1823正方形(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

18.2.3正方形正方形的定義和性質(zhì)正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心.5.面積為邊長(zhǎng)的平方或?qū)蔷€平方的一半.注意：①既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.②正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.特殊四邊形定義間的關(guān)系：題型1：正方形的定義和性質(zhì)1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．四邊相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線互相平分【變式11】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角互補(bǔ) B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線互相平分 D．四邊相等【變式12】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．正方形是特殊的菱形 B．菱形是特殊的平行四邊形 C．正方形是特殊的矩形 D．矩形是特殊的菱形題型2：正方形的性質(zhì)與求角度2.如圖，正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．15° D．10°【變式21】如圖所示，在正方形ABCD中，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連接CE、BD交于點(diǎn)G，連接AG，那么∠AGD的度數(shù)是度．【變式22】．如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)．連接AE，CE．并延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度數(shù)．題型3：正方形的性質(zhì)與求線段3.如圖，在正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF．若AE＝1，則EF的值為（）A．3 B． C．2 D．4【變式31】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長(zhǎng)為．【變式32】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝CF+AE；（2）當(dāng)AE＝2時(shí)，求EF的長(zhǎng)．題型4：正方形的性質(zhì)與求面積/周長(zhǎng)4.如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)EF分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為（）A．7 B．3+ C．8 D．3+【變式41】如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFGH的周長(zhǎng)為（）A． B．2 C．+1 D．2+1【變式42】如圖，O是正方形ABCD的兩條對(duì)角線BD，AC的交點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)D，若圖中陰影部分的面積為1，則正方形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．8 D．4題型5：正方形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用5.邊長(zhǎng)為10cm的正方形ABCD繞對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到得到正方形OA′B′C′，如圖所示，則陰影部分面積為（）A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2【變式51】如圖，將五個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示擺放，其中點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)、如果有n個(gè)這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是（）A． B． C． D．題型6：正方形與探究數(shù)量關(guān)系6.如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB（或BA）延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，MN⊥DM且與∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)N，此時(shí)MD與MN有何數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【變式61】如圖，四邊形ABCD是正方形，G是直線BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥直線AG于點(diǎn)E．BF⊥直線AG于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)G在線段BC上，判斷AF，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出AF，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（3）若點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出AF，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．題型7：正方形性質(zhì)綜合應(yīng)用7.已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE，連接BG、DE．求證：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．【變式71】如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，∠MAN＝45°．（1）求證：MN＝BM+DN；（2）當(dāng)AB＝6，MN＝5時(shí)，求△CMN的面積．【變式72】如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.題型8：正方形的判定（條件選擇）8.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【變式81】已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論：①當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形；③當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形，其中錯(cuò)誤的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式82】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，從下列條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，選出其中兩個(gè)，使平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫危旅娼M合錯(cuò)誤的是（）①② B．①③ C．③④ D．①④題型9：正方形的判定（基礎(chǔ)證明）9.已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是兩銳角角平分線的交點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，求證：四邊形CDEF是正方形．【變式91】如圖，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形.【變式92】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°.求證：四邊形ABCD是正方形.題型10：正方形的判定與性質(zhì)綜合10.有如下一道作業(yè)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF，DF.求證：△BCE≌△DCF.（1）請(qǐng)你完成這道題的證明：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)N是邊CD上一點(diǎn)，CM＝CN，連接DM，連接FC.①求證：∠BFC＝45°.②把FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP（如圖3）.求證：BF＝CP+DF.【變式101】綜合與實(shí)踐如圖1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為E，GF⊥CD，垂足為F．（1）（證明與推斷）①四邊形CEGF的形狀是；②AGBE的值為（2）（探究與證明）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0°<α><45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）（拓展與運(yùn)用）如圖3，在（2）的條件下，正