2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第三講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案新人教版

PAGE第三講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一回來(lái)分析(1)相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值肯定時(shí)，因變量的取值帶有肯定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種_非確定性關(guān)系__.(2)散點(diǎn)圖：表示具有_相關(guān)__關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖，它可直觀地推斷兩變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示．若這些散點(diǎn)有y隨x增大而增大的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量_正相關(guān)__；若這些散點(diǎn)有y隨x增大而減小的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量_負(fù)相關(guān)__.(3)回來(lái)方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝_eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)__，它主要用來(lái)估計(jì)和預(yù)料取值，從而獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．(4)相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))它主要用于相關(guān)量的顯著性檢驗(yàn)，以衡量它們之間的線性相關(guān)程度．當(dāng)r＞0時(shí)表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．|r|越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性_越強(qiáng)__；當(dāng)|r|接近0時(shí)，表明兩個(gè)變量間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，相關(guān)性_越弱__.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)分類變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為X2)＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來(lái)推斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；②計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，查表確定臨界值k0：③假如k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系\”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)\”．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．回來(lái)分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性分布時(shí)，求出的線性回來(lái)方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回來(lái)方程毫無(wú)意義．依據(jù)回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系的可信程度的推斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的推斷．依據(jù)K2的值可以推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，并用來(lái)指導(dǎo)科研和實(shí)際生活．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以說(shuō)明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(√)(2)兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于0.(×)(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回來(lái)模型才有預(yù)料價(jià)值．(√)(4)某同學(xué)探討賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時(shí)，肯定可賣出143杯熱飲．(×)(5)事務(wù)x，y關(guān)系越親密，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大．(√)(6)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下認(rèn)為物理成果優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成果有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．(×)題組二走進(jìn)教材2．(P97T2)為調(diào)查中學(xué)生近視狀況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有勸服力(C)A．回來(lái)分析 B．均值與方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率[解析]“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷．3．(P81例1)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)覺(jué)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)68__.[解析]由eq\o(x,\s\up6(－))＝30，得eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.題組三走向高考4．(2024·山東高考)為了探討某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來(lái)直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，已知eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝225，eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(C)A．160 B．163C．166 D．170[解析]由題意知eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^))又eq\x\to(x)＝22.5，eq\x\to(y)＝160，因此160＝22.5×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝70，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋70，當(dāng)x＝24時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝4×24＋70＝166，故選C．5．(2024·高考全國(guó)Ⅰ卷)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿足或不滿足的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.6.(2)由題可得K2＝eq\f(100×40×20－30×102,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的推斷——自主練透例1(1)(2024·四川資陽(yáng)模擬)在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的探討中，探討人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖．依據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是(B)A．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%(2)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(A)A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3[解析](1)視察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%，故選B．(2)由相關(guān)系數(shù)的定義及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義，可知r2<r4<0<r3<r1.故選A．名師點(diǎn)撥推斷兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來(lái)直線方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)負(fù)相關(guān)．考點(diǎn)二線性回來(lái)分析——師生共研例2(1)(多選題)(2024·湖湘名校教化聯(lián)合體聯(lián)考)2024年3月15日，某市物價(jià)部門對(duì)5家商場(chǎng)的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x(元)和銷售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價(jià)格x99.51010.511銷售量y1110865按公式計(jì)算，y與x的回來(lái)直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，相關(guān)系數(shù)|r|＝0.986，則下列說(shuō)法正確的有(ABC)A．變量x，y線性負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．當(dāng)x＝8.5時(shí)，y的估計(jì)值為12.8D．相應(yīng)于點(diǎn)(10.5,6)的殘差約為0.4(2)(2024·全國(guó)Ⅱ)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.①求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；②求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；③依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更精確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\r(2)≈1.414.[解析](1)對(duì)A，由表可知y隨x增大而削減，可認(rèn)為變量x，y線性負(fù)相關(guān)，且相關(guān)性強(qiáng)，故A正確．對(duì)B，價(jià)格平均eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，銷售量eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8.故回來(lái)直線恒過(guò)定點(diǎn)(10,8)，故8＝－3.2×10＋eq\o(a,\s\up6(^))?eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正確．對(duì)C，當(dāng)x＝8.5時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C正確．對(duì)D，相應(yīng)于點(diǎn)(10,8)的殘差約為eq\o(e,\s\up6(^))＝6－(－3.2×10.5＋40)＝－0.4，故D不正確．故選ABC．(2)①樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝eq\f(1,20)×1200＝60，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200×60＝12000.②樣本(xi，yi)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,20,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.③由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采納分層抽樣，先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法抽取樣本即可．名師點(diǎn)撥線性回來(lái)分析問(wèn)題的類型及解題方法(1)求線性回來(lái)方程：①利用公式，求出回來(lái)系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).②待定系數(shù)法：利用回來(lái)直線過(guò)樣本點(diǎn)中心求系數(shù)．(2)利用回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)料：把回來(lái)直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回來(lái)直線推斷正、負(fù)相關(guān)：確定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).〔變式訓(xùn)練1〕(2024·安徽六校教化探討會(huì)素養(yǎng)測(cè)試)某商場(chǎng)近5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額如表所示：銷售額x/千萬(wàn)元35679利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元13345(1)畫出散點(diǎn)圖，視察散點(diǎn)圖，說(shuō)明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)關(guān)系；(2)求出利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x的回來(lái)直線方程；(3)當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí)，利用(2)的結(jié)論估計(jì)該商場(chǎng)的利潤(rùn)額(百萬(wàn)元)．eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).[解析](1)散點(diǎn)圖如圖所示：兩個(gè)變量正相關(guān)，且具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)易求eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.2，由公式有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3×2.2＋1×0.2＋0＋1×0.8＋3×1.8,32＋12＋12＋32)＝eq\f(13,20)＝0.65，且eq\o(a,\s\up6(^))＝3.2－0.65×6＝－0.7，則線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x－0.7，(3)當(dāng)x＝4時(shí)，由(1)可求得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.9，即利潤(rùn)額約為1.9百萬(wàn)元．考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)——師生共研例3(1)(2024·新高考Ⅰ，19)為加強(qiáng)環(huán)境愛(ài)護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710①估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；②依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]③依據(jù)②中的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)(2024·廣東深圳寶安區(qū)調(diào)研)2024年寒假是特別的寒假，因?yàn)榭箵粢咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了探討學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的狀況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13，其中男生30人對(duì)于線上教學(xué)滿足，女生中有15名表示對(duì)線上教學(xué)不滿足．①完成2×2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿足與性別有關(guān)”；滿足不滿足總計(jì)男生30女生15合計(jì)120②從被調(diào)查的對(duì)線上教學(xué)滿足的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的閱歷介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為ξ，求出ξ的分布列及期望值．參考公式：附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0720.7063.8415.0246.6357.87910828[解析](1)①依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.②依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010③依據(jù)②的列聯(lián)表得K2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484>6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．(2)①因?yàn)槟猩藬?shù)為：120×eq\f(11,11＋13)＝55，所以女生人數(shù)為120－55＝65，于是可完成2×2列聯(lián)表，如下：滿足不滿足總計(jì)男生302555女生501565合計(jì)8040120依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值K2＝eq\f(120×30×15－25×502,55×65×80×40)＝eq\f(960,143)≈6.713>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿足與性別有關(guān)”．②由①可知男生抽3人，女生抽5人，依題可知ξ的可能取值為0,1,2,3，并且ξ聽(tīng)從超幾何分布，P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,8))(k＝0,1,2,3)，即P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).可得分布列為ξ0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)∴E(ξ)＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).名師點(diǎn)撥解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)兩個(gè)明確：①明確兩類主體．②明確探討的兩個(gè)問(wèn)題．(2)兩個(gè)關(guān)鍵：①精確列出2×2列聯(lián)表：②精確理解K2.留意：查表時(shí)不是查最大允許值，而是先依據(jù)題目要求的百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的k值與求得的K2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.〔變式訓(xùn)練2〕(2024·湖北十堰調(diào)研)某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2024年元旦期間游客購(gòu)買土特產(chǎn)的狀況，對(duì)2024年元旦期間的90位游客購(gòu)買狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.購(gòu)買金額(元)[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]人數(shù)101520152010(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān)；不少于60元少于60元合計(jì)男40女18合計(jì)(2)為吸引游客，該超市推出一種實(shí)惠方案，購(gòu)買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為p(每次中獎(jiǎng)互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買金額不少于60元的頻率)，中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元．若游客甲安排購(gòu)買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．附：參考公式和數(shù)據(jù)：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005[解析](1)2×2列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元合計(jì)男124052女182038合計(jì)306090K2＝eq\f(90×12×20－40×182,30×60×52×38)＝eq\f(1440,247)>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān)．(2)X可能取值為65,70,75,80，且p＝eq\f(10＋20,90)＝eq\f(1,3)，P(X＝65)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，P(X＝70)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝75)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝80)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，所以X的分布列為X65707580P(X)eq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝65×eq\f(1,27)＋70×eq\f(2,9)＋75×eq\f(4,9)＋80×eq\f(8,27)＝75.名師講壇·素養(yǎng)提升非線性回來(lái)問(wèn)題例4(2024·內(nèi)蒙古烏蘭察布等五市調(diào)研)一個(gè)調(diào)查學(xué)生記憶的探討團(tuán)隊(duì)從某中學(xué)隨機(jī)選擇100名學(xué)生進(jìn)行記憶測(cè)試，通過(guò)講解100個(gè)生疏單詞后，相隔非常鐘進(jìn)行聽(tīng)寫測(cè)試，間隔時(shí)間t(分鐘)和答對(duì)人數(shù)y的統(tǒng)計(jì)表格如下：時(shí)間t(分鐘)102030405060708090100答對(duì)人數(shù)y987052363020151155lgy1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時(shí)間t與答對(duì)人數(shù)y的散點(diǎn)圖如圖：附：eq\i\su(n＝1,10,t)eq\o\al(2,i)＝38500，eq\i\su(n＝1,10,y)i＝342，eq\i\su(n＝1,10,l)gyi＝13.5，eq\i\su(n＝1,10,t)iyi＝10960，eq\i\su(n＝1,10,t)ilgyi＝620