(fù)數(shù)z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m的值等于 ()A.-2 B.-3 C.3 【解析】選C.由題意知m2-9=0,解得m=±3.又z為正實(shí)數(shù),所以m=3.4.若4-3a-a2i=a2+4ai,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4【解析】選C.易知QUOTE解得a=-4.5.若復(fù)數(shù)(a2-2a-3)+(a2-5a+6)i=0,則實(shí)數(shù)a= ()A.-1 B.2 C.3 【解析】選C.由QUOTE?QUOTE所以a=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知復(fù)數(shù)z=(m2-2m)+(m2+m-2)i,當(dāng)m=____________時(shí),z=-1,當(dāng)m=____________時(shí),z=4i.

【解析】由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得QUOTE解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得QUOTE解得m=2.答案:127.已知實(shí)數(shù)x,y滿意(x+y)+(x-2y)i=(-x-3)+(y-19)i,則xy=____________.

【解析】因?yàn)閤,y是實(shí)數(shù),依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,得QUOTE解得x=-4,y=5,所以xy=-20.答案:-208.若sin2θ-1+(QUOTEcosθ+1)i是純虛數(shù),則θ的值為_______________.

【解析】由題意得,QUOTE解得QUOTE所以θ=2kπ+QUOTE,k∈Z.答案:2kπ+QUOTE,k∈Z三、解答題(每小題10分,共20分)9.實(shí)數(shù)m分別為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=QUOTE+(m2-3m-18)i是:(1)實(shí)數(shù).(2)虛數(shù).(3)純虛數(shù).【解析】(1)要使所給復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),必使復(fù)數(shù)的虛部為0.故若使z為實(shí)數(shù),則QUOTE解得m=6.所以當(dāng)m=6時(shí),z為實(shí)數(shù).(2)要使所給復(fù)數(shù)為虛數(shù),必使復(fù)數(shù)的虛部不為0.故若使z為虛數(shù),則m2-3m-18≠0,且m+3≠0,所以當(dāng)m≠6且m≠-3時(shí),z為虛數(shù).(3)要使所給復(fù)數(shù)為純虛數(shù),必使復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,虛部不為0.故若使z為純虛數(shù),則QUOTE解得m=-QUOTE或m=1.所以當(dāng)m=-QUOTE或m=1時(shí),z為純虛數(shù).10.若m為實(shí)數(shù),z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m【解題指南】由z1>z2或z1<z2知z1,z2為實(shí)數(shù),得關(guān)于m的方程求解.【解析】當(dāng)z1∈R時(shí),m3+3m2+2mm=0,-1,-2,z1=1或2或5.當(dāng)z2∈R時(shí),m3-5m2+4mm=0,1,4,z2=2或6或18.上面m的公共值為m=0,此時(shí)z1與z2同時(shí)為實(shí)數(shù),此時(shí)z1=1,z2=2.所以z1>z2時(shí)m值的集合為空集,z1<z2時(shí)m值的集合為{0}.(20分鐘·40分)1.(5分)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),i為虛數(shù)單位)是瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的,eiπ+1=0是英國(guó)科學(xué)期刊《物理世界》評(píng)比出的十大最宏大的公式之一.依據(jù)歐拉公式可知,復(fù)數(shù)QUOTE的虛部為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTEi D.QUOTEi【解析】選B.依據(jù)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,可得QUOTE=cosQUOTE+isinQUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE的虛部為QUOTE.2.(5分)若一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則稱此復(fù)數(shù)為“志向復(fù)數(shù)”.已知z=QUOTE+bi(a,b∈R)為“志向復(fù)數(shù)”,則 ()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=0【解析】選D.z=QUOTE+bi=QUOTE+bi=QUOTE+QUOTEi.由題意,得QUOTE=-QUOTE-b,即3a+5b=0.3.(5分)已知x,y∈R,復(fù)數(shù)z=x2+y2-6+(x-y-2)i=0,則x+y=____________,復(fù)數(shù)z的虛部為____________.

【解析】由復(fù)數(shù)相等的條件可得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以x+y=2QUOTE或x+y=-2QUOTE.復(fù)數(shù)z的虛部為0.答案:2QUOTE或-2QUOTE04.(5分)復(fù)數(shù)cos2θ+2isin2θ的實(shí)部與虛部的和等于_______________.

【解析】復(fù)數(shù)cos2θ+2isin2θ的實(shí)部和虛部分別為cos2θ和2sin2θ,故cos2θ+2sin2θ=1-2sin2θ+2sin2θ=1.答案:15.(10分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i是:(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?(4)零?【解析】(1)當(dāng)k2-5k-6=0,即k=6或k=-1時(shí),z為實(shí)數(shù).(2)當(dāng)k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1時(shí),z是虛數(shù).(3)當(dāng)QUOTE即k=4時(shí),z為純虛數(shù).(4)當(dāng)QUOTE即k=-1時(shí),z是零.6.(10分)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}滿意M∩N≠?,求整數(shù)a,b.【解題指南】由M∩N≠?,借助復(fù)數(shù)相等的充要條件求a,b.【解析】依題意得(a+3)+