1531分式方程（講練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)(人教版)

15.3.1分式方程分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.題型1：分式方程的定義1.給出下列方程：，，，，其中分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程逐一進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：分式方程有＝2，＝，共有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的定義．【變式11】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各方程進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：方程①是分式方程，符合題意；方程②分母中含有未知數(shù)，符合題意；方程③整式方程，不符合題意；方程④是整式方程，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵．【變式12】已知方程：①＝0，②＝1③x+＝2+④（x+）（x﹣6）＝﹣1．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1．【分析】利用分式方程的定義判斷即可．【解答】解：①＝0，是分式方程；②+＝1，是分式方程；③x+＝2+，是分式方程；④（x+）（x﹣6）＝﹣1，不是分式方程，則分式方程的個(gè)數(shù)是3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．題型2：解分式方程2.解方程（1）＝；解：（1）去分母，得x＝2（x﹣2），解得x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的根；（2）＝．解：方程兩邊同時(shí)乘（x﹣3）（x﹣2），得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）化簡(jiǎn)，得x﹣5＝0解得：x＝5檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時(shí)，（x﹣3）（x﹣2）≠0，∴x＝5是分式方程的解．（3）解方程：＝．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟解出方程，檢驗(yàn)，即可得到答案．【解答】解：方程兩邊同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，檢驗(yàn)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解為x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解分式方程，解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論，注意解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．【變式21】解分式方程：（1）﹣＝1（2）3﹣＝．【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可．【解答】解：（1）方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2+2＝（x+1）（x﹣1），解方程，得x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣2是原方程的根；（2）方程兩邊同乘以（x﹣2），得3（x﹣2）﹣（x﹣1）＝﹣1，解方程，得x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的增根，原方程無解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式22】解方程：（1）．【分析】去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)合并同類項(xiàng)即可求解．【解答】解：，x（x﹣1）+3＝x2﹣2x+1，x2﹣x+3＝x2﹣2x+1，x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣2是方程的根，∴原方程的解為x＝﹣2．（2）+＝【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣3x+6＝x2+3x，解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．題型3：增根（無解）與求字母的值3.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2【分析】先解分式方程，得x＝m+1，再將增根代入即可求出m的值．【解答】解：去分母，得x﹣1＝m，∴x＝m+1，將增根x＝2代入，得2＝m+1，解得m＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的含義是解題的關(guān)鍵．【變式31】分式方程：﹣1＝有增根，求m值．【分析】根據(jù)去分母，可得整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，可得關(guān)于m的一元一次方程，解一元一次方程，可得答案．【解答】解：去分母，得m＝x﹣2．分式方程的增根是x＝1或x＝2．當(dāng)x＝1時(shí)，m＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，m＝x﹣2＝2﹣2＝0，當(dāng)m＝0時(shí)，原分式方程轉(zhuǎn)化為﹣1＝0，∴x﹣（x﹣1）＝0，此方程無解，原分式方程沒有增根，∴m＝0與題意不符，舍去．綜上所述：m＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，把分式方程的曾根代入整式方程得出關(guān)于m的一元一次方程是解題關(guān)鍵．【變式32】若關(guān)于x的方程﹣1＝有增根．求m的值．【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母（x﹣1）（x+2）＝0，得到x＝1或﹣2，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，整理得：x+2＝m，∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母（x﹣1）（x+2）＝0，解得x＝1或﹣2，當(dāng)x＝1時(shí)，m＝3；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，m＝0，此時(shí)原方程為﹣1＝0，x﹣（x﹣1）＝0，這個(gè)整式方程無解，∴m的值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式33】k為何值時(shí)，方程﹣＝1﹣會(huì)產(chǎn)生增根？【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出k的值．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣2﹣k（x+2）＝x2﹣4﹣4x，由分式方程有增根，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：k＝2；把x＝﹣2代入整式方程得：無解，綜上，k的值為2時(shí)，方程﹣＝1﹣會(huì)產(chǎn)生增根．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．題型4：根據(jù)文字列方程求值解4.當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值和分式的值互為相反數(shù)？【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：根據(jù)題意得：+＝0，去分母得：x+3+2＝0，解得：x＝﹣5，檢驗(yàn)：把x＝﹣5代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解為x＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【變式41】已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，若A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等，求x的值．【分析】根據(jù)A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等得出兩種情況：①＝，②＝﹣，再求出分式方程的解即可．【解答】解：有兩種情況：①＝，方程兩邊乘x﹣3，得3＝﹣（7﹣2x），解得：x＝5，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時(shí)，x﹣3≠0，所以x＝5是分式方程的解；②＝﹣，方程兩邊乘x﹣3，得3＝7﹣2x，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣3≠0，所以x＝2是分式方程的解；綜合上述：x的值是5或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程和數(shù)軸，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．【變式42】如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和．（1）當(dāng)x＝1.5時(shí)，求AB的長(zhǎng)．（2）當(dāng)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離比B到原點(diǎn)的距離多3，求x的值．【分析】（1）表示出AB的長(zhǎng)，將x代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列出分式方程，求出解即可得到x的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：﹣＝，當(dāng)x＝1.5時(shí)，AB＝＝3；（2）根據(jù)題意得：﹣＝3，去分母得：2﹣x+1＝6﹣3x，解得：x＝1.5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1.5是分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，以及數(shù)軸，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型5：根據(jù)解的正負(fù)字母求取值范圍5.已知關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求a的取值范圍．【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知條件列出不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【解答】解：關(guān)于x的方程的解為：x＝a﹣1，∵分式方程有可能產(chǎn)生增根x＝1，∴a﹣1≠1，∵關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，∴，解得：a＞1且a≠2．∴a的取值范圍為：a＞1且a≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，考慮分式方程可能產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．【變式51】若關(guān)于x的方程有非負(fù)數(shù)解，求m得取值范圍．【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再結(jié)合題意得出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍．【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，解得：x＝6﹣m，∵x≥0且x≠3，∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，解得：m≤6且m≠3，∴m得取值范圍是m≤6且m≠3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組是解決問題的關(guān)鍵．【變式52】若關(guān)于x的方程無解，求m的值．【分析】把分式方程化為x+4+m（x﹣4）＝m+3，整理為（m+1）x＝5m﹣1，分m+1＝0和m+1≠0兩種情況討論，即可得出答案．【解答】解：把分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，∴（m+1）x＝5m﹣1，當(dāng)m+1＝0，即m＝﹣1時(shí)，整式方程無解則分式方程也無解，當(dāng)m+1≠0時(shí)，（x+4）（x﹣4）＝0，即x＝4或﹣4，分式方程無解，把x＝4代入（m+1）x＝5m﹣1得：4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝5，把x＝﹣4代入（m+1）x＝5m﹣1得：﹣4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝﹣，綜上所述，m＝﹣1或5或﹣時(shí)，分式方程無解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，理解分式方程化為整式方程后，整式方程的解和分式方程的解的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．題型6：分式方程與新定義問題6.定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)則如下：a?b＝，（a≠b2），這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：1?3＝＝﹣．求x?（﹣2）＝1中x的值．【分析】已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算求出解即可確定出x的值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，檢驗(yàn)：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解為x＝5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式61】定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b（其中a≠0），都有a?b＝﹣，等式右邊是通常的加法、減法及除法運(yùn)算，例如2?3＝﹣＝+＝1．（1）求（﹣2）?3的值；（2）若x?2＝1，求x的值．【分析】（1）根據(jù)新定義型運(yùn)算法則即可求出答案．（2）列出方程即可求出答案【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣3（2）由題意可知：﹣＝11﹣（x﹣2）＝x1﹣x+2＝xx＝經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原方程的解，【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義型運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確利用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．一．選擇題（共5小題）1．下列關(guān)于x的方程①＝x+y，②＝5，③＝x﹣3，④＝中，是分式方程的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)分式方程的定義，即可判斷．【解答】解：下列關(guān)于x的方程①＝x+y，②＝5，③＝x﹣3，④＝中，是分式方程的有：②＝5，共有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．若分式方程+＝有增根，那么增根的值為（）A．﹣4或6 B．﹣4或﹣6 C．2或﹣2 D．4或6【分析】根據(jù)分式方程增根的含義可得x﹣2＝0或x+2＝0，進(jìn)一步即可求出增根．【解答】解：∵分式方程+＝有增根，∴x﹣2＝0或x+2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，∴增根為2或﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的含義是解題的關(guān)鍵．3．解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1 C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1【分析】將分式方程去分母即可．【解答】解：﹣2＝，去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．4．若關(guān)于x的不等式組有解且所有的解都是正數(shù)，且關(guān)于y的分式方程＝0的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先解不等式組求得﹣1≤a＜4，；再解分式方程得y＝，再由方程的解為整數(shù)，可得a是2的倍數(shù)，由于y≠1，則a≠0，可求a的值為2．【解答】解：不等式組，由①得x≤5，由②得x＞a+1，∵不等式組有解且所有的解都是正數(shù)，∴0≤a+1＜5，∴﹣1≤a＜4，解分式方程＝0得，y＝，∵y≠1，∴a≠0，∵方程的解為整數(shù)，∴a是2的倍數(shù)，∴a的值為2，∴符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情況是解題的關(guān)鍵．5．關(guān)于x的分式方程，下列說法正確的是（）A．方程的解是x＝m﹣3 B．當(dāng)m＞3時(shí)，方程的解是正數(shù) C．當(dāng)m＜3時(shí)，方程的解為負(fù)數(shù) D．當(dāng)m＝3時(shí)，方程無解【分析】先去分母求得分式方程的解，然后將分式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行討論分析即可．【解答】解：最簡(jiǎn)公分母為x+3，兩邊同乘x+3得：m＝x+3，移項(xiàng)得：x＝m﹣3．∵當(dāng)x+3＝0時(shí)，即x＝﹣3時(shí)，方程產(chǎn)生增根，∴當(dāng)x≠﹣3時(shí)，方程的解是x＝m﹣3，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)m＞3時(shí)，x＝m﹣3＞0，∵當(dāng)x＝﹣3時(shí)，方程產(chǎn)生增根，∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，∴當(dāng)m＞3時(shí)，方程的解是正數(shù)，故B選項(xiàng)符合題意，當(dāng)m＜3時(shí)，x＝m﹣3＜0，∵當(dāng)x＝﹣3時(shí)，方程產(chǎn)生增根，∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，∴當(dāng)m＜3且m≠0，方程的解是負(fù)數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意；顯然選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程，根據(jù)最簡(jiǎn)公分母是否為0進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）6．關(guān)于x的方程＝1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組有解，則符合題意的所有整數(shù)m的和為．【分析】先求出方程的解與不等式組的解集，再根據(jù)題目中的要求，求出相應(yīng)的m的值相加即可解答本題．【解答】解：∵關(guān)于x的方程＝1的解為正數(shù)，∴2﹣x﹣m＝x﹣3，解得：x＝，∵x﹣3≠0，∴x≠3，∴≠3，m≠﹣1，則5﹣m＞0，故m＜5，且m≠﹣1，∵關(guān)于y的不等式組有解，∴m+3≤y≤3m+6，且m+3≤3m+6，解得：m≥﹣1.5，故m的取值范圍是：﹣1.5≤m＜5，且m≠﹣1，則符合題意的整數(shù)m有：0，1，2，3，4，∴符合題意的所有整數(shù)m的和為10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．7．符號(hào)“|”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：|＝ad﹣bc，請(qǐng)你根據(jù)運(yùn)算法則求出等式中x的值．若|＝1，那么x＝．【分析】根據(jù)定義列分式方程直接求解即可．【解答】解：由已知條件整理得，2×，方程兩邊同時(shí)乘以x+1得，2﹣3＝x+1，解得x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解分式方程，理解定義是解題關(guān)鍵．8．若關(guān)于x方程的解是x＝3，則a的值為．【分析】將x＝3代入分式方程后解關(guān)于a的一次方程即可．【解答】解：將x＝3代入分式方程得，＝2，a＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，通過將x的解代入方程化成含a的方程進(jìn)而求解，關(guān)鍵在于運(yùn)算能力．9．關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)a的值為﹣3．【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征確定整數(shù)a的值．【解答】解：分式方程的解為：x＝，∵分式方程有可能產(chǎn)生增根1，又∵關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，∴x＝≠1，∴滿足條件的所有整數(shù)a的值為：﹣3，∴a的值為：﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，方程的整數(shù)解，考慮分式方程可能產(chǎn)生增根的情況是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）10．若關(guān)于x的分式方程＝2﹣的解為正數(shù)，求滿足條件的正整數(shù)m的值．【分析】根據(jù)分式方程的一般解法得到方程＝2﹣的解為x＝4﹣m；由于該方程的解為正數(shù)，則x＞0，由于要使方程有意義，則x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根據(jù)所得的方程，求出m的值，結(jié)合題意m為正整數(shù)，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵＝2﹣，∴＝2+，＝2，x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解為正數(shù)，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范圍為m＜4且m≠2．∵m為正整數(shù)，∴m的值為1，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是求出m的范圍，本題屬于中等題型．11．解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程的兩邊同乘以（x﹣4）去分母，解方程得出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．（2）分式方程的兩邊同乘以（x﹣1）（x+1）去分母，解方程得出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：（1）方程兩邊同乘以（x﹣4），得3﹣x﹣1＝x﹣4，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣4≠0，所以x＝3是原方程的解；（2）方程的兩邊同乘以（x﹣1）（x+1），得x+1＝1，解得x＝0，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，（x﹣1）（x+1）≠0，所以x＝0是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是能夠熟練去分母，不要漏乘常數(shù)，不要漏寫檢驗(yàn)．12．解分式方程：．【