2024-2025學年福建省泉州市晉江市養(yǎng)正中學高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省泉州市晉江市養(yǎng)正中學高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，則AF?12A.?EF B.BD C.EF D.2.已知點A(a,?3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,?1)，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是(

)A.?2，3 B.?1，2 C.1，3 D.?2，23.過點A(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(

)A.x?y+3=0 B.x+y?5=0

C.4x?y=0或x+y?5=0 D.4x?y=0或x?y+3=04.已知點A(2,?3)，B(?3,?2)直線l過點P(1,1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(

)A.(?∞,?4]∪[34,+∞) B.(?∞,?14]∪[5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=5A.85

B.97

C.85

6.已知點A(2,?6,2)在平面α內，n=(3,1,2)是平面α的一個法向量，則下列點P中，在平面α內的是(

)A.P(1,?1,1) B.P(1,3,32) C.P(1,?3,7.數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點為A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，則該三角形的歐拉線方程為(

)A.y=?12x+52 B.y=18.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB邊上異于AB的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P(如圖)，若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則三角形PQR周長等于(

)A.853 B.C.45 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：3x?y+1=0，則下列結論正確的是(

)A.直線l的一個法向量為(3,1)

B.若直線m：x?3y+1=0，則l⊥m

C.點(3,0)到直線l的距離是10.關于空間向量，以下說法正確的是(

)A.非零向量a，b，若a?b=0，則a⊥b

B.若對空間中任意一點O，有OP=15OA+13OB+12OC，則P，A，B，C四點共面

C.設{a,b,c11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點，若一點P在底面ABCD內(包括邊界A.D1E與平面CC1D1D的夾角的正弦值為13

B.A1點到D1E的距離為42三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a∈R，設直線l1：x+ay?1=0，l2：ax+y?1=0，若l1//l213.當點P(?2,?1)到直線l：(1+3λ)x+(1+λ)y?2?4λ=0(λ∈R)距離的最大值時，直線l的一般式方程是

．14.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：i，j，k分別為“斜60°坐標系”下三條數(shù)軸(x軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量n=xi+yj+zk，則n與有序實數(shù)組(x,y,z)相對應，稱向量n的斜60°坐標為[x,y,z]，記作n=[x,y,z].若a=[1,2,3]，b=[?1,1,2]，則a+b的斜60°坐標為______.在平行六面體ABCD?ABC1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DA四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l1：2x+3y?2=0，l2：mx+(2m?1)y+1=0，其中m為實數(shù)．

(1)當l1//l2時，求直線l1，l2之間的距離；

(2)當m=116.(本小題15分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點．17.(本小題15分)

設直線l的方程為(a+1)x+y?5?2a=0(a∈R)．

(1)求證：不論a為何值，直線l必過一定點P；

(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點A(xA,0)，B(0,yB)，當△ABO面積最小時，求此時的直線方程；

(3)當直線l18.(本小題17分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BC=4，∠ABC=60°，△PAB是邊長為2的等邊三角形，PB⊥AC，E是線段PD的中點．

(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)若PF=λPC(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面BEF和平面PAD夾角的余弦值為3519.(本小題17分)

如圖，在三棱臺ABC?DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N為DF的中點，二面角D?AC?B的大小為θ．

(1)求證：AC⊥BN；

(2)若A到平面BCFE的距離為62，求cosθ

參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.CD

10.AD

11.ABD

12.?1

13.3x+2y?5=0．

14.BN=[?1,2,3]

?15.解：(1)因為直線l1：2x+3y?2=0，l2：mx+(2m?1)y+1=0，l1//l2時，

則m2=2m?13≠1?2，解得m=2，

此時直線l2的方程為2x+3y+1=0，

所以兩條直線間的距離d=|?2?1|22+32=31313；

(2)當m=1時，則直線l2的方程為：x+y+1=0，

聯(lián)立2x+3y?2=0x+y+1=0，解得x=?5，y=416.解：(1)證明：在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，

以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則A1(0,0,4)，F(xiàn)(2,2,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(2,0,2)，

A1F=(2,2,?2)，DC=(2,0,0)，DE=(0,?2,2)，

設平面CDE的法向量為n=(x,y,z)，

則n?DC=2x=0n?DE=?2y+2z=0，取y=1，得n=(0,1,1)，

17.(1)證明：由l：(a+1)x+y?5?2a=0，整理得a(x?2)+x+y?5=0，

所以直線l經(jīng)過直線x?2=0與x+y?5=0的交點，

由x?2=0x+y?5=0，解得x=2y=3，所以不論a為何值，直線l必過一定點P(2,3)．

(2)解：由(a+1)x+y?5?2a=0，令x=0；得yB=5+2a，令y=0，得xA=5+2aa+1，

根據(jù)yB=5+2a>0xA=5+2aa+1>0，得a>?1，

所以S△AOB=12?(5+2a)?5+2aa+1=12[4(a+1)+9a+1+12]≥12[24(a+1)?9a+1+12]=12，18.(1)證明：在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC=4+16?2×2×4×12=12，

所以AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB，

因為PB⊥AC，且AB∩PB=B，AB、PB?平面PAB，

所以AC⊥平面PAB，

又AC?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．

(2)解：以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，作Az⊥平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，D(?2,23,0)，P(1,0,3)，E(?12,3,32)，

所以AP=(1,0,3)，AD=(?2,23,0)，BE=(?52,3,32)，BP=(?1,0,3)，PC=(?1,23,?3)，

所以BF=BP+PF=BP+λPC=(?1,0,3)+λ(?1,23,?19.解：(1)證明：取AC的中點O，連接ON，OB，

由題意知，四邊形ACFD是等腰梯形，△ABC是等邊三角形，

所以ON⊥AC，OB⊥AC，

因為ON∩OB=O，ON、OB?平面OBN，

所以AC⊥平面OBN，又BN?平面OBN，

所以AC⊥BN；

(2)以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，B(0,