突破04與代數(shù)三角形四邊形圓有關(guān)的閱讀理解題

重難點(diǎn)突破突破04與代數(shù)、三角形、四邊形、圓有關(guān)的閱讀理解題目錄一覽中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一與代數(shù)有關(guān)問題?考向二與三角形有關(guān)問題?考向三與四邊形有關(guān)問題?考向四與圓有關(guān)問題“閱讀與思考”是近年中考出現(xiàn)的新題型，設(shè)題背景常結(jié)合數(shù)學(xué)文化考查，這類題改變傳統(tǒng)的“由條件求結(jié)果”模式，集閱讀、理解、思考、應(yīng)用于一體.通常是以一個(gè)新概念、新公式的形式、推導(dǎo)與應(yīng)用的形式出現(xiàn)，或提供材料，給出一定的操作程序、數(shù)學(xué)思想方法，然后運(yùn)用從中學(xué)到的知識(shí)解決有關(guān)問題，考查學(xué)生的閱讀思考能力和解決問題的能力.數(shù)學(xué)閱讀因其語言的高度抽象，以及文字語言、符號(hào)語言和圖形語言并存，有別于其他學(xué)科的閱讀，要掌握數(shù)學(xué)閱讀的方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，提高閱讀素養(yǎng).?考向一與代數(shù)有關(guān)問題1．（2023?寧夏）解不等式組．下面是某同學(xué)的部分解答過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：解：由①得：4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2﹣7x＞﹣7…第3步x＞1…第4步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯(cuò)誤；不等式①的正確解集是x＜1；任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．解：任務(wù)一：4，不等式的基本性質(zhì)3應(yīng)用錯(cuò)誤，x＜1；任務(wù)二：﹣3x+x≤4﹣2，﹣2x≤2，x≥﹣1，∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜1．2．（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；故答案為：﹣，﹣；（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩根分別為m，n，∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．3．（2022?黃石）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）直接應(yīng)用：方程x4﹣5x2+6＝0的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；（2）間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．解：（1）令y＝x2，則有y2﹣5y+6＝0，∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；故答案為：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；（2）∵a≠b，∴a2≠b2，令a2＝m，b2＝n．∴m≠n，則2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，此時(shí)a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．綜上所述，a4+b4＝．（3）令＝a，﹣n＝b，則a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，∵n＞0，∴≠﹣n，即a≠b，∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．4．（2022?寧夏）下面是某分式化簡(jiǎn)過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．（﹣）÷＝（﹣）?…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任務(wù)一：填空①以上化簡(jiǎn)步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是分式的性質(zhì)．②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)沒有變號(hào)．任務(wù)二：直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果．解：任務(wù)一：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是分式的性質(zhì)．②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)沒有變號(hào)．故答案為：①一，分式的性質(zhì)．②二，去括號(hào)沒有變號(hào)．任務(wù)二：（﹣）÷＝（﹣）?＝?＝?＝．5．（2022?安順）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國(guó)勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗(yàn)田比B塊試驗(yàn)田少4畝．（1）A塊試驗(yàn)田收獲水稻9600千克、B塊試驗(yàn)田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？（2）為了增加產(chǎn)量，明年計(jì)劃將種植普通水稻的B塊試驗(yàn)田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻？解：（1）設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量是x千克，則雜交水稻的畝產(chǎn)量是2x千克，依題意得：﹣＝4，解得：x＝600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝600是原方程的解，且符合題意，則2x＝2×600＝1200．答：普通水稻的畝產(chǎn)量是600千克，雜交水稻的畝產(chǎn)量是1200千克；（2）設(shè)把y畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻，依題意得：9600+600（﹣y）+1200y≥17700，解得：y≥1.5．答：至少把1.5畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻．6．（2022?涼山州）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝．x1x2＝﹣．（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案為：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s與t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．7．（2023?泰州）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式，函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1方程x2﹣x﹣6＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝3，可得函數(shù)y＝x2﹣x﹣6的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2、3，畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在x軸下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．方法2不等式x2﹣x﹣6＜0可變形為x2＜x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x2與y＝x+6的圖象關(guān)系．畫出函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)；兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是﹣2、3；y＝x2的圖象在y＝x+6的圖象下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集．方法3當(dāng)x＝0時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)x＞0時(shí)，不等式變?yōu)閤﹣1＜；當(dāng)x＜0時(shí)，不等式變?yōu)閤﹣1＞．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x﹣1與y＝的圖象關(guān)系…任務(wù)：（1）不等式x2﹣x﹣6＜0的解集為﹣2＜x＜3；（2）3種方法都運(yùn)用了D的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項(xiàng)中選1個(gè)序號(hào)即可）；A．分類討論B．轉(zhuǎn)化思想C．特殊到一般D．?dāng)?shù)形結(jié)合（3）請(qǐng)你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖，并結(jié)合圖象作出解答．解：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0，得x1＝﹣2，x2＝3，∴函數(shù)y＝x2﹣x﹣6的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2、3，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣6的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)﹣2＜x＜3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí)y＜0，即x2﹣x﹣6＜0．所以不等式x2﹣x﹣6＜0的解集為：﹣2＜x＜3．故答案為：﹣2＜x＜3；（2）上述3種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，故答案為：D；（3）當(dāng)x＝0時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)x＞0時(shí)，不等式變?yōu)閤﹣1＜；當(dāng)x＜0時(shí)，不等式變?yōu)閤﹣1＞．畫出函數(shù)y＝x﹣1和函數(shù)y＝的大致圖象如圖：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x﹣1＜的解集為0＜x＜3；當(dāng)x＜0時(shí)，不等式x﹣1＞的解集為﹣2＜x＜0，∵當(dāng)x＝0時(shí)，不等式x2﹣x﹣6＜0一定成立，∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集為：﹣2＜x＜3．8．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：（0，1），y＝﹣1；【技能訓(xùn)練】（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請(qǐng)直接寫出d1+d2的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點(diǎn)F（h，k+），直線l過點(diǎn)M（h，k﹣）且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，）的距離等于點(diǎn)P到直線l：y＝的距離．請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：（4）如圖4，點(diǎn)D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2﹣1上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)PO+PD取最小值時(shí)，請(qǐng)求出△POD的面積．解：（1）∵拋物線y＝x2中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線l的方程為y＝﹣1，故答案為：（0，1），y＝﹣1；（2）由（1）知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），∵點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，又∵y0＝，∴4y0＝8+2y0﹣1，解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），∴x0＝（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）過點(diǎn)P作PE⊥直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如圖：若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故當(dāng)F，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最?。弧咧本€PE與直線m垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y＝﹣2x+b，將F（0，1）代入解得：b＝1，∴直線PE的解析式為y＝﹣2x+1，∵點(diǎn)E是直線PE和直線m的交點(diǎn)，令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），∴d1+d2＝﹣1．即d1+d2的最小值為﹣1．（4）∵拋物線y＝x2﹣1中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴拋物線y＝x2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），準(zhǔn)線l的方程為y＝﹣2，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG＝PF，則PO+PD＝PG+PD，如圖：若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故當(dāng)D，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最??；如圖：∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），DG⊥準(zhǔn)線l，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，則△OPD的面積為××1＝．9．（2022?永州）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c．（1）若a＝1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4）和點(diǎn)（2，1），求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值；（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍．（3）閱讀下面材料：設(shè)a＞0，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖象，思考以下三個(gè)方面：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；②因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以x＝0對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸上方，即c＞0；③上述兩個(gè)條件還不能確保A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過拋物線的對(duì)稱軸位置來進(jìn)一步限制拋物線的位置：即需﹣＜0．綜上所述，系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件可歸納為：請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問題：若函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象在直線x＝1的右側(cè)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意得，解得，∴y＝x2+2x﹣7＝（x+1）2﹣8，∴該函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣7或y＝（x+1）2﹣8，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y的最小值為﹣8；（2）根據(jù)題意得y＝x2﹣2x+m+1，∵函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，解得：m≤0；（3）根據(jù)題意得到y(tǒng)＝ax2﹣2x+3的圖象如圖所示，∵拋物線y＝ax2﹣2x+3經(jīng)過（0，3），∴如圖1，，即，∴a的值﹣1＜a≤；如圖2，如圖3不成立；如圖4，，即∴a的值不存在；如圖5，，即，∴a的值為；如圖6，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)解析式為y＝﹣2x+3，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（1.5，0），∴a＝0成立；綜上所述，a的值﹣1＜a≤0或a＝．10．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），求c的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形ABFE的邊EF上，其對(duì)稱軸與x軸、BE分別交于點(diǎn)M、N，BE與y軸相交于點(diǎn)P，且滿足tan∠ABE＝．①求關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．閱讀材料：十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式Δ≥0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根x1、x2有如下關(guān)系：x1+x2＝，x1x2＝”．此關(guān)系通常被稱為“韋達(dá)定理”．解：（1）當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，y＝x2+3x+c，把x＝1，y＝1代入得，1＝1+3+c，∴c＝﹣3；（2）①方法（一）由ax2+bx+c＝0得，x1＝，x2＝，∴AB＝x2﹣x1＝，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣，），∴AE＝，OM＝，∵∠BAE＝90°，∴tan∠ABE＝＝，∴＝，∴b2﹣4ac＝9；（方法二）由ax2+bx+c＝0得，∵x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，下面過程相同；②∵b2﹣4ac＝9，∴x2＝，∵OP∥MN，∴，∴：＝2，∴b＝2，∴22﹣4ac＝9，∴c＝﹣，∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，∴當(dāng)＝2時(shí)，T最?。僵?，即a＝時(shí)，T最小＝﹣4．?考向二與三角形有關(guān)問題11．（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為h，則S△ABC＝BC?h，S△DBC＝BC?h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為h，h′，則＝．證明：∵S△ABC＝BC?h．（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)M，則＝．證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM＝∠DFM＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，則的值為．（1）證明：∵S△ABC＝BC?h，S△DBC＝BC?h′，∴＝．（2）證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案為：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于點(diǎn)K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案為：．12．（2023?孝義市三模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：怎樣作直角三角形的內(nèi)接正方形如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在直角三角形的三條邊上，我們把這樣的正方形叫做該直角三角形的內(nèi)接正方形．那么，怎樣作出一個(gè)直角三角形的內(nèi)接正方形呢？我們可以用如下方法：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作∠ACB的角平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；然后過點(diǎn)D，分別作AC，BC的垂線，垂足分別為F，E，則DF＝DE．（依據(jù)1）容易證明四邊形DFCE是正方形．用上面方法所作出的正方形，有一個(gè)頂點(diǎn)恰好是直角三角形的直角頂點(diǎn)．如圖2，如果Rt△ABC的內(nèi)接正方形的一邊恰好在斜邊AB上，我就可用如下方法，第一步：過直角頂點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D；第二步，延長(zhǎng)AB到M，使得BM＝AD，連接CM；第三步：作∠BDC的平分線，交MC于點(diǎn)E；第四步：過點(diǎn)E分別作DC，DB的垂線，垂足分別為P，K，EP交BC于點(diǎn)F，EP的延長(zhǎng)線交AC交于G；第五步：分別過點(diǎn)F，G作AB的垂線，垂足分別為N，H．則四邊形NFGH就是Rt△ABC的內(nèi)接正方形，并且NH恰好在該直角三角形的斜邊上．理由如下：易證四邊形EPDK是正方形，EG∥AM．∵EG∥AM，∴△CGP∽△CAD，△CEF∽△CMB.（依據(jù)2）∴；．學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）材料中畫橫線部分的依據(jù)分別是：依據(jù)1：角平分線的性質(zhì)；依據(jù)2：相似三角形的判定定理．（2）請(qǐng)完成圖2說理過程的剩余部分．（3）分析圖2的作圖過程，不難看出是將圖2轉(zhuǎn)化成圖1去完成的，即先作圖形EPDK，再將正方形EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH，轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是B（填出字母代號(hào)即可）．A．旋轉(zhuǎn)B．平移C．軸對(duì)稱解：（1）依據(jù)1：角平分線的性質(zhì)；依據(jù)2：相似三角形的判定定理；故答案為：角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定定理；（2）∴；．∴，∵AD＝BM，∴PG＝EF，由圖1知，四邊形PDKE是正方形，∴PE＝EK＝DP＝DK，∴FG＝EK，∵GH⊥AB，EK⊥AB，∴GH∥EK，∴四邊形GHKE是矩形，∴GH＝EK，同理，四邊形FNKE是矩形，∴EF＝NK，F(xiàn)N＝EK，∴FG＝HG＝HN＝FN，∵∠GHK＝90°，∴四邊形GHNF是正方形；（3）將正方形EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH，轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是B，故答案為：B．?考向三與四邊形有關(guān)問題13．（2023?徐州）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB＝a，BC＝b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為200．【閱讀理解】解：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2+BC2，∵AB＝a，BC＝b，∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；【探究發(fā)現(xiàn)】解：上述結(jié)論依然成立，理由：如圖②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①，在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②，由①②，可得AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2+BE2，∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2；【拓展提升】證明：如圖3，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)E，使BO＝OE，∵BO是AC邊上的中線，∴AO＝CO，又∵AO＝CO，∴四邊形ABCE是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，∵BE＝2BO，∴BE2＝4BO2，∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，∴4BO2+c2＝2a2+2b2，∴．【嘗試應(yīng)用】解：過P作PH⊥BC于H，則四邊形APHB和四邊形PHCD是矩形，∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，設(shè)BH＝x，CH＝12﹣x，∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，故PB2+PC2的最小值為200，方法二：以PB、PC為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形PBQC，設(shè)AP＝x，則PQ＝2，由（2）得，PQ2+BC2＝2PB2+2PC2，∴PB2+PC2＝（PQ2+BC2）＝[4×（82+（6﹣x）2+122]＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200，故PB2+PC2的最小值為200，故答案為：200．14．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα＝，則tanβ＝．證明：設(shè)BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易證△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝＝＝，若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝．同理：若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y＝3x﹣9與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，已知OA＝5．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直線AE的解析式．解：（1）設(shè)A（t，3t﹣9），∴OM＝t，AM＝3t﹣9，∵OA＝5，∴t2+（3t﹣9）2＝52，解得t＝4或t＝1.4，∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此時(shí)A在第四象限，不符合題意，舍去），把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：3＝，解得m＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝（x＞0）；（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，解得x＝3，∴B（3，0），∴OB＝3，由（1）知A（4，3），∴OM＝4，AM＝3，∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，∴tan∠BAM＝＝，∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，∴∠MAN＝90°，∵∠BAE＝45°，∴∠BAM+∠NAE＝45°，由若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝可得：tan∠NAE＝；（3）由（2）知tan∠NAE＝，∴＝，∵A（4，3），∴AN＝4，ON＝3，∴＝，∴NE＝2，∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，∴E（0，1），設(shè)直線AE解析式為y＝kx+b，把A（4，3），E（0，1）代入得：，解得，∴直線AE解析式為y＝x+1．15．（2022?南通）【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使點(diǎn)C，D分別在BF，AE上．小明的作法：（1）以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AE于點(diǎn)D；（2）以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BF于點(diǎn)C；（3）連接CD．四邊形ABCD就是所求作的菱形．【解答問題】請(qǐng)根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．證明：由作圖可知AD＝AB＝BC，∵AE∥BF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．16．（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．（1）證明：如圖1，連接DC，∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠CBD＝∠ABE，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．（2）解：①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形，理由如下：如圖2，連接CG，∵四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°，∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，即∠CBG＝∠ABE，∴△CBG≌△ABE（SAS），∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形；②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°，∴CG2+AG2＝AC2，∴AE2+AG2＝AC2，∵AE2+AG2＝10，∴AC2＝10，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2＝10，∴AB2＝5，∴S正方形ABCD＝AB2＝5．16．（2023?通榆縣模擬）下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，求證：EF＝AE+CF．證明：如圖，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，則DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°，又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDE，∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．【探究】（1）在圖①中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，其他條件不變，求EF的長(zhǎng)．解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，∴BE＝2，CM＝1．設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6，BC＝4，E是AB邊上的點(diǎn)，且∠CDE＝45°，則CE＝5．（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高．若BD＝2，CD＝3，則AD的長(zhǎng)為6．解：【作業(yè)】證明：將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，則DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°，又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDE（SAS），∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．故答案為：△MDE，AE；【探究】（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AE＝1，∴BE＝2，CM＝1．設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；故答案為：，；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則四邊形ABHD是正方形，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DHM．∴DE＝DM，∠ADE＝∠MDH，∵∠EDC＝45°，∴∠ADE+∠CDH＝∠MDH+∠CDH＝45°，∴∠EDC＝∠CDM，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴CE＝CM，∵BC＝4，AD＝AB＝BH＝6，∴CH＝2，設(shè)HM＝AE＝y(tǒng)，則CM＝CE＝y(tǒng)+2，BE＝6﹣y，在Rt△BEC中，BE2+CB2＝CE2，∴（6﹣y）2+42＝（y+2）2，∴y＝3，∴CE＝CM＝2+3＝5，故答案為：5；（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM，延長(zhǎng)QB、MC交于點(diǎn)G，由（1）（2）得：四邊形AMGQ是正方形，MC+BQ＝BC，MC＝CD＝3，DB＝BQ＝2，設(shè)MG＝AM＝AQ＝QG＝a，則GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，在Rt△BGC中，由勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣3）2＝52，解得：a＝6（負(fù)值舍去），即AD＝6，故答案為：6．17．（2023?芝罘區(qū)一模）閱讀下列材料：如圖1，點(diǎn)A、D、E在直線l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，則：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，故∠CAE＝∠ABD．像這樣一條直線上有三個(gè)等角頂點(diǎn)的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．請(qǐng)根據(jù)以上閱讀解決下列問題：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點(diǎn)C到AB邊的距離．（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上一點(diǎn)．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的長(zhǎng)．（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥AB于，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠DBA＝∠DAB，∴AD＝BD，∴AF＝BF＝AB＝，∵∠CAD＝90°，∴∠DAF+∠CAE＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CAE＝∠ADF，在△CAE和△ADF中，，∴△CAE≌△ADF（AAS），∴CE＝AF＝，即點(diǎn)C到AB的距離為；（3）解：過點(diǎn)D作DM＝DC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠DCM＝∠M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，∴∠B＝∠DCM＝∠M，∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，∴∠DEC＝∠BFE，∴△BFE∽△MED，∴，∴，∴DE＝15．?考向四與圓有關(guān)問題18．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法如圖2．1．作直徑AF．2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N．3．連接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．（3）從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：連接ON，NF，如圖，由題意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）連接OD，如圖，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．19．（2023?鹽都區(qū)三模）【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把點(diǎn)P沿縱軸或橫軸方向到達(dá)點(diǎn)Q的最短路徑長(zhǎng)記為d（P，Q）．例如：如圖1，點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（3，4），則d（A，B）＝5．（1）①已知點(diǎn)C（﹣1，4）和點(diǎn)D（3，2），則d（C，D）＝6．②點(diǎn)E是平面直角坐標(biāo)系xOy中的一點(diǎn)，且d（0，E）＝2，則所有滿足條件的點(diǎn)E組成的圖形是C．A．一條線段B．一個(gè)等邊三角形C．一個(gè)正方形D．一個(gè)圓【新知運(yùn)用】（2）已知點(diǎn)P（1，0），點(diǎn)Q在線段MN上．①如圖2，已知點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，2），則d（P，Q）的最大值是4；②如圖3，已知點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，4），求d（P，Q）的最小值．（3）如圖4，已知點(diǎn)P（1，0），點(diǎn)G（3，3），以點(diǎn)G為圓心，5為半徑作⊙G，點(diǎn)Q在⊙G上，則d（P，Q）的取值范圍是，≤d（P，Q）≤．【尺規(guī)作圖】（4）如圖5，請(qǐng)用無刻度直尺和圓規(guī)在直線l上找一點(diǎn)K，使得d（K，E）＝d（K，F(xiàn)）．解：（1）①∵C（﹣1，4）和點(diǎn)D（3，2），∴d（C，D）＝|﹣1﹣3|+|4﹣2|＝6；故答案為：6；②設(shè)E（x，y），∵d（0，E）＝2，∴|x|+|y|＝2，去絕對(duì)值符號(hào)，得，畫出函數(shù)圖象如圖所示，∴所有滿足條件的點(diǎn)E組成的圖形是正方形；故選：C．（2）①∵點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，2），∴MN∥x軸，∵點(diǎn)Q在線段MN上，∴設(shè)Q（a，2），0≤a≤3，∴d（P，Q）＝|a﹣1|+|2﹣0|＝|a﹣1|+2，∴當(dāng)|a﹣1|取得最大值時(shí)，d（P，Q）取得最大值，∵0≤a≤3，∴當(dāng)a＝3時(shí)，d（P，Q）的最大值為|3﹣1|+2＝4；②設(shè)直線MN的函數(shù)解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，4）代入，得，解得：，∴直線MN的函數(shù)解析式為y＝，∵點(diǎn)Q在線段MN上，∴設(shè)Q，0≤c≤3，∴d（P，Q）＝|c﹣1|+，當(dāng)0≤c≤1時(shí)，d（P，Q）＝1﹣c+＝，此時(shí)，d（P，Q）隨c的增大而減小，∴當(dāng)c＝1時(shí)，d（P，Q）取得最小值，最小值為＝；當(dāng)1≤c≤3，d（P，Q）＝c﹣1+＝，此時(shí)，d（P，Q）隨c的增大而增大，∴當(dāng)c＝1時(shí)，d（P，Q）取得最小值，最小值為＝．綜上，d（P，Q）的最小值為．（3）解：過⊙G上任意一點(diǎn)Q作QB⊥x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)Q作直線OC，交x軸于點(diǎn)C，使∠QCB＝45°，如圖，則△BCQ為等腰直角三角形，∴∠BQC＝∠OCB，QB＝CB，∴d（P，Q）＝PB+QB＝PB+BC＝PC，∴當(dāng)PC最大時(shí)，d（P，Q）最大，當(dāng)PC最小時(shí)，d（P，Q）最小，即過圓上一點(diǎn)作QC的平行線，與x軸交于一點(diǎn)，該點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離最大時(shí)，d（P，Q）最大，該點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離最小時(shí)，d（P，Q）最小，作DE∥CQ，使DE與⊙G相切于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)PE最大，即當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，d（P，Q）最大，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，連接GD，過點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H，GK⊥x軸于點(diǎn)K，∵ED為⊙G的切線，∴∠GDE＝90°，∵DE∥CQ，∴∠DEF＝∠QCB＝45°，∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDF＝90°﹣45°＝45°，∵GH⊥DF，∴∠DHG＝90°，∴△DHG為等腰直角三角形，∴，∵G（3，3），P（1，0），∴GK＝OK＝3，OP＝1，∴PK＝OK﹣OP＝3﹣1＝2，∵∠GKF＝∠GHF＝∠HFK＝90°，∴四邊形GHFK為矩形，∴KF＝GH＝，HF＝GK＝3，∴DF＝DH+HF＝，PF＝PK+KF＝，∴DF＝EF＝，∴PE＝PF+EF＝＝，∴d（P，Q）的最大值為，過點(diǎn)P作MN⊥x軸，交⊙G于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作MJ∥CQ交x軸于點(diǎn)J，此時(shí)PJ最小，∴當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，d（P，Q）最小，過點(diǎn)G作GL⊥MN于點(diǎn)L，連接GM，∵∠GLP＝∠LPK＝∠GKP＝90°，∴四邊形GLPK為矩形，∴GL＝PK＝2，LP＝GK＝3，∴ML＝＝＝，∴PM＝ML﹣LP＝，∴d（P，Q）最小值為．綜上，≤d（P，Q）≤．故答案為：≤d（P，Q）≤．（4）如圖，連接EF，作EF的垂直平分線交EF于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，ME為半徑作⊙M，與EF的垂直平分線交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作x軸的平行線與直線l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)K，連接EN、FN，過點(diǎn)E作EA⊥KN于點(diǎn)A，作FB⊥KN于點(diǎn)B，則∠EAN＝∠FBN＝90°，∵EF為⊙M的直徑，∴∠ENF＝90°，∴∠ANE+∠BNF＝∠BNF+∠BFN＝90°，∴∠ANE＝∠BFN，∵M(jìn)N垂直平分EF，∴EN＝FN，在△ENA和△NFB中，，∴△ENA≌△NFB（AAS），∴EA＝NB，AN＝BF，∵d（K，E）＝KA+AE＝KN+AN+AE，d（K，F(xiàn)）＝KB+BF＝KN+NB+BF，∴d（K，E）＝d（K，F(xiàn)）．20．（2023?西陵區(qū)模擬）閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：【研究課題】設(shè)計(jì)公園噴水池【素材1】某公園計(jì)劃修建一個(gè)圖1所示的噴水池，水池中心O處立著一個(gè)高為2m的實(shí)心石柱OA，水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個(gè)方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點(diǎn)A處匯合．為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離石柱0.5m處能達(dá)到最大高度，且離池面的高度為2.25m．【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個(gè)小水池，要求小水池不能影響水流．【任務(wù)解決】（1）小張同學(xué)設(shè)計(jì)的水池半徑為2m，請(qǐng)你結(jié)合已學(xué)知識(shí)，判斷他設(shè)計(jì)的水池是否符合要求．（2）為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少米？解：（1）符合要求，理由如下：由題意可得，頂點(diǎn)為（0.5，2.25），∴設(shè)解析式為y＝a（x﹣0.5）2+2.25，∵函數(shù)過點(diǎn)（0，2），∴代入解析式得，a（0﹣0.5）2+2.25＝2，解得a＝﹣1，∴解析式為：y＝﹣（x﹣0.5）2+2.25，令y＝0，則﹣（x﹣0.5）2+2.25＝0，解得x＝2或x＝﹣1（舍去），∴花壇的半徑至少為2m；（2）令y＝1.25，則﹣（x﹣0.5）2+2.25＝1.25